книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf
|
§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ |
201 |
|
|
§ 3. Степенные ряды |
||
Разложение функции в степенные ряды |
|||
2841. |
Разложить функцию у = In х |
в ряд Тейлора в окрест |
|
ности точки х = 1 (при х0 = 1). |
|
|
|
2842. |
Разложить функцию » = л /7 |
в ряд Тейлора в окрест |
|
ности точки х = 1 . |
|
|
|
2843. |
Разложить функцию у - — в ряд Тейлора в окрестно |
||
сти точки |
х = 3 . |
|
|
2844. |
Разложить функцию у - sin-^- |
в ряд Тейлора в окре |
|
стности точки х = 2.
В задачах 2845-2849 разложить данные функции в ряд Тей лора в окрестности точки х = 0 (ряд Маклорена):
2845. |
у |
= ch х . |
2846. у = х2ех . 2847. у = cos (х + а). |
2848. |
у |
= ех sin х . |
2849. у = cos х ch х . |
В задачах 2850-2854 найти первые пять членов ряда Тейло ра для данных функций в окрестности точки х = 0.
2850. |
у = ln(l + e*). |
2851. |
у = е'"8* . |
2852. у = cos" х. |
|
2853. |
у = ~ In cos х . |
2854. |
у = (l + * )'. |
|
|
В задачах 2855-2868 разложить данные функции в окрест |
|||||
ности точки х = 0 , |
пользуясь |
формулами |
разложения в ряд |
||
Маклорена функций |
ех , |
sin х , |
cos х, In(l + х) и (l + х)т. |
||
2855. |
у = е2х. |
|
|
2857. |
у -- |
1 |
npi |
|
|
||
2859. |
у = sin-|. |
|
|
2861. у = \ |
х |
ПрИ |
|
|
[ |
1 |
при |
2863. |
у = In (10 + *). |
||
2856. у = е'х\
при х * 0,
2858. у =
при х = 0.
2860. у =
х* ° ’ 2862. у = (х - tg *)cosх .
х= 0.
2864. у = a: In (1 + х).
2 0 2 |
|
|
ГЛ. IX. РЯДЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2865. |
у = Vl + * 2 . |
2866. |
у = ^ 8 -ж 3. |
|
|
|||
2867' У = ^ |
7 ' |
2868. |
г/ = ^ = j |
• |
|
|
||
2869. Разложить в ряд Тейлора функцию у ■ |
1+ *j |
в окре |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
( Н |
|
стности |
точки |
JC = 0. |
Воспользовавшись |
этим |
разложением, |
|||
о |
|
- 4 |
л2 |
|
|
|
|
|
наити сумму ряда 1 + |
~ т - +... |
|
|
|
|
|||
|
|
* |
2” 1 |
|
|
|
|
|
2870. Пользуясь разложением функции в ряд Тейлора, най |
||||||||
ти значение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) седьмой производной от функции у = —^ при х = 0, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
1+дг |
|
|
2) пятой производной от функции у = x2illTx |
при |
X = 0, |
||||||
3) десятой производной от функции у = х6ех при х = 0, |
||||||||
4) кривизны линии у = х Ш |
) М ] : |
в начале координат. |
||||||
+ х) |
- 1 |
|||||||
В задачах 2871-2877, пользуясь разложением функций в |
||||||||
ряд Тейлора, вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|||
2871. |
Иш- |
I (Уй?-х) |
2872. |
lim |
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
х-»0 |
|
|
|
|
|
|
|
2873. |
ln(l+x+x2)+ln (l-JC+X2) |
|
lim |
|
|
|
х-»0 |
|
2874. |
lim [x - x2In(l + ^ )]. |
|
2876. |
lim f-V - |
. |
|
W O U 2 |
* ) |
2875. |
lim (-^ - ctg2 *). |
||
2877. |
lim { |
- |
- О . |
|
x _ » o U 3 8 i n x |
X 4 ) |
|
Интервал сходимости
В задачах 2878-2889 найти интервалы сходимости степен ных рядов.
2878. 10х+ 100х2+...+10пхп+...
2879. * - j £ + ...+ ( - i ) "+1Jsl+...
