книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf
|
|
§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ |
91 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
1159. |
у - |
2х2 - In х . |
1160. |
у = х - 2 sin х |
(0 < х < 2 я ). |
||
1161. |
у = 2 sin х + cos2х |
(0< х< 2 п ). |
|
||||
1162. |
у = х + cosх . |
1163. |
г/ = 1п|* + л/Г+* 2 J. |
||||
1164. |
у = Хл!ах - X2 (а > 0). |
|
|
|
|||
В задачах 1165-1184 найти экстремумы функций. |
|||||||
1165. |
у = 2х3 - З*2 . |
1166. |
у = 2х3 - 6х2 - 18х + 7. |
||||
1167. |
у = |
X2 +JC+1 |
1168. у = V*3 - 3*2 + 8 2. |
||||
|
|
|
|
|
|
||
1169. |
у = |
1 |
1170. |
у = - х 2^х2 + 2. |
|||
1п(х4+4х3+30) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
1171. |
у = | * 2^ 6 * - 7 . |
1172. |
у = -~4^ ... |
||||
|
|
|
|
|
9xVl-x |
|
|
1173. |
у = |
. |
1174. |
у = J(x2 - а2)2 . |
|||
|
|
V4+5x2 |
|
|
V\ |
/ |
|
1175. |
у = * - ln(l + л:). |
|
1176. у = * - |
ln(l + * 2). |
|||
1177. |
y = (x - 5 ftf(x + l)2 . |
|
|
|
|||
1178. |
у - \ х 2 - 2JCJIn JC- |
-| л:2 + 4 х . |
|
|
|||
1179. |
у = ^ л :2 + lja .r c tg x -jx 2 |
|
|
||||
1180. |
у = -l-(*2 -i)a r c s in * + -* -W l-* 2 - JL*2. |
||||||
1181. |
у - |
л:sin л: + c o s * - j * 2 |
1- < л: < . |
|
|||
1182. |
у = ^ - *)cos * + sin х - |
|
^0 < х < |
|
|||
1183. |
у = ■^-cos7i(jc + 3) + -^-sin7c(;c + 3) (0 < * < 4 ) . |
||||||
1184. |
у = аерх + Ье~рх . |
|
|
|
|
||
В задачах 1185-1197 найти наибольшее и наименьшее зна чения данных функций на указанных отрезках и в указанных интервалах.
1185. у = * 4 - 2 * 2 + 5 ; [- 2 ,2 ] .
92 |
|
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ |
|||
1186. |
У = х + 2у[х; [0 ,4]. |
|
|||
1187. |
у = х 5 - 5х4 + 5*3 + 1; |
[-1 ,2 ]. |
|||
1188. |
у = х3 - З х 2 + 6 х - 2 ; |
[-1 ,1 ]. |
|||
. 1189. |
у = л/lOO- |
х2 |
( - 6 < х < 8 ) . |
||
1190. |
у = ^ £±4 |
(0< х< 1). |
|
||
1191. |
у = |
(0 < х < 4 ) . |
|
||
1192. |
у = ^ - + |
(О < х < l) (а > 0, Ь> 0). |
|||
1193. |
у = sin 2х —х |
|
|
||
1194. |
у = 2 tg х - tg2 х (о < х < -|j. |
||||
1195. |
у = х х |
(ОД < х < -и»). |
|
||
1196. |
у = ^ х 2 - 2xJ |
( 0 < х < 3 ) . |
|||
1197. |
у = arctg-1^- |
(О < х < l). |
|||
Неравенства
В задачах 1198-1207 доказать справедливость неравенств.
1198. |
2л/Т > 3 - ^ |
(х > 1). |
1199. |
ех >1 + х |
(х * 0). |
|
1200. |
х > ln (i + х) (х > 0). |
1201. |
In* > |
(* > 1). |
||
1202. |
2*arctg* > ln (l + * 2). |
|
|
|||
1203. |
1 + * ln^* + V l + зс2J > V l + х 2 . |
|
||||
1204. |
ln(l + * ) > ^ | i |
(* > 0 ) . |
|
|
||
1205. |
s i n * < * - ^ - + ^ |
|
(х > 0). |
|
|
|
1206. |
sin * + tg * > 2х |
|о < * < |
|
|
||
1207. |
ch * > 1 + -у- |
(* Ф0). |
|
|
||
§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ |
93 |
Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций
1208. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.
