книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf§ 2. П РО СТЕЙШ ИЕ СВОЙСТВА Ф УН КЦИ И |
211 |
2976. Областью служит фигура, ограниченная параболами
у = х 2 и х = у2 (включая границы). Задать эту область нера
венствами.
2977. Записать с помощью неравенств открытую область, являющуюся правильным треугольником с вершиной в начале координат, со сторонами, равными а, причем одна из них на правлена по положительной полуоси Ох (треугольник лежит в первом квадранте).
2978. Область ограничена бесконечным круглым цилиндром радиуса R (границы исключаются) с осью, параллельной оси Ог и проходящей через точку (а, Ь, с). Задать эту область с помо щью неравенства.
2979. Записать с помощью неравенства область, ограничен ную сферой радиуса R с центром в точке (а, Ъ, с) (включая гра
ницу).
2980. Вершины прямоугольного треугольника лежат внутри круга радиуса R. Площадь S треугольника является функцией его катетов х и у: S = (р(х, у). Какова область определения
функции S - (р (х, у).
2981. В шар, радиуса R вписана пирамида с прямоугольным основанием, вершина которой ортогонально проектируется в точку пересечения диагоналей основания. Объем пирамиды V является функцией сторон х и у ее основания. Будет ли эта функция однозначной? Составить для нее аналитическое выра жение. Найти область определения функции.
2982. Квадратная доска состо ит из четырех квадратных клеток; двух черных и двух белых, как указано на рис. 44; сторона каж дой из них равна единице длины. Рассмотрим прямоугольник, сто роны которого х и у параллельны сторонам доски и один из углов которого совпадает с черным ее углом. Площадь черной части это го прямоугольника будет функци ей от х и у. Какова область опре деления этой функции? Выразить эту функцию аналитически.
2 1 2 |
|
ГЛ . X. Ф У Н К Ц И И Н Е С КО Л Ь КИ Х П ЕРЕМ ЕН Н Ы Х |
|||||
В задачах 2983-3002 найти области определения функций. |
|||||||
2 9 8 3 .2 = J |
l - ^ |
i - J . |
2984. |
2 = |
|
||
|
|
|
|
|
2986. |
2 = |
|
2987. |
г = - Д = + - ^ = . |
2988. |
г = |
||||
|
|
Vl+y |
-Jx-y |
|
|
|
|
2989. |
z = In x y . |
|
2990. |
2 = |
|||
2991. |
г = arcsin^—^ - + arcsec|x2 + y 2J |
||||||
2992. |
г = |
У4* |
/ , . . |
2993. |
2 = |
х + 2 х + у |
|
|
|
ln(l—л2—у2) |
|
|
\ х 2-2 х+ у 2 |
||
2994. |
г - |
xyjlu |
+■lx 2 + y2 - R 2. |
|
|||
2995. |
z = ctgn(x + y). |
2996. |
2 = |
|
|||
2997. |
г = Jx sin у . |
2998. |
г - |
In х - In sin у . |
|||
2999. |
г - 1п[х1п(у - *)]. |
3000. |
г - |
arcsin^2y ^1 + x 2j - lj . |
|||
3001. u = -pH —p + - p , |
|
|
|
||||
|
|
ЫХ |
yjy |
|
|
|
|
3002. |
и - |
IJR 2 - х 2 - у 2 - z 2 +■. |
1 |
(R > г). |
|||
|
|
|
|
|
у X2 +у2 +22 —Г2 |
||
Предел. Непрерывность функции
В задачах 3003-3008 вычислить пределы функций, полагая, что независимые переменные произвольно стремятся к своим предельным значениям.
3003. lim дt+V
х-*0 ,1х2+у2+1-1
у- * 0
ein(*3+y3)
3005. lim — i------- |
L |
x->0 y-*0
3004. lim |
V 5 H L l . |
|
x-»0 |
|
x ‘ +y |
y->0 |
|
V |
|
|
|
3006. lim |
. |
( * W ) |
. — . |
||
x-»0 |
lx2+y2)x2y2 |
|
y->0 |
' |
' |
§ 2. ПРО СТЕЙШ ИЕ СВОЙСТВА Ф УН КЦ И И |
213 |
|
3007. |
И т |
3008. lim (l + x2y2) |
. |
|
|
*->0 ХЛ+уЛ |
х-*0 X |
/ |
|
|
у—>0 |
у-»О |
|
|
3009. |
Показать, |
что функция и = |
при х -» 0, |
у —> О |
может стремиться к любому пределу (в зависимости от того, как стремятся к нулю х и у). Привести примеры таких изменений х и z/, чтобы: a) lim и = 1; б) limw = 2.