2880. х + ^ + ... |
+ —хП + ... |
2881. 1 + ди-...+л!* * + ... |
20 |
я-10л_1 |
|
|
|
5 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ |
|
|
|
|
203 |
2882. 1 |
+ 2ж2 +.. ,+2”-1 |
+.. |
|
2883- * ~ г ш + - |
+ И Г |
(2л-1)- (2л-1)! |
|
|
|
|
|
2884. 1 |
+ Зх+ .. л(п - 1). Зп~1хп~1+... |
||
2885- * |
+ & + - |
+ ; £ |
г •••288в- x+{2j r +- +k& +- |
При исследовании сходимости на правом конце интервала учесть, что факториалы больших чисел могут быть выражены
приближенно формулой Стирлинга: п! * |
л/Зтш . |
||||||
2887. |
х + 4х2+...+(пх)л+... |
|
|
|
|||
2888. |
Ш .х2 + № -х* + ... + |
|
+ ... |
||||
2889. |
2л: + (|л:)2 +... + ^ (^ )п^ ,1+... |
|
|||||
2890. Функцию |
у = ln|* + Vl + * 2 j разложить в ряд Тейло |
||||||
ра в окрестности точки х = 0, |
исходя из соотношения |
||||||
|
l |
n |
^ |
e |
+ 2 jV |
= l dx+J |
a c |
|
|
|
|
|
|
■Л 7?’ |
|
и указать интервал сходимости полученного ряда. |
|||||||
2891. |
Функцию |
у = |
|
разложить в ряд Тейлора в ок |
|||
рестности точки х = 0, исходя из соотношения |
|||||||
|
|
|
In |
(Т±7 _ Г _А |
|
||
|
|
|
1 -х |
J!_ |
|
|
|
и указать интервал сходимости полученного ряда. |
|||||||
2892. |
Функцию |
|
у = In [(l + дс)1+*]+ In [(l - xf~x] разложить |
||||
в ряд Тейлора в окрестности точки |
х = 0 |
и указать интервал |
|||||
сходимости полученного ряда. |
|
|
|
||||
2893. |
Функцию |
у = (1 + *)е-х - (1 - х)ех разложить в ряд |
|||||
Тейлора в окрестности точки |
х = 0 |
и указать интервал сходи |
|||||
мости полученного ряда. Пользуясь разложением, найти сумму
Ряда зГ+ я +- +^«5Г +-
204 |
|
|
|
ГЛ. IX. РЯДЫ |
|
|
|
|
|
§ 4. Некоторые применения рядов Тейлора |
|||||||||
Вычисления |
приближенных значений |
||||||||
|
|
|
|
функций |
|
|
|
|
|
2894. Вычислить приближенное значение |
Ve, |
взяв три чле |
|||||||
на разложения в ряд Маклорена функции f(x) = ex, |
и оценить |
||||||||
погрешность. |
|
|
|
|
|
|
|
||
2895. |
Вычислить приближенное значение |
sin 18°, |
взяв три |
||||||
члена разложения в |
ряд Маклорена |
функции |
f(x) = sin ху и |
||||||
оценить погрешность. |
|
|
|
|
|
|
|||
2896. |
Вычислить |
приближенное |
значение |
VlO = 2лД,25, |
|||||
взяв четыре члена разложения в ряд Маклорена |
функции |
||||||||
f(x) = (l + л:)от, |
и оценить погрешность. |
|
|
|
|
||||
В задачах 2897-2904, пользуясь формулой разложения в ряд |
|||||||||
Маклорена функций ех , sin х |
и cos х , вычислить указанные |
||||||||
выражения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2897. |
е2 с точностью до 0,001. |
|
|
|
|
||||
2898. |
4ё |
с точностью до 0,001. |
|
|
|
|
|||
2899. |
-е |
с точностью до 0,0001. |
|
|
|
|
|||
2900. -^=- с точностью до 0,0001. |
|
|
|
|
|||||
2901. |
sinl° |
с точностью до 0,0001. |
|
|
|
|
|||
2902. cos 1° с точностью до 0,001. |
|
|
|
|
|||||
2903. |
sin 10° с точностью до 0,00001. |
|
|
|
|||||
2904. |
cos 10° с точностью до 0,0001. |
|
|
|
|
||||
В задачах 2905-2911, пользуясь формулой разложения в ряд |
|||||||||
Маклорена |
функции |
(l + х)т , |
вычислить |
указанные корни |
|||||
с точностью до 0,001. |
|
|
|
|
|
|
|||
2905. |
V30. |
2906. |
$/70. |
2907. $/б00. |
2908. |
015. |
|||
2909. |
$/250. |
2910. $/l29. |
2911. ^ 102 7 . |
|
|
|
|||
В задачах 2912-2914, пользуясь формулой разложения в ряд |
|||||||||
Маклорена функции |
вычислить выражения. |
|