1209. Какое положительное число, будучи сложено с обрат ным ему числом, дает наименьшую сумму?
1210. Число 36 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
1211. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которо го был бы равен 72 см3, причем стороны основания относились бы, как 1 : 2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы
полная поверхность была наименьшей? |
|
zn r. |
|
||||
1212. Из углов квадратного листа картона |
1 |
||||||
1 |
1 |
||||||
размером 18 х 18 см2 нужно |
вырезать |
одина |
1 |
||||
1 |
1 |
||||||
ковые |
квадраты так, |
чтобы, |
согнув лист по |
1 |
1 |
||
1 |
|||||||
1 |
|||||||
пунктирным линиям (рис. 16), получить ко |
1 |
1 |
|||||
1 |
|||||||
|
|||||||
робку |
наибольшей |
вместимости. |
Какова |
|
|
||
должна быть сторона вырезаемого квадрата? Рис. 16
1213. Решить предыдущую задачу для прямоугольного лис та размером 8 x 5 см2.
1214. Объем правильной треугольной призмы равен v. Како ва должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?
1215. Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном объеме v каковы должны быть радиус основания и высота ци линдра, чтобы его поверхность была наименьшей?
1216. Найти соотношение между радиусом R и высотой Н цилиндра, имеющего при данном объеме наименьшую полную поверхность.
1217. Требуется изготовить коническую воронку с образую щей, равной 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы ее объем был наибольшим?
1218. Из круга вырезан сектор с центральным углом а . Из сектора свернута коническая поверхность. При каком значении угла а объем полученного конуса будет наибольшим?
1219. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Ка ковы должны быть его стороны, чтобы объем тела, образованно го вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим?
94 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
1220. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Ка ковы должны быть его стороны, чтобы объем конуса, образо ванного вращением этого треугольника вокруг высоты, опущен ной на основание, был наибольшим?
1221. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.
1222. Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.
1223. Дождевая капля, начальная масса которой т о , падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь, так что убыль массы пропорциональна времени (коэффициент пропор циональности равен k). Через сколько секунд после начала па дения кинетическая энергия капли будет наибольшей и какова она? (Сопротивлением воздуха пренебрегаем.)
1224. Рычаг второго рода имеет точку опоры в А; в точке В
(АВ = а) подвешен груз Р. Вес единицы длины рычага равен k.
Какова должна быть длина рычага, чтобы груз Р уравновеши вался наименьшей силой? (Момент уравновешивающей силы должен равняться сумме моментов груза Р и рычага.)
1225. Расходы топлива для топки парохода пропорциональ ны кубу его скорости. Известно, что при скорости в 10 км/ч расходы на топливо составляют 30 руб. в час, остальные же расходы (не зависящие от скорости) составляют 480 руб. в час. При какой скорости парохода общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей? Какова будет при этом общая сумма расходов в час?
1226. Три пункта А> В и С расположены так, что ZABC =
= 60°. Из |
пункта А выходит автомобиль, а одновременно из |
пункта В - |
поезд. Автомобиль движется по направлению к В со |
скоростью |
80 км/ч, поезд - по направлению к С со скоростью |
50 км/ч. В какой момент времени (от начала движения) рас стояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если АВ = 200 км?
1227. На окружности ^ана точка А. Провести хорду ВС па раллельно касательной в точке А так, чтобы площадь треуголь ника АВС была наибольшей.
1228. Найти стороны прямоугольника наибольшего пери метра, вписанного в полуокружность радиуса R.
1229. В данный сегмент круга вписать прямоугольник наи большей площади.
§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ |
95 |
1230. Около данного цилиндра описать конус наименьшего объема (плоскость основания цилиндра и конуса должны совпа дать).
1231. Найти высоту прямого кругового конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.
1232. Найти угол при вершине осевого сечения конуса наименьшей боковой поверхности, описанного около данного шара.
1233. Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?
1234. Найти высоту конуса наименьшего объема, описанно го около полушара радиуса R (центр основания конуса лежит в центре шара).
1235. Какова должна быть высота конуса, вписанного в шар радиуса R, для того чтобы его боковая поверхность была наи большей?
1236. Доказать, что конический шатер данной вместимости требует наименьшего количества материи, когда его высота в
раз больше радиуса основания.
1237. Через данную точку P (l,4 ) провести прямую так,
чтобы сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наименьшей.
1238. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади,
х2 У 2 1
вписанного в эллипс ■±т-+ ^ - = 1.
