книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf§ 3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ |
31 |
|
Доказать на основе теоремы, приведенной в предыдущей за даче, что обе последовательности ип и vn стремятся к одному и тому же пределу, заключенному между щ и v0.
220.Дана последовательность чисел ип:
= л /б , и2 = yj6 + U t ..., ип = д /б + Lt„_! ,...
Доказать, что эта последовательность имеет предел, и найти
его.
§3. Непрерывные функции
221.Функция у определена следующим образом:
у = 0 |
при |
х < 0 ; |
у = х |
при |
0 < х < 1; |
у = - х 2 + 4х - 2 |
при |
1 < х < 3 ; |
у = 4 - х |
при |
х > 3. |
Будет ли эта функция непрерывной?
222. Три цилиндра, радиусы оснований которых соответст венно равны 3, 2 и 1 м, а высоты одинаковы и равны 5 м, по ставлены друг на друга. Выразить площадь поперечного сечения получившегося тела как функцию расстояния сечения от ниж него основания нижнего цилиндра. Будет ли эта функция не
прерывной? Построить ее график. |
|
|
|||
„ |
, / \ |
fjc + l , |
е с л и * < 1; |
|
|
223. Пусть |
f{x) = |
•! |
2 |
х > 1. |
|
|
4 ' |
[3 - ах |
, если |
|
|
При каком выборе числа а функция |
/(* ) |
будет непрерывной? |
|||
(Построить ее график.) |
|
|
|
||
|
|
-2 sin х , |
если |
х< -п/2 |
|
224. Пусть |
f (х) = |
A sin х + В , |
если -п/2 < х < п/2, |
||
|
|
cos х , |
|
если |
х > п/2. |
Подобрать числа А и В так, чтобы функция /(* ) была непре
рывной; построить ее график. |
|
|
|
225. В каких точках терпят разрывы функции у = |
и |
У - |
— ? Построить графики обеих функций. Выяснить раз- |
|
|
* +2)2 |
|
ницу в поведении этих функций вблизи точек разрыва.
32 |
ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ |
|
|
|||
226. Функция f (*) = |
не определена при |
х = 1. |
Каким |
|||
|
' |
' |
х -1 |
|
|
|
должно быть значение |
/ (l), |
чтобы доопределенная этим значе |
||||
нием функция стала непрерывной при х = 1? |
|
|
||||
227. |
Какого рода разрывы имеют функции |
у = |
и |
|||
у = с0^х |
при х = 0 ? |
Указать характер графиков этих функций |
||||
в окрестностях точки |
х = 0. |
|
|
|
||
228. |
Исследовать непрерывность функции, заданной так: |
|||||
у = |
при * * 0, |
у = 0 при х = 0. Построить |
график этой |
|||
функции.
229.Сколько точек разрыва (и какого рода) имеет функция
у= —f-r ? Построить ее график.
1В\Х \
230. Функция у = arctg ^ не определена в точке х = 0. Можно ли так доопределить функцию f(x ) в точке х = 0, чтобы
функция стала непрерывной в этой точке? Построить график этой функции.
231. Исследовать непрерывность функции, определенной так:
/(* ) = sin— п р и * * |
0, / (О) = 1. |
|
Построить график этой функции. |
|
|
232. Построить график функции |
/(* ) = * sin -2.. Какое зна |
|
чение должно иметь /( 0), чтобы функция |
/(* ) была везде не |
|
прерывной? |
|
|
233. Доказать, что функция у = —1 |
имеет в точке * = 0 |
|
|
1+ 2* |
|
разрыв первого рода. Построить схематично график этой функ ции в окрестности точки * = 0 .
1
234. Исследовать характер разрыва функции у = 2~г1 * в
точке х = 1. Можно ли так определить у при * = 1, чтобы функция стала непрерывной при * = 1?
235. Исследовать характер разрыва функции у - |
1 |
в |
2*+1
точке * = 0 .
§ 3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ |
33 |
236. Функция / (*) определена следующим образом:
J_L+i|
/(* ) = (* + 1)2 *' при * Ф0 и /(О) = 0.
