книги / Сборник задач по курсу математического анализа

818. Показать, что для гиперболы ху = а площадь тре­

угольника, образованного любой касательной и координатными осями, равна квадрату полуоси гиперболы.

819. Точка движется по прямой так, что ее расстояние s от

начального пункта через t с равно s = j * 4 - 4t3 + Ш 2.

а) В какие моменты точка была в начальном пункте? б) В какие моменты ее скорость равна нулю?

820. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону

s = l + t + t2 ; s выражено в сантиметрах, t - в секундах. Опре­

ла движения.

821.Угол а поворота шкива в зависимости от времени t задан функцией а = t2 + 3* - 5. Найти угловую скорость при t = 5 с.

822.Колесо вращается так, что угол поворота пропорцио­ нален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8 с. Найти угловую скорость со через 32 с после начала дви­

жения.

823. Угол 0 , на который поворачивается колесо через t с

равен 0 = at2 - bt + c , где а, b, с - положительные постоянные.

Найти угловую скорость со движения колеса. В какой момент времени угловая скорость будет равна нулю?

824. Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с момента времени t = 0, дается формулой

Q = 2t2 +3t + l (Кл). Найти силу тока в конце пятой секунды.

825.На линии у = х2(х -2 )2 найти точки, в которых каса­ тельные параллельны оси абсцисс.

826.Показать, что линия у = х6+ 5х - 12 во всех своих точках наклонена к оси Ох под острым углом.

827.В каких точках линии у = х8 + х - 2 касательная к ней параллельна прямой у = 4х - 1.

828. Составить уравнения касательных к линии у = х - -

в точках ее пересечения с осью абсцисс.

+Зх2 - 5, перпендикулярной к прямой 2х - 6у +1 = 0.

Взадачах 830-833 составить уравнения касательной и нор­ мали к данным линиям.

830. у = sin х в точке М (х0,у 0).

831.у = In л: в точке М (х0, у0).

832.у = 8д . в точке с абсциссой х = 2а.

4а2+х2

833. у2 = (циссоида) в точке М (х 0, у0).

834. Показать, что подкасательная к параболе п-го порядка

у = хп равна -й части абсциссы точки касания. Дать способ

построения касательной к линии у = хп.

835. Найти подкасательные и поднормали к линии у = х3 ;

у 2 = х 3; яу2 = 1. Дать способы построения касательных к этим

линиям.

836. Составить уравнение касательной и нормали к параболе

х 2 = 4ау в ее точке (*0, у0); показать, что касательная в точке

точке ее пересечения с биссектрисой первого координатного угла.

842. В точках пересечения прямой х - у + 1 = 0 и параболы

У = х2 - 4х + 5 проведены нормали к параболе. Найти площадь

треугольника, образованного нормалями и хордой, стягивающей указанные точки пересечения.

843.Показать, что касательные, проведенные к гиперболе

У= в точках ее пересечения с осями координат, парал­

лельны между собой.

844. Провести касательную к гиперболе у = -jj— так, чтобы

она прошла через начало координат.

точку пересечения касательных к графику, проведенных в точ­

ках с абсциссой хх - 0 и х2 = — .

851. Показать, что у линии у = аеЬх (а и Ъ- постоянные)

подкасательная во всех точках имеет постоянную длину.

852. Показать, что поднормаль линии у - д:1п(сл:) (с - про­

извольная константа) в любой точке данной линии есть четвер­ тая пропорциональная к абсциссе, ординате и сумме абсциссы и ординаты этой точки.

853. Показать, что любая касательная к линии

У = ,j ‘Jx -A x 2 пересекается с осью ординат в точке, одинаково удаленной от точки касания и от начала координат.

64ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

854.Показать, что касатель-

856. Доказать, что нормаль к эллипсу в любой его точке де­ лит пополам угол между фокальными радиусами (рис. 11) этой точки. Вывести отсюда способ построения касательной и норма­ ли к эллипсу.

857. Составить уравнения касательных к гиперболе

у- - у - = 1, перпендикулярных к прямой 2х + 4у - 3 = 0.

858.Через начало координат проведена прямая, параллель­ ная касательной к кривой в произвольной ее точке М. Найти геометрическое место точек Р пересечения этой прямой с пря­ мой, параллельной оси ординат и проходящей через точку М.

Найти такие геометрические места для а) параболы у2 = 2рх,

б) логарифмики у = log6 х , в) окружности х 2 + у2 = а2, г) трак-

В задачах 859-864 найти углы, под которыми пересекаются данные линии.

ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

2а - общая, а оси 2Ъразличны (рис. 12), касательные, прове­ денные в точках с одинаковыми абсциссами, пересекаются в одной точке, лежащей на оси абсцисс. Воспользовавшись этим указать простой прием построения касательной к эллипсу.

873. Показать, что линия у = екх sin тпх, касается каждой

из линий у = екх, у = - екх во всех общих с ними точках.

874. Для построения касательной к цепной линии у = a ch -j

употребляется следующий способ: на ординате MN точки М, как на диаметре, строится полуокружность (рис. 13) и отклады­ вается хорда NP = а ; прямая МР будет искомой касательной. Доказать это.

§ 3. Дифференциал. Дифференцируемость функции

Дифференциал

877. Найти приращение функции у = х 2, соответствующее приращению Ах независимой переменной. Вычислить Ду , если

х = 1 и Ал: = 0,1; 0,01. Какова будет погрешность (абсолютная и относительная) значения Ау, если ограничиться членом, со­ держащим Ах в первой степени?