а2 Ь2
1239. Найти наименьший по площади эллипс, описанный около данного прямоугольника (площадь эллипса с полуосями а и Ъравна nab).
2 |
у 2 |
1240. Через какую точку эллипса |
+ -Jg- = 1 следует про |
вести касательную, чтобы площадь треугольника, составленного этой касательной и осями координат, была наименьшей?
1241. На эллипсе 2х2 + у2 = 18 даны две точки А (1, 4) и
В(3, 0). Найти на данном эллипсе третью точку С такую, что бы площадь треугольника АВС была наибольшей.
1242. На оси параболы у2 =2рх дана точка на расстоянии а от вершины. Указать абсциссу х ближайшей к ней точки кривой.
9 6 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
1243. Полоса железа шириной а должна быть согнута в виде открытого цилиндрического желоба (сечение желоба имеет форму дуги кругового сегмента). Найти значение центрального угла, опирающегося на эту дугу, при котором вместимость же лоба будет наибольшей.
1244. Бревно длиной 20 м имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого равны соответственно 2 м и 1 м. Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным сечением, ось которой совпадала бы с осью бревна и объем которой был бы наибольшим. Каковы должны быть размеры балки?
1245. Ряд опытов привел к п различным значениям jtlf * 2, ... хп для исследуемой величины А. Часто принимают в ка честве значения А такое значение х, что сумма квадратов от клонений его от * i, * 2, ••• хп имеет наименьшее значение. Най ти х уудовлетворяющее этому требованию.
1246. Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега; с миноносца нужно послать гонца в лагерь, расположен ный в 15 км, считая по берегу от ближайшей к миноносцу точ ки берега (лагерь расположен на берегу). Если гонец может де лать пешком по 5 км/ч, а на веслах по 4 км/ч, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?
1247. Прямо над центром круговой площадки радиуса R нужно повесить фонарь. На какой высоте нужно это сделать, чтобы он наилучшим образом освещал дорожку, которой обве дена площадка. (Степень освещения некоторой площадки прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей и обратно про порциональна квадрату расстояния от источника света.)
1248. На отрезке длиной Z, соединяющем два источника све та силы Ii и 12 , найти наименее освещенную точку.
1249. Картина высотой 1,4 м повешена на стену так, что ее нижний край на 1,8 м выше глаза наблюдателя. На каком рас стоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы его поло жение было наиболее благоприятным для осмотра картины (т. е. чтобы угол зрения был наибольшим)?
1250. Груз весом Р, лежащий на горизонтальной плоскости, должен быть сдвинут приложенной к нему силой F. Сила трения пропорциональна силе, прижимающей тело к плоскости, и направ лена против сдвигающей силы. Коэффициент пропорциональности (коэффициент трения) равен k. Под каким углом <р к горизонту
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ
1259. В прямоугольной системе координат хОу даны точка
(a, b) |
и кривая |
y = f(x). |
Показать, что расстояние между по |
стоянной точкой |
(а,&) и |
переменной (* ,/( * ) ) может достиг |
|
нуть |
экстремума |
только |
в направлении нормали к кривой |
y= f(x).
Первообразной функции f(x) называется функция ^(ж), производная которой равна данной функции: F'(x) = f{x).
Взадачах 1260-1262 показать (при помощи дифференциро вания и без него), что данные функции являются первообраз ными одной и той же функции.
1260. |
у = In ах и |
у = In х . |
1261. |
у = 2 sin2 х |
и у = - cos 2х . |
1262. |
у = (е* + е_х|2 и у = {ех - «Г1)2 . |
|
1263*. Показать, что функция
у = cos2 х + cos2| j + xj - cos x cos ^ + xj
есть константа (т. e. не зависит от х). Найти значение этой кон станты.
1264. Показать, что функция у = 2arctgx + arcsin-^— есть
1+хг
константа при х > 1. Найти значение этой константы. 1265. Показать, что функция
» =агссоз! ^ г " 2arctg( & e f }
где 0 < Ь < а , есть константа при лс>0. Найти значение этой константы.