Доказать, что в интервале -2 < * < 2 функция f (*) прини мает все без исключения значения, содержащиеся между /( - 2 ) и /(2 ), и что она все же разрывна (в какой точке?). Построить
ееграфик.
237.Исследовать непрерывность функции у = ^ ^tgx . Выяс
нить характер ее графика.
238. Функция определена так: если * - рациональное число, то /(* ) = 0; если * - иррациональное число, то /(* ) = * . При
каком значении * эта функция непрерывна?
239. Исследовать непрерывность и построить график функции:
1)1/ = * - [ * ] ; 2 ) » = ^ ; 8 ) у = (-1)М .
[Функция [*] равна наибольшему целому числу, не превосхо
дящему * (см. задачу 59).]
240.Используя свойства непрерывных функций, убедиться
втом, что уравнение * 5 - 3* = 1 имеет по меньшей мере один корень, заключенный между 1 и 2.
241*. Показать, что: а) многочлен нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень; б) многочлен четной степени имеет по меньшей мере два действительных корня, если он принимает хотя бы одно значение, противопо ложное по знаку коэффициенту при его старшем члене.
242.Показать, что уравнение х -2х =1 имеет по меньшей мере один положительный корень, не превосходящий 1.
243. Показать, что уравнение * = a sin * + Ъ, где 0 < * < 1,
Ь> 0, |
имеет по меньшей мере один положительный корень и |
|||||
притом не превосходящий b + а. |
|
|
|
|||
244*. Показать, что |
уравнение ——— + |
- + “ |
Г“ = 0» гДе |
|||
|
|
|
Х—Л.1 |
Х—Л2 |
*“Лз |
|
аг > 0, |
а2 > 0, а3 > 0 |
и |
< Л2 < Х3, |
имеет два действитель |
||
ных корня, заключенных в интервалах |
(Xj, Л2) и (А.2Д 3). |
|||||
2-2S2S
34ГЛ. II. ПРВДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§4. Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых
Функции целочисленного аргумента
В задачах 245-267 найти пределы. |
|
|
|
||||||
245. lim *±1. |
|
|
|
(п+1)2 |
|
||||
|
246. Нт -— |
|
|
||||||
|
л->» |
п |
|
|
л— |
2л2 |
|
||
247. Um |
|
|
. |
248. 11т ■"3-l00i>2ti |
|
||||
|
Л-»оо (л+1)2+(л-1)2 |
|
|
л—>°° |
ЮОл2+15л |
|
|||
°49 |
lim |
|
ЮООл3+3л2 |
«50 Пт Ся+1)4-('>-1)4 |
|
||||
|
л-юо 0,001л4-100л3+1 |
|
Л->» (л+1)4+(л-1)4 |
|
|||||
251.1im |
(2л+1)4+(л-1) |
|
252. lim £ , *2't- 1. |
|
|||||
|
л—>°° |
|
|
л—>оо |
Л+2 |
|
|||
253. 11т |
|
. |
|
|
|
Г7лГ+„12 |
|
||
|
|
254. lim -— |
' |
|
|||||
|
Л—>оо |
|
П+* |
|
|
л->~ |
^лв+1 |
|
|
255. lim |
|
1+i+^lL |
|
|
|
|
|
||
|
л-»~ vлв+6лб+2 - Vл7+3л8+1 |
|
|
|
|
||||
°56 |
lim |
^ |
+2^fe+i |
|
ОСГГ |
lim |
л1 |
|
|
|
л»>1 |
. um |
т—-г-----. |
|
|||||
|
л-»« |
|
|
|
|
Л—>°° |
(л+1)1-лI |
|
|
258 |
lim |
(л+*}Йм*)! |
|
|
Нт |
(л+2)!+(п+1)1 |
|
||
|
л->о*:., |
(л+а)г| |
|
|
п—ъ°° (л+2)1—(л+l)1 |
|
|||
|
|