878. Найти приращение Av объема v шара при изменении радиуса R = 2 на AR. Вычислить А и, если ДК = 0,5; 0,1;

0,01. Какова будет погрешность значения Ди, если ограничить­

ся членом, содержащим ДR в первой степени?

879. Дана функция у = х3 + 2х. Найти значения прираще­

ния и его линейной главной части, соответствующие изменению х от х = 2 до х = 2,1.

880. Какое приращение получает функция у = Зх2 - х при

переходе независимой переменной от значения х = 1 к значе­ нию х = 1,02. Каково значение соответствующей линейной

главной части? Найти отношение второй величины к первой.

881.Дана функция у = f ( х). В некоторой точке х дано при­ ращение Ах = 0,2; соответствующая главная часть приращения функции оказалась равной 0,8. Найти производную в точке х.

882.Дана функция f(x ) = x 2. Известно, что в некоторой точке приращению независимой переменной Ах = 0,2 соответ­ ствует главная часть приращения функции df (я) = - 0,8. Найти

начальное значение независимой переменной.

883. Найти приращение и дифференциал функции у = х2 - х

при х = 10 и Дя = 0,1. Вычислить абсолютную и относитель­ ную погрешности, которые получаются при замене приращения дифференциалом. Сделать чертеж.

884. Найти приращение и дифференциал функции у = 4х

при х = 4 и Дя = 0,41. Вычислить абсолютную и относитель­ ную погрешности. Сделать чертеж.

885. у = х3 - х . При х = 2 вычислить Ду и d y , давая Дх

значения Ддс = 1; Дя = 0,1; Дх = 0,01. Найти соответствующие

\Ay-dy\

значения относительной погрешности О = |^| .

886. Найти графически (сделав чертеж на миллиметровой бумаге в большом масштабе) приращение, дифференциал и вы­ числить абсолютную и относительную погрешности при замене

приращения дифференциалом для функции у = 2х при х = 2 и

Ах = 0,4. з»

68ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

887.Сторона квадрата равна 8 см. Насколько увеличится его площадь, если каждую сторону увеличить на: а) 1 см; б) 0,5 см; в) 0,1 см. Найти главную линейную часть приращения площади этого квадрата и оценить относительную погрешность (в про­ центах) при замене приращения его главной частью.

888.Известно, что при увеличении сторон данного квадрата

на 0,3 см линейная главная часть приращения площади состав­ ляет 2,4 см2. Найти линейную главную часть приращения площади, соответствующую приращению каждой стороны на: а) 0,6 см; б) 0,75 см; в) 1,2 см.

889. Найти дифференциал функции:

1 ) 0 ,2 5 ^ ; 2) g ; 3 ) ^ 4 ) - ^ ; 5 ) ^ ; 6) ) - ^ ;

4Х‘ 2s х пух

3)у = вт2ф при изменении ф от ^ до | ^ ; 4) у = эшЗф при

изменении ф от J до |^.; 5) у = sin|- при изменении 0 от j

до Но-

891. Найти приближенное значение приращения функции у = sin * при изменении х от 30° до 30°Г . Чему равен

sin 30°Г ?

892.Найти приближенное значение приращения функции

у= tg х при изменении х от 45° до 45°10/ .

894.р = k^jcos2ф; найти dp.

895.J, = 3 ^ + J 7 +6’/*. Вычислить dy при х = 1 и dx = 0,2.

896.Вычислить приближенно sin 60°3', siii 60°18'. Сопоста­ вить полученные результаты с табличными значениями.

897. Проверить, что функция у = удовлетворяет со­

отношению 2x2dy = [х2у2 + \\dx.

898. Проверить, что функция у, определенная уравнением a r c t g = In“Jx2 + у2, удовлетворяет соотношению х (dy -d x) =

=у (dy + dx)

899.f(x) = e0,lx^~x\ Подсчитать приближенно /(l,05).

900.Вычислить arctg 1,02; arctg 0,97.

12 0372-3

901. Вычислить приближенно J—---- ;— .

Y 2,0372+5

902.Вычислить приближенно arcsin 0,4983.

903.Если длина тяжелой нити (провода, цепи) (рис. 14) равна 2s, полупролет I, а стрелка провеса /, то имеет место при­

ближенное равенство s = li 1 + 1-— j.

а) Подсчитать, какое изменение произойдет в длине нити при изменении ее стрелки провеса f на величину df.

б) Если учесть изменение длины провода ds (например, от изменения температуры или нагрузки), то как изменится при этом стрелка провеса?

если у is. z даны с одинаковы­

ми погрешностями.

Рис. 14

905. При технических расчетах часто сокращают п и 4 ё

(g - ускорение силы тяжести), когда одно из этих, чисел стоит в числителе, а другое в знаменателе. Какую относительную по­ грешность делают при этом?

906. Выразить дифференциал сложной функции через неза­ висимую переменную и ее дифференциал:

Дифференцируемость функций

907. Функция у = |х | непрерывна при любом х. Убедиться,

что при х = 0 она недифференцируема.

908. Исследовать непрерывность и дифференцируемость

значения независимой переменной, при которых функция не­ дифференцируема?

911. Исследовать непрерывность и дифференцируемость

f (*) дифференцируемой при х = 0 ?