1266. Убедиться в том, что функции j e 2x, ех shx и ех ch х
отличаются одна от другой на постоянную величину. Показать, что каждая из данных функций является первообразной для функции е2х.
|
|
|
§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ |
99 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3. Применение второй производной |
||||||||
|
|
|
|
Экстремумы |
|
|||
В задачах 1267-1275 найти экстремумы данных функций, |
||||||||
пользуясь второй производной. |
|
|
|
|
||||
1267. |
у = х3 - 2ах2 + а2х (а > 0). |
|
|
|||||
1268. |
у = x2( a ~ x f |
1269. |
у = д: + ~ |
(а > ° ) . |
||||
1270. |
у = x + -J l-x |
1271. |
у = х42 - х2. |
|||||
1272. |
у |
= chax. |
|
1273. у = * V \ |
|
|||
1274. |
у |
= |
|
|
|
|
1 |
|
1пх |
|
1275. у = X х . |
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1276. |
При каком значении |
а |
функция |
f(x)= a sin х + |
||||
+ -|-sin3x |
имеет экстремум при |
х |
= j ? Будет ли это максимум |
|||||
или минимум? |
значения а |
|
Ь, |
|
|
|||
1277. |
Найти |
и |
при которых функция |
|||||
у = a In х + Ьх2 + х |
имеет экстремумы в точках хг = 1 и х2 =2. |
|||||||
Показать, что при этих значениях а и b данная функция имеет минимум в точке хх и максимум в точке х2.
Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
1278. Выяснить, выпукла или вогнута линия у = х5 - 5х3 -
-15 х2 +30 в окрестностях точек (l, l l ) и (3, 3). |
|
|||||
1279. Выяснить, |
выпукла |
или вогнута |
линия |
у = arctg х |
||
в окрестностях точек |
^1, |
и ^-1, --jJ . |
|
|
||
1280. |
Выяснить, |
выпукла |
или вогнута |
линия |
у = х 2In д |
|
в окрестностях точек |
(l, 0) |
и |
- - y j . |
|
|
|
1281. |
Показать, что график функции у = х arctg х везде во |
|||||
гнутый. |
|
|
|
|
|
|
1282. |
Показать, |
что график функции |
у = In|х2 - lj везде |
|||
выпуклый.
4»
100 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ
1283. Доказать, что если график функции везде выпуклый или везде вогнутый, то эта функция на может иметь более од ного экстремума.
1284. Пусть Р(х) - многочлен с положительными коэффи
циентами и четными показателями степеней. Показать, что график функции у = Р(х) + ах + Ъ везде вогнутый.
1285. |
Линии у - <р(л:) и |
у = \|/(лс) |
вогнуты |
на |
интервале |
||||||
(а, &). Доказать, что на данном интервале: а) линия |
у = <р(*) + |
||||||||||
+ \|/(зс) вогнута; б) если <р(*) |
и |
положительны |
и имеют |
||||||||
общую точку минимума, то линия у = |
|
|
вогнута. |
|
|||||||
1286. |
Выяснить вид графика функции, если известно, что |
||||||||||
в интервале |
(a, b): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) 2/ > 0, |
у'> 0, |
у" < 0; |
2) |
у > 0, |
у ' < 0, |
у" > 0; |
|||||
3 ) у < 0 , |
у'> 0, |
у"> 0; |
4) |
у > 0, |
у ' < 0, |
у |
< 0 . |
||||
В задачах 1287-1300 найти точки перегиба и интервалы во |
|||||||||||
гнутости и выпуклости графиков данных функций. |
|
|
|||||||||
1287. |
у = х3 - 5 х 3 + З х -5 . |
1288. у = (х + l)4 + в*. |
|
||||||||
1289. |
у = х* - 12х3 + 48*2 - |
50. |
|
|
|
|
|
|
|
||
1290. у = х + 36х2 - 2*3 - х4. 1291. |
у = Зхб - 5х4 + S x - 2 . |
||||||||||
1292. |
у = (х + 2)в +2х + 2. |
1293- * |
% |
w |
(а > °)- |
||||||
|
|
|
|
||||||||
1294. |
у = a - i f x ^ b . |
1295. |
у = ednJt |
|
|
|
|||||
1296. |
у = ln(l + я2). |
1297. |
» = |
|
( в>0 ) . |
||||||
1298. у = a - ij(x - ft)2. |
1299. |
у = е,гс‘г*. |
|
|
|||||||
1300. |
у = х*(12 In ж - 7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1301. Показать, что линия |
у = — |
имеет три точки |
пере- |
||||||||
|
|
|
|
х2+1 |
|
|
|
|
|
|
|
гиба, лежащие на одной прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1302. Показать, что точки перегиба линии |
у = х sin х |
лежат |
|||||||||
на линии у 2U + х2) = 4х2 .