ЗОЮ. Найти точки разрыва функции |
|
г = ■■? |
Как ведет |
|||
себя функция в окрестности точки разрыва? |
дг+jr |
|||||
|
|
|
||||
ЗОН. Найти точки разрыва функции z = — г— -— г— . |
||||||
|
|
|
|
sin^ ях+siir пу |
||
3012. Где будет разрывна функция z = |
|
? |
|
|
||
3013. Где будет разрывна функция z = |
|
— + -А — ? |
||||
|
|
|
sinTix |
sinпу |
||
3014. Где будет разрывна функция z = - |
■ |
? |
|
|||
|
|
|
у~-2х |
|
|
|
3015*. Исследовать непрерывность |
функции |
при х = 0, |
||||
У = 0: |
|
|
|
|
|
|
/ М ) = о : |
2) |
|
|
|
|
/(0 ,0 ) = 0; |
3) f(x,y) = - £ Z ;, / (0,0) = 0; |
4) |
|
|
|
, |
/(0 ,0 )= 0; |
/( 0 ,0) = 0; |
б ) 7 ( ^ |
) = |
^ . |
/(0 ,0)= 0. |
||
|
Линии |
и поверхности |
уровня |
||
3016. |
Дана функция z = / (х, у) = |
1 |
Построить линии |
||
|
|
|
х2+у~ |
||
уровня этой функции для z = 1, |
2, 3, 4. |
|
|
||
3017. |
Функция |
z - f { x , y ) |
задана |
|
следующим образом: |
в точке Р ( х ,у ) ее значение равно углу, под которым виден из этой точки данный в плоскости Оху отрезок АВ. Найти линии уровня функции f(x, у).
214ГЛ. X. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Взадачах 3018-3021 начертить линии уровня данных функ ций, придавая г значения от - 5 до +5 через 1.
3018. |
z = х у . |
|
3019. |
z = х 2у + х. |
|
3020. |
2 = у (*2 + 1). |
3021. |
2 = |
|
|
3022. |
Построить |
линии |
уровня |
функции |
z = {х2 + z/2) 2- |
- 2 (х2 - у2\ придавая z значения от - |
1 до |- через |
||||
3023. Построить линии уровня функции 2, неявно заданной |
|||||
уравнением |
|
|
|
|
|
|
(t)2[(*-s)2v ]=(f)2[(*+^ +4 |
|
|||
давая 2 значения от - |
4 до 4 через единицу. |
|
|||
3024. Построить линии уровня функции 2, заданной неявно |
|||||
уравнением у2 = 2~г(х - г ) , давая z значения от - |
3 до 3 через 1. |
||||
3025. Найти линии уровня функции 2, заданной неявно уравнением 2 + * ln 2 + z/ = 0.
3026. В пространстве дана точка А, Расстояние переменной точки М от точки А есть функция координат точки М. Найти поверхности уровня этой функции, соответствующие расстояни ям, равным 1, 2, 3, 4.
3027. Функция u = f ( x ,y ,z ) задана следующим образом: в
точке |
Р(х,у>г) ее значение равно сумме расстояний |
этой точ |
ки от |
двух данных точек A (x lt ylf zz), В (х2, у2, z2) |
. Указать |
поверхности уровня функции f( x , у, z).
3028. Найти поверхности уровня функции
. l+jx2+y2+z2
и = In--- , -
1-<jx2+y2+z2
„2. ш.2
3029. Найти поверхности уровня функции и = — ~~•
3030. Найти поверхности уровня функции:
1)ц = 52*+3у+г,
2)и = tg(x2 + у 2 - 2 z 2}.