|||||||
|
|
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ РЯДОВ ТЕЙЛОРА |
205 |
|
|
|
|
. 2912. |
1пЗ |
с точностью до 0,0001. |
|
2913. |
1ge = — с точностью до 0,000001. |
|
|
|
|
Ш10 |
|
2914. |
Ig5 |
с точностью до 0,0001. |
|
Решение уравнений
2915. Дано уравнение ху + ех = у . Пользуясь методом неоп ределенных коэффициентов, найти разложение функции у в ряд Тейлора по степеням х. Решить задачу, находя коэффициенты ряда Тейлора последовательным дифференцированием.
2916. Дано уравнение у = In (l + х) - ху. Пользуясь методом неопределенных коэффициентов, найти разложение функции у в ряд Тейлора по степеням х. Решить задачу, находя коэффици енты ряда Тейлора последовательным дифференцированием.
В задачах 2917-2919 решить уравнения относительно у (найти явное выражение для у) с помощью ряда Тейлора двумя способами: методом неопределенных коэффициентов и последо вательным дифференцированием.
2917. у8 + ху - 1 (найти три члена разложения).
2918. 2 sin х + sin у = х - у (найти два члена разложения). 2919. ех - еу = ху (найти три члена разложения).
Интегрирование функций
В задачах 2920-2929 выразить в форме ряда интегралы, ис пользуя разложение в ряд подынтегральных функций; указать области сходимости полученных рядов.
2920. [ ^ - d x . |
2921. |
J * |
2922. \ ^ - d x . |
J х |
|
J X |
2923. |
|
2924. |
x |
2 |
[ ~ d x . |
j e ~ x |
dx. |
||
|
J X |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2926. |
f -{===?• |
2927. |
j Vl + x 8 dx. |
|
|
|
|
0 |
|
2928. J ^ . |
2929. |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
X
2925. Г arctg* J x
0
206 |
гл . ix. р я д ы |
В задачах 2930-2934 |
вычислить приближенные значения |
определенных интегралов, взяв указанное число членов разло жения подынтегральной функции в ряд; указать погрешность.
|
|
я/4 |
|
|
|
1/4 |
2 |
|
|
|
2930. |
(3 члена). |
2931. |
J е~х dx |
(3 члена). |
||||
|
|
п/6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2932!.. |
[ ,dx (2 члена). |
2933. |
f — dx (6 членов). |
|||||
|
|
J Vl+x4 |
|
|
|
AJ, * |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
од |
|
|
|
|
|
>/3/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2934. |
J * 3 arctg х dx (2 члена), |
|
|
|
|
|||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
В задачах 2935-2938 вычислить с точностью до 0,001 инте |
||||||||
гралы. |
0,2 |
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2935. |
[ Ц - ах. |
|
|
2936. |
j* arctgx |
|
|
|
|
|
J х3 |
|
|
|
J |
* |
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2937. |
0,8 |
|
|
2938. |
0,5 |
|
|
|
|
Г х10sin х dx. |
|
f — |
|
|
|
|||
|
|
J |
|
|
|
J 1+X4 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2939. |
Показать, |
что |
в |
интервале |
(- 0,1; 0,1) функция |
|||
Г |
_ 2 |
отличается от функции a |
r c |
5 |
|
|
|||
I |
е dx |
t g не больше, чем на |
|||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 0000001. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2940. Принимая во внимание тождество |
|
|
||||||
|
|
f |
= 4 a r c t g i- arctgф |
, |
|
|
|||
вычислить л с 10 верными знаками. |
|
|
|
|
|||||
|
2941. |
Разложить |
в ряд |
Тейлора |
функцию |
2 |
f _ 2 |
||
|
у = ех |
I е х dx |
|||||||
о
двумя способами: путем непосредственного вычисления после довательных производных при х = 0 и путем перемножения рядов.