1+4-+4+...+-L |
|
|
|
|
|
|
|
260. lim |
— — ----- 2- |
|
261* lim |
(l + 2 + 3+.. .+л). |
|||||
|
|
|
|
|
|
Л~»оо |
п* х |
|
' |
262. lim |
(l±2±3jwtn __ п\ |
263. lim |
|1=а+з-4+--2п) |
||||||
|
п—>°° V |
п+2 |
2/ |
|
л->~ (, |
Vn2+1 |
у |
||
|
|
|
|
|
|
||||
ж -й . ( А ♦ А * ■■ |
■ |
|
|
|
|
||||
266. lim |
|
|
|
267. Um |
|
|
|
||
_Ул—»<*' 2л+1 |
|
|
»->“ |
2»+1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ПРВДЕЛОВ |
35 |
|||
|
Функция непрерывного аргумента |
|
||||
В задачах 268-304 найти пределы. |
|
|||||
268. |
lim |
4 ± ^ . |
269. |
lim ( xl3xt+1 + ' |
|
|
|
x—>2 |
xz-3 |
|
I 4 t V |
*-4 |
|
270. |
lim |
T^ -. |
271. |
lim |
■■ |
|
|
x—>1 1-* |
|
x-*Va * +* +1 |
|
||
272. |
lim |
*2~a2*+1. |
273. |
lim |
lS+,3l2+21 |
|
|
X—>1 |
X -x |
|
x—>-2 xz-x-6 |
|
|
274. lim |
. |
275. |
lim |
|
|
|
|
X—>1 |
*2-1 |
|
|
|
|
276. |
lim |
х -х -х+1 |
277. |
lim (,J -------О . |
|
|
|
X—>1 |
|
|
1-X3J |
|
|
278. |
lim |
|
|
|
|
|
|
x—>2 _x(x-2)2 |
|
|
|
|
|
279. lim |
x+2 |
3(X2-3 X +2) |
|
|
||
|
X—>1 |
x -5x+4 |
|
|
||
280. |
lim |
71-1 (т и п - |
'x-^'l xn-l |
||
281. |
lim |
- / ■+f . |
|
X~>oox -3xz+l |
|
283. |
lim - ф 1-. |
|
|
I - » - |
2x2+1 |
285. |
lim |
|
целые числа).
282. lim H r -5* - x—>°° xr-.3x+l
284. lim
x—>°° l+xz+3x8
288. |
lim |
(x+l)10+(x+2)10+...+(x+100)K |
||
xlu+10u |
|
|
||
|
|
|
|
|
289. |
lim 7X2+1+-JX |
290. lim |
||
|
*+°° Vx3+x-x |
|
V x U i -b 4+i |
|
291. |
lim |
Щ Б :ijfef3- 1.. |
292. |
lim |
|
X->+°o VX8+X7+1-X |
|
|
|
293. |
lim |
fa x 2-! |
294. |
lim |
|
x-»0 |
|
|
x—>0 x2 |
36 |
ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ |
295. lim / E L - .
*-»0 VJC2+16-4
297.lim 4 ^ / i .
дг—>1 Vx-1
299. lim |
- 1 . |
|
|
ж-»0 |
Л2 |
|
|
301. Um |
ж2-а2 |
1а > &) |
|
х->а |
' |
t |
|
296. lim ■Уж-1-2
Ж—>б ж-б
298. lim л/ж+Л-л/ж
Л->0 Л
300. lim
ж-»0 X
|
л/Г_1 |
|
целые числа). |
|
|
||
302. lim -^=—j- (п и /л - |
|
|
|||||
303*. lim |
х+хг |
304. lim & **-'^+** , |
|||||
|
ж->0 |
|
х—>1 |
*“1 |
|||
305. |
Как |
изменяются |
корни |
квадратного |
уравнения ах2 + |
||
+ бх + с = 0, |
когда |
б и с |
сохраняют |
постоянные значения |
|||
( * " 0 ) . а величина а стремится к нулю? |
|
|
|||||
В задачах 306-378 найти пределы. |
|
|
|||||
306. |
lim («</* + а - |
■*/*). |
307. lim |
^л/л:2 +1 - |
|||
|
Ж->оо \ |
|
|
|
|
x {jx 2 + 1 -4 |
|
308. |
lim |
Гл/л:2 +1 - л:]*). |
309. |
lim |
|||
|
ж—»±°° |
||||||
310. |
lim |
+ “ )(*+ *> )-*)• |
|
|
|
||
|
ж—>+«> |
|
|
|
|
|
|
311. lim |Vx2 - 2* - 1 - ж—>±оо
312. lim I |
"ГГ + i—i 4 м 1 |
ж—>оо \ |
|
313.lim x 2|V*8 + l - ‘ ж—>°° V,
314.lim
ж->0 |
* |
316 . lim |
. |
Х-»0 81ПРЖ
4 х2 - lx + 3J .