§ 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ |
215 |
3031. |
На рис. 45 |
изображены |
линии уровня функции |
|||
z ~ /(* » у)- |
Построить график функции: |
|
||||
1) |
* = /( * , 0); |
2) |
2 |
= f(x, 4); |
3) * = / (l, у); |
|
4) |
2 = /( - 5 , у); |
5) |
2 |
= f(x, Зх); |
6) г = f ( x y*2). |
|
§ 3. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
Частные производные
3032. Объем газа v является функцией его температуры и давления: ц = /(р ,Т ) . Средним коэффициентом расширения
газа при постоянном давлении и изменении температуры от Т\
|
”2-^1 |
Что следует назвать ко |
|
до 72 называют выражение «'ifa-H) |
|||
эффициентом расширения при постоянном давлении при дан |
|||
ной температуре То? |
|
|
|
3033. |
Температура в данной точке А стержня Ох является |
||
функцией абсциссы х точки А и времени t: 0 = f (я, t). |
Какой |
||
физический смысл имеют частные производные Ц и |
? |
||
216 |
ГЛ. X. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ |
|
|
|
3034. Площадь S прямоугольника выражается через основа |
||
ние Ь и высоту h формулой S = Ыг. Найти -Ц-, |
-Ц- и выяснить |
||
геометрический смысл полученных результатов. |
|
||
|
3035. Даны две функции: и = Va2 - х 2 (а - |
постоянная) и |
|
z = |
д/у2 - х 2 . Найти |
и М ., Сравнить результаты. |
|
В задачах 3036-3084 найти частные производные данных функций по каждой из независимых переменных (.х, у, z, и, и,
ф и \|/ - переменные):
3036. |
z — x —у ч |
|
|
3038. |
0 = а х е ~1+ bt |
(a, b - |
|
3039. |
z = ± |
+ ^ . |
|
|
V |
и |
|
3041. |
z = [ ь х 2у - у3 + 7j 3 . |
||
3043. |
z = ln (* + V * 2 + у г J . |
||
3045. |
z = — |
Ц - . |
|
|
arctg^- |
|
|
3047. |
z —ln^jc2 + y2j. |
||
3049. |
2 = arcsin |
^ =•. |
|
|
|
V * 2+y 2 |
|
3051. |
2 = e~ * . |
|
|
3053. |
и = a r c tg -^ . |
|
|
|
|
v-w |
|
3055. |
z = ( ! ) * . |
|
|
3057. 2 = *yln(ar + y).
3059. а = *y z .
3061. u = ■Jx2 + у г + г 2 .
3037. 2 = x 3y - y 3x .
постоянные).
3040. z = 4 ±4 - |
|||
|
|
x2+y2 |
|
3042. |
2 = x * J y + - ^ . |
||
3044. |
z = arctgy . |
||
3046. |
z = x y . |
|
|
3048. z - |
In ^ |
2+y2~x . |
|
|
|
<Jx2+y2+x |
|
3050. |
z = lntg — . |
||
|
|
|
У |
3052. |
z = In (* |
+ In у ). |
|
3054. |
2 = |
sin — cos—. |
|
|
|
У |
* |
3056. |
2 = |
( l + x y j* . |
|
3058. |
2 = x xy. |
|
|
3060. |
и = xy + yz + zx. |
||
3062. |
u = x3 + yz2 + 3yx |
||
3063. w = xyz + yzv + zvx + vxy.