1
2942*. Вычислить интеграл J x xdx.
о
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ РЯДОВ ТЕЙЛОРА |
2 07 |
|
|
0,5 |
|
|
2943. Вычислить |
J emnxdx с точностью до 0,0001. |
||
|
|
о |
|
|
71/6 |
|
|
2944. |
Вычислить |
JV COSJC dx с точностью до 0,001. |
|
|
|
Разные |
задачи |
2945. |
Вычислить |
площадь, |
ограниченную линией у2 = |
= х8 +1, |
осью ординат и прямой |
х = -j, с точностью до 0,001. |
|
2946*. Вычислить площадь овала х4+ у4 = 1 с точностью до
0,01.
2947. Вычислить длину дуги линии 25у2 = 4х5 от острия до
точки пересечения с параболой 5у = х2 с точностью до 0,0001.
2948. |
Вычислить длину одной |
полуволны |
синусоиды |
|
у = sinjc |
с точностью до 0,001. |
|
|
|
2949. |
Фигура, ограниченная линией у = arctg х , осью абс |
|||
цисс и прямой х = |
вращается вокруг оси абсцисс. Вычис |
|||
лить объем тела вращения с точностью до 0,001. |
|
|||
2950. |
Фигура, |
ограниченная |
линиями |
у3 - хъ = 1, |
4у + х3 = 0, прямой |
у = ^ и осью ординат, вращается вокруг |
|||
оси ординат. Вычислить объем тела вращения с точностью до
0,001.
2951. Вычислить с точностью до 0,001 координаты центра масс дуги гиперболы у = , ограниченной точками с абсцисса
ми |
= j |
и х2 = j . |
2952. Вычислить с точностью до 0,01 координаты центра |
||
масс |
криволинейной трапеции, ограниченной линией у = -j— , |
|
прямыми |
х = 1,5 и х = 2 и осью абсцисс. |
|
Глава X
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Функции нескольких переменных
2953. Выразить объем г конуса как функцию его образую щей X и высоты у.
2954. Выразить площадь S треугольника как функцию его трех сторон х , уу z.
2955. Составить таблицу значений функции z = 2х - Зу + 1,
давая независимым переменным значения от 0 до 5 через еди ницу.
2956. Составить таблицу значений функции z = <Jx2 + у2,
давая независимым переменным значения от 0 до 1 через 0,1. Значения функции вычислять с точностью до 0,01.
2957. Найти значения функции: |
|
|
|
|
|||
|
( arctg (х+у) ^ |
. i+Уз |
= i z & |
|
|
||
2) г _ |
ein(х+у) |
|
2 |
|
2 * |
|
|
при х = у = |
|
|
|
|
|
||
3) z=yx2~1+xy |
при х = 2, у - 2; |
х = 1, |
у = 2; |
х = 2, |
у = 1. |
||
2958. |
Дана |
функция |
F(x, = |
|
|
|
Найти |
F (a, |
В частности, положить ср (и) = и3, |
у (и) = и2 и подсчи |
|||||
тать F (a, -j). |
|
|
|
|
|
|
|
2959. Дана функция F(x, у) = ух |
• Если х и у меняют |
||||||
ся с одинаковой скоростью, то какая функция при |
х = 3, |
у - 2 |
|||||
растет быстрее: та, которая получается из F при фиксированном у (меняется только x)t или та же, которая получается при фик сированном х (меняется только у)?
|
§ 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ |
2 0 9 |
|
2960. |
Дана функция |
|
|
|
ср (х, уу z) = y2 - (у cos z + z cos у)х + х у~г. |
|
|
Переменные у и г |
сохраняют фиксированные значения у0 и z0, |
||
причем |
уо = 3z0 . |
Что представляет собой график |
функции |
v = ф(дс, у0, ZQ)? Является ли ф(д:, у, z): 1) рациональной функ
цией от у, от z; 2) целой функцией от х?