1 .И,
)
315.' lim
х—>0 *
317. Иш -*£l£.
. х _> 0 Bin 5ж
В примерах, где указано х —» ±«*, следует отдельно рассматривать слу чаи X —¥ +оо И X —> -оо.
§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
37
318. |
lim |
sin(an) (п и т - |
|
а->0 (sinа)"1 |
|
319. |
Ит 2_arc3in* |
|
|
x—>0 |
3* |
321. lim x—>0 xa
323. lim , tga
“-*0 ^(l-cosa)2
325.lim
a-»0 a8
327. lim (-J ------г*—). x_»0 'Binx tgx /
329. lim — со**
*“ >f Щ1-Опх)я
331.lim
333.lim (l-z)tg -S f-.
z—>1 *
335. |
lim |
cos^ m x |
|
„_. л |
cos2x |
целые положительные числа).
320. lim
х->0 2x+arctgx
322. lim
л_>0 *sin2x
324. lim itsia ^ sosi.
1-sin x-cosx
326. lim (1~С°3аГ • a-»0 tgJa-sin3a
328. lim T ^ f . (f-*)
330.lim ^ЧИ-.
332.lim
a-»7i l-s l
334. lim ( s i n ^ t g f ) . y-»a
sin(x“ )
336. lim
X->J ^f-COSX
337. |
|
1-sinf |
llm |
— 71— , ■ 7 v |
|
|
x->n cos|^cos-|-sm-|j |
|
339. |
lim |
cos(a+x)-cos(a-x) |
---- *------------*------. |
||
|
x-»0 |
x |
341. |
lim |
sin(a+x)-sin(a-x) |
-Г7-----Г Т Т ----Г- |
||
|
>0 |
tg(a+x)-tg(a-x) |
338. |
|
|
|
340. |
П т ^sax-cosp ^ |
||
|
x-»0 |
* |
|
342. |
lim |
6in2“ --^ |
. |
|
a _>P |
a 2 - P 2 |
|
sin(a+2A)-28in(e+A)+sina
343. |
|
|
|
|
|
344. |
lim |
h2 |
|
|
|
|
Л-+0 |
|
|
||
345. |
lim |
л/2-Vi+cosx |
346. lim |
Jl+sinx-Vl-sinx |
|
tgx |
|||||
|
x-»0 |
sin2 x |
x—>0 |
||
347. |
lim |
■\/l+xsinx-Vcos2x |
348. lim 1-C03XVC082X |
||
|
x-»0 |
* 2f |
X—>0 |
|
|
38 |
|
|
ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ |
|
|
|||||
„ . п |
.. |
^/l+arctgЗх-^/l-arcsinЗх |
350*. |
|
lim |
^ -V ^ o osx |
||||
o4v« |
llITl |
i |
|
— |
I ■ ■■■■ |
|
||||
|
x-»0 Vl-arcsin2x-yl+arctg2x |
|
|
x—>—1 |
V*+l |
|||||
3“ |
~ |
( ^ |
Г - |
|
352- |
|
“ m. |
N |
)'- |
|
3S3. |
lim |
(l + |
Xf |
|
354. |
lim |
( l + - ) ”“ • |
|||
|
X—»oo V |
|
|
|
x—»oo |
' |
X' |
|||
355- |
|
i |
19i*—1 |
356' |
|
|
|
/ |
i iii. |
|
|
(й) |
• |
|
|
(Ifrf) 3 • |
|||||
3“ |
( Й * • |
|
359- Л 1! - |
t e r ) * - |
|
|
|
2 |
361. |
lim |
(l + l ) x . |
363. lim (l + sin x)cosec*.