|
|
|
§ 3. ПРО ИЗВО ДНЫ Е И ДИФ Ф ЕРЕНЦИАЛЫ |
|
|
||||||
3064. |
|
*( *2+J/2+*2) |
|
3065. |
и = sin |х 2 v |
+ 4 |
|
||||
и = e |
|
|
|
||||||||
3066. |
и = ln(z + y + z). |
|
3067. |
|
а |
3068. |
|||||
|
u = x z . |
||||||||||
3069. |
'( * |
|
|
yjx2 + у 2 |
в точке |
(3,4). |
|
||||
|
» y) = * + У - ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3070. |
z = 4 |
|
точке (1, 2). 3071. г = (2* + |
||||||||
|
|
|
" l |
B |
|
|
|
|
|
|
|
3072. |
z = (i + logy л:)3 . |
|
3073. |
z = хуе sin п х у |
|
||||||
3074. |
z = (r z + y2y-J* W |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
' 1+фс2+у2 |
|
|
|
|
|
|
||
3075. |
z = arctg *Jxy . |
|
|
3076. |
z = 2^1~у[ху |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+4*У ' |
|
|
3077. |
z = In |
х у 2 + у х 2 + ^1 + (*У2 + Ух2) |
|
|
|
||||||
3°78. z = |
|
|
+ a rcs in ^ -. |
|
|
|
|
||||
3079. |
|
|
/ |
v\ |
i |
arctg-j*--1 |
, у |
|
|
||
z = a rctg ^ rctg fj |
|
|
|
- arctg^. |
|
|
|||||
3080. |
и = ------- *-----г • |
|
3081. |
и = arctg (x - y)z . |
|||||||
|
|
(* w + * 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3082. |
и = (sin x T . |
|
|
3083. |
и = l n M |
^ 4 = ' |
|||||
|
|
v |
' |
|
|
|
|
|
1+i]x-‘ + y -+ z ‘i |
||
3084. |
(0 = |
|
tg2(x2z/2 + zV |
- |
*i/zi>)+ In cos (x2y2 + z2v2 - xyzv). |
||||||
3085- |
|
|
|
Найти f t |
ry |
|
|
|
|
||
3086. u = 4azs - b t 3 . Найти | |
H | n p H Z |
= t , |
t = a. |
||||||||
3087. |
г = *°°sy-y-a»* . Найти |f |
и |
при |
* = у = 0. |
|||||||
o u o i . * |
i + s i n x + з т у |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3088. |
и = д/sin2 л + sin2 / + sin2 z . Найти |
Lo |
■ |
||||||||
г = л /4
218 |
|
ГЛ. X. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ |
|
|
|
|
|||
|
3089. |
u =\n{l +x + y2+ 23). Найти их +иу +и2 при x - y = z - 1. |
|||||||
|
3090. |
2L+& |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x ,y ) = x3y - y 3x. Найти |
г=1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
дх ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j,=2 |
|
|
|
|
|
|
3091. Какой угол образует с положительным направлением |
||||||||
|
- |
|
х2+у2 |
, |
у - |
А |
|
точке |
|
оси абсцисс касательная к линии |
г = — |
|
4 в |
||||||
(2 ,4 ,5 )? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3092. Какой угол образует с положительным направлением |
||||||||
оси ординат касательная к линии z - |
-y/l + х2 + у 2, |
х = 1 |
в точ- |
||||||
ке (l, 1, -/з)? |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3093. Под каким углом пересекаются плоские линии, полу- |
||||||||
|
|
|
|
|
« |
г |
= х |
2 |
V2 |
чающиеся в результате пересечения поверхностей |
|
+ — и |
|||||||
I |
X* |
|
|
|
|
|
|
|
|
= -jp— плоскостью у = 2? |
|
|
|
|
|
|
|
||
Дифференциалы. Приближенные |
вычисления |
|||||
В задачах 3094-3097 найти частные дифференциалы данных |
||||||
функций по каждой из независимых переменных. |
|
|||||
3094. |
г = ху3 - Зх2у2 + 2у* . |
3095. |
2 = <Jx2 + y 2 . |
|
||
3096. |
z = |
. |
30$7. |
и = In (JC3 + 2у3 - z3) . |
||
3098. |
z = %Jx+ у2 . Найти dyz при х = 2, |
у = 5, Ду = 0,01. |
||||
3099. |
z = ifinxy. Найти |
dxz |
при |
* = 1, |
у = 1,2, |
|
А* = 0,016. |
|
|
|
|
|
|
3100. |
и = р - ^ |
+ Jp + q + r . Найти |
|
при у = 1, |
g = 3, |
|
г= 5, Ар = 0,01.
Взадачах 3101-3109 найти полные дифференциалы функций. 3101. у = х2у4 - * 3у3 + *4у2 . 3102. z = ±1п(х2 + у2).