2961*. Функцию |
« = /( * , у), удовлетворяющую тождест |
венно соотношению |
f(mxt ту)= mkf(xyу) при любом т , назы |
вают однородной функцией А-го порядка. Показать, что одно родная функция А-го порядка z = f ( x ty) всегда может быть
представлена в виде z - xkF ).
2962. Однородность функции любого числа независимых пе ременных определяется аналогично функции двух переменных: например, f(x, у, г) - однородная функция А-го порядка, если
f {mx, my, mz) = mhf (x , у , z) при любом m. Также имеет место
свойство f(x, у, г) = доказать его.
2963. Проверить, что функция z - F (*, у) = ху удовлетво ряет функциональному уравнению
F(ax + bu, су + dv) = acF(x, у) + bcF(u, у) + adF(x, v) + bdF(ut и). 2964. Проверить, что функция z = F(x, у) = \пх\пу удовле
творяет функциональному уравнению
F(xy, uv) = F(x, U) + F ( X , v) + F(y, u) + F(y, u)
|
|
|
(x, уу Uy v положительны). |
|
|
||||
|
|
|
2 |
„2 |
2 |
|
|
|
|
2965. Из уравнения ^ |
~ |
~ = 1 определить z как явную |
|||||||
|
|
|
а6 |
Ьл |
с6 |
|
|
|
|
функцию х н у . Будет ли функция однозначной? |
|
|
|||||||
2966. |
Дана |
сложная |
функция |
г = uv, |
где и = х + у , |
||||
v = x - y . |
Найти |
значение |
функции: |
1) |
при |
я = 0, |
у = 1; |
||
2) при |
х = 1, у = 1; 3) при |
х = 2, у = 3; |
4) при я = 0, |
у = 0; |
|||||
5) при |
х = -1 у у = -1 . |
|
|
|
|
|
|
||
2 1 0 |
ГЛ. X. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ |
|
|
2967. z = |
и = w\ и = w~\ w = J x T y , t - 2 { x ~ y ) . |
Выразить г непосредственно в виде функции от х и у. Является ли г рациональной функцией от и и v; от w и t; от х и уЧ
2968. Дана сложная функция |
г - uw+ wu+v, где |
и = х + у , |
||||||
v - х - у у |
w - x y . |
Выразить z непосредственно в виде функции |
||||||
от л: и у. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2969. |
ц = £ |
+ Т1)2 - е - т Л |
5 = ^ |
, |
Л = |
|
||
ш = ln|jc2 + у2 + z2J, |
ф = 2 In (я + у + z). Выразить и непосредст |
|||||||
венно в виде функции от |
т/ и г. Является ли и целой рацио |
|||||||
нальной функцией от £ и Т|; от со и ф; от х, у и г? |
|
|
||||||
2970. Сложную функцию |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
х2+ху+у2 |
+ л: + у |
|
|
|
|
|
|
|
х2-ху+у2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
представить в виде «цепочки» зависимостей из двух звеньев. |
||||||||
2971. |
Исследовать методом |
сечений |
график |
функции |
||||
z = ^ (х2 - y2J. Что |
представляют |
собой сечения плоскостями |
||||||
х * const; |
у = const; |
z = const? |
|
|
|
|
||
2972. Исследовать методом сечений график функции |
z = лсу. |
|||||||
Что представляют |
|
собой |
сечения плоскостями |
х - |
const; |
|||
у = const; |
z = const? |
|
|
|
|
|
|
|
2973. |
Исследовать методом |
сечений |
график |
функции |
||||
2 = ff2 - * 8 .
2974. Исследовать методом сечений график функции z3 = ал:2 + by2 (а > 0, b > 0).
§ 2. Простейшие свойства функции
Область определения
2975. Область ограничена параллелограммом со сторонами
у —Of y = 2 f у = j x , у = - х - 1 ; граница параллелограмма
исключается. Задать эту область неравенствами.