x—>0 V |
1 |
365.lim ln(l+**) . x-»0 *
367.lim {.x [ln(a: + a) - In *]}.
369.lim
Л-»0 h
371.lim ^-=f- x—>1
373.lim
x->0
375. |
lim |
„ox -bx |
* |
||
|
x->0 |
* |
377. |
lim |
(ch x - sh x) . |
35«- |
|
|
36°- |
|
|
362. |
lim |
( * Г 2*+11*. |
364. |
lim |
(l + tg2-Ixf*. |
|
x->0 |
|
366. |
lim |
ln(a+l)4n° . |
|
*-*0 |
* |
368. |
lim ln* -1 . |
|
|
x->e |
x-e |
370.lim x-»0 3x
372*. |
lim |
e* ~co9* . |
|
x->o |
x2 |
374. |
geln2x_geln* |
|
lim |
X |
|
|
x->0 |
|
376. |
lim |
x^ex - 1 |
378. |
lim |
th x . |
X—>±°°
В задачах 379-401 найти пределы.
379. lim ^а*+^ . Отдельно рассмотреть случаи, когда п
х—>°° Xя +А
есть: 1) целое положительное число, 2) целое отрицательное число, 3) нуль.
§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ |
39 |
|
380. |
lim |
х\ V*2+ VJC4+1 -- x S j . |
|
|
|
|
|||||||
|
X —>±°о |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
381. |
Иш |
|
(а > 6). |
|
382. lim |
|
(a > 0). |
||||||
|
х—>±°° а +1' |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|||
383. |
lim |
|
X |
|
|
|
|
384. lim |
m tgx . |
|
|||
|
X— |
|
|
|
|
|
|
X — |
X |
|
|
||
|
lim |
*+sin*. |
|
|
|
|
|
>°° |
ares;nx. |
|
|||
385. |
|
|
|
386. lim |
|
||||||||
|
д:_>оо *+cosx |
|
|
|
|
x->l |
tg f |
|
|
||||
387. |
j.msin(a+3A)-3sin(a+2A)+3sin(a+A)-sina |
|
|
||||||||||
h—*0 |
|
|
|
|
|
|
h? |
|
|
|
|
|
|
388. |
lim |
tg2*|V2sin2x+ 3sin:*:+ 4- Vsin2Jt: + 6sinje + 2 |
|||||||||||
|
.. l-cos(l-cosx) |
|
|
„„„. |
|
|
cos— . |
„\ |
|||||
389. lim.-----390*. lim |
cos-Jcos |
|
2Л/ |
||||||||||
|
x—>0 |
|
X 4 |
|
|
|
|
n->« l |
2 |
4 |
|||
391. lim |
ac2(l- cos—). |
|
392. lim (cosл/х+1- cosV*). |
||||||||||
|
X —>°° |
|
' |
X ' |
|
|
|
X — |
' |
|
|
/ |
|
393*.•J™*(arctef72-f)- |
|
|
|
|
|
||||||||
394. |
lim arfarctg-^^-arctg *,). 395*. lim |
““i-ix-arct** |
|||||||||||
|
jc—»oo |
|
\ |
X+4 |
|
|
|
x+2> |
|
x-»0 |
|
x3 |
|
396. |
lim |
fl + ^-T (л >0). |
397*. lim |
(cos*)®*"7. |
|||||||||
|
x->+~ V |
ХЛJ |
|
|
|
|
|
|
x-»0 |
' J |
} |
||
398. |
lim |
Inc°s*. |
|
|
|
|
399. |
lim |
|
. |
|||
|
x—>0 |
|
xz |
|
|
|
|
|
|
x-»oV * / ( |
|
||
400. |
lim (cos x + sin |
' |
. |
|
401. |
lim (ссв'дг+ a sin bx)x , |
|||||||
|
x-»ov |
|
|
|
|
|
x—>0v |
|
1 |
||||
|
Сравнение |
|
бесконечно малых |
|
|||||||||
402. Бесконечно малая величина ип принимает значения |
|||||||||||||
|
“ 1 = 1 . “ 2 = | . |
“ 8 = | ....... “ » = £ . |
|
|
|||||||||
а бесконечно малая величина vn - |
соответственно значения |
||||||||||||
|
“ 1 = 1. |
“ 2 = i f . |