3103. 2 = ^ . |
3104. z = arcsin —. |
х - у
|
§ 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ |
219 |
||
3105. |
г - sin (ху). |
3106. z = arctg |
|
. |
3107. |
z = -~2 +Уу2 • |
3108. z = arctg (ху). |
3109. и = хуг. |
|
|
Применения |
к вычислениям |
|
|
|||||
3110. |
Найти |
значение |
полного |
дифференциала |
функции |
||||
z = х + у - у/х2 + у2 при х = 3, у = 4, |
Ах = 0,1, Ду = 0,2. |
||||||||
3111. |
Найти |
значение |
полного |
дифференциала |
функции |
||||
z = еху при х = 1, у —1, |
Ах = 0,15, |
Ду = 0,1. |
|
|
|||||
3112. |
Найти значение полного дифференциала функции |
||||||||
z = *у 2 |
при х - 2 , |
у - |
1, |
Ддс = 0,01, |
Ду = 0,03. |
|
|
||
3113. |
Вычислить |
приближенно |
изменение |
функции |
|||||
z = |
ПрИ изменении л: от хг = 2 |
до х2 = 2,5 и у от |
уг = 4 |
||||||
до у2 = 3,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3114. В ы ч и с л и т ь |
приближенно In (>/l»03 + ^0,98 - 1). |
|
|||||||
3115. Подсчитать приближенно 1,042,02. |
|
|
|||||||
3116. Найти длину отрезка прямой |
х = 2, у - 3, |
заключен |
|||||||
ного между поверхностью |
z - х2 + у2 и ее касательной плоско |
||||||||
стью в точке ( l , 1, 2). |
|
|
|
|
|
|
|||
3117. |
Тело |
взвесили |
в |
воздухе |
(4,1 ±0,1 Н) и |
в воде |
|||
(1,8 ± 0,2 |
Н). Найти плотность тела и указать погрешность под |
||||||||
счета. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3118. |
Радиус |
основания |
конуса |
равен 10,2 ±0,1 |
см, обра |
||||
зующая равна 44,6 ± 0,1 см. Найти объем конуса и указать по
грешность подсчета.
3119. Для вычисления площади S треугольника по стороне
а и углам В и С пользуются формулой S = ~а2 |
• Найти |
относительную погрешность 53 при вычислении S, |
если отно |
сительные погрешности данных элементов равны соответствен но 5в, 5В, 5С.
2 2 0 |
ГЛ. X. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3120. |
Сторона |
треугольника |
|||
|
имеет длину 2,4 м и возрастает со |
|||||
|
скоростью |
10 см/с; |
вторая |
сторо |
||
|
на длиной 1,5 м уменьшается со |
|||||
|
скоростью |
5 см/с. |
Угол, |
заклю |
||
|
ченный между этими |
сторонами, |
||||
|
равный |
60°, возрастает со скоро |
||||
|
стью 2° |
в секунду. Как и с какой |
||||
|
|
скоростью изменяется площадь |
|
|
|
треугольника? |
|
3121. |
В усеченном конусе радиусы оснований |
равны |
|
R = 30 см, |
г = 20 см, высота |
Л = 40 см. Как изменится объем |
|
конуса, если увеличить R на 3 мм, г на 4 мм, h на 2 мм? |
|
||
3122. Показать, что при вычислении периода Т колебания |
|||
маятника по формуле Т = |
(J - длина маятника, g - |
уско |
|
рение силы тяжести) относительная погрешность равна полу сумме относительных погрешностей, допущенных при опреде лении величин I и g (все погрешности предполагаются доста точно малыми).
3123. Выразить погрешность при вычислении радиуса г дуги АВ (рис. 46) окружности по хорде 2s и стрелке р через погреш ности ds и ч dp. Вычислить dr при 2s = 19,45 см ± 0,5 мм,
р= 3,62 см ± 0,3 мм.
§4. Дифференцирование функций
Сложная функция*)
3124. u = ех~2у , * = sin f, у = tz ; — = ?
|
|
|
|
dt |
|
|
3125. |
u = z2 + у2 + zy, |
z = smt; |
у = el\ |
= ? |
|
|
3126. |
z = arcsin(nc - |
у), |
x = 3t, |
у = 4f3 ; |
^ - = ? |
|
3127. |
z = x2y - y2x, |
x = u cosy, |
y = u sinu; -jj-j- = ? |
= ? |
||
Начиная с этого раздела и до конца главы X нумерация задач в настоя щем издании отличается от нумерации 9-го и более ранних изданий.