|
“8 = i r ........- |
|
|
|
||||||
Сравнить ип и vn; какая их них высшего порядка малости? |
|||||||||||||
403. Функция ип принимает значения |
2* |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ 1 = 0 . |
“ 2 = | . |
|
“ 8 = $ . |
- . |
“ » =Л7 "> - > |
|
||||||
40 ГЛ. II. ПРВДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
а функция vn - |
соответственно значения |
|
|
|
|||||||||
|
„ |
_ |
о |
„ |
_ 5. |
„ |
_ |
10 |
|
„ |
_ |
п2+1 |
|
|
и1 |
|
|
и2 - 8* и3 - |
27’ |
Vn |
- |
пз » ” • |
|||||
Сравнить эти бесконечно малые величины. |
|
|
|||||||||||
404. |
Бесконечно малая величина ип принимает значения |
||||||||||||
|
“ 1 |
= 0 . |
«2 |
= { . |
“ 3 = |
f ........ |
|
= ^ Г . |
|
||||
а бесконечно малая величина v„ - |
соответственно значения |
||||||||||||
|
"1=8. "2=f> "8 |
=|. |
|
|
2п+1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Убедиться в том, что ип и vn - |
бесконечно малые одного поряд |
||||||||||||
ка, но неэквивалентные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
405. |
При |
х -> 1 |
функции |
у = |
|
и |
у = 1 - 4х |
бесконечно |
|||||
малы. Которая из них высшего порядка малости? |
|
||||||||||||
406. |
Дана функция у = х а . Показать, |
что Лу |
и А* при |
||||||||||
Ад: —» 0 |
и при |
х Ф0 |
являются бесконечно малыми одного по |
||||||||||
рядка. Проверить, что при |
х = 0 |
величина |
Ау бесконечно ма |
||||||||||
лая более высокого порядка, |
чем Ад:. При каком значении х |
||||||||||||
приращения Ад: и Ау |
будут эквивалентными? |
|
|||||||||||
407. |
Убедиться в том, что при |
х —> 1 |
бесконечно малые ве |
||||||||||
личины |
1 - х |
и |
1 - $[х будут одного порядка малости. Будут ли |
||||||||||
они эквивалентными? |
|
|
,-------- |
|
|
|
|
||||||
408. |
Пусть |
|
'.'Г |
|
|
|
|
(а > 0) |
будет беско |
||||
д :-»,0 . Тогда |
Va + я3 -> /а |
||||||||||||
нечно малой величиной. Определить порядок ее относительно х. 409. Определить порядок относительно х функции, беско
нечно малой при д: —> 0: |
|
|
|
1) л:8 + ЮООзс2 ; |
3) |
i f c i L |
4 ) - ^ . |
|
|
l +V* |
X +1 |
410. Доказать, что приращения функций и = a jx и v = Ьх2 |
|||
при х > 0 и при общем приращении |
Ад: —>0 |
будут одного по |
|
рядка малости. При каком значении х они будут эквивалент ными (а и b отличны от нуля).
411. Показать, что при |
х —»1 |
бесконечно малые величины |
1 -д : и a(l - л/л^, где а Ф0 |
и k - |
целое положительное число, |
будут одного порядка малости. При каком значении а они будут эквивалентными?