книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf
|
|
§ 4. ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ |
7 1 |
||||
913. |
f (я) = |
1 |
при х Ф0, |
/ (О) = 0. Будет ли функция |
|||
f ('х) при х = 0 |
непрерывной и дифференцируемой? |
|
|||||
914. |
Дана функция |
/(я ) = 1 + |
х - l)2 . Показать, что при |
||||
х = 1 |
из приращения |
функции |
нельзя |
выделить |
линейную |
||
главную |
часть, |
и поэтому f (л:) при х = 1 |
не имеет |
производ |
|||
ной. Истолковать результат геометрически. |
|
|
|||||
915. |
f(x) = ararctg-i- при х * 0 , |
/ ( 0) = 0. Будет ли функция |
|||||
f (#) |
при х = 0 |
непрерывной, дифференцируемой? Истолковать |
|||||
результат геометрически. |
|
|
|
||||
916. |
/ ( * ) = - х | при х ф О, |
/(0 ) = 0. |
Будет ли |
функция |
|||
f (лг) при х = 0 |
1+е7 |
|
|
|
|
||
непрерывной, дифференцируемой? |
|
||||||
§ 4. Производная как скорость изменения
(дальнейшие примеры)
Относительная скорость
917.Точка движется по архимедовой спирали р = аср. Най ти скорость изменения полярного радиуса р относительно по лярного угла ср.
918.Точка движется по логарифмической спирали р = еаф.
Найти скорость изменения полярного радиуса, если известно, что он вращается с угловой скоростью 0).
919. Точка движется по окружности р = 2r cos ф . Найти ско
рость изменения абсциссы и ординаты точки, если полярный радиус вращается с угловой скоростью со. Полярная ось служит
осью абсцисс, полюс - началом системы декартовых координат.
920.Круг радиуса R катится без скольжения по прямой. Центр круга движется с постоянной скоростью V. Найти скоро сти изменения абсциссы х и ординаты у для точки, лежащей на границе круга.
921.Барометрическое давление р изменяется с высотой Л
всоответствии с функцией In — = ch, где через ро обозначено
72 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
нормальное давление, а с - постоянная. На высоте 5540 м дав ление достигает половины нормального; найти скорость изме нения барометрического давления с высотой.
922. у связан с х соотношением у2 = 12х. Аргумент х воз
растает равномерно со скоростью 2 единицы в секунду. С какой скоростью возрастает у при х = 3 ?
923. Ордината точки, описывающей окружность х2 + у2 = 25,
убывает со скоростью 1,5 см/с. С какой скоростью изменяется абсцисса точки, когда ордината становится равной 4 см?
924. В какой точке эллипса 16л:2 + 9у2 = 400 ордината убы
вает с такой же скоростью, с какой абсцисса возрастает?
925.Сторона квадрата увеличивается со скоростью v. Какова скорость изменения периметра и площади квадрата в тот мо мент, когда сторона его равна а?
926.Радиус круга изменяется со скоростью и. Какова ско рость изменения длины окружности и площади круга в тот мо мент, когда его радиус равен г?
927.Радиус шара изменяется со скоростью v. С какой ско ростью изменяются объем и поверхность шара?
928.При каком значении угла синус изменяется вдвое мед леннее аргумента?
929.При каком значении угла скорости изменения синуса и тангенса одного и того же угла одинаковы?
930.Скорость роста синуса увеличилась в п раз. Во сколько раз при этом изменилась скорость роста тангенса?
931.Предполагая, что объем ствола дерева пропорционален кубу его диаметра и что последний равномерно увеличивается из года в год, показать, что скорость роста объема, когда диа метр равен 90 см, в 25 раз больше скорости, когда диаметр ра вен 18 см.
Функции, заданные параметрически
932. Проверить, лежит ли заданная декартовыми координа тами точка на линии, уравнение которой дано в параметриче
ской форме: а) Лежит ли точка (5, l) на окружности х = 2 +
+ 5 cos t, у = -3 + 5 sin t ? б) Лежит ли точка ^2, л/зJ на окруж
ности х = 2 cos t , у = 2 sin*?
|
§ 4. ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ |
73 |
||||
933. Построить графики функций, заданных параметрически: |
||||||
а) |
х = 3 cos t , |
у = 4 sin £; |
|
б) re = £2 - 2t, |
у = t2 +2t', |
|
в) |
re = cos£, |
i/ = £ + 2sin£; |
г) я = 2*-1 , |
y = j ^ 3 +lJ. |
||
934. Из уравнений, параметрически задающих функцию, |
||||||
исключить параметр: |
|
|
|
|
||
l)r e = 3f, y = 6 t - t 2; |
2) |
х = cost у у = sin2t; |
|
|||
3) |
х - t3 +1, |
у = t2; |
4) |
х - ф - sin ср, |
у = 1 - |
cos <р; |
5)х = t g t , у = sin2* + 2cos2f.
935. Найти значение параметра, соответствующее заданным координатам точки на линии, уравнение которой дано в пара
метрической форме: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
х = 3 (2 cos £-c o s 2*), |
у = 3(2sinf - sin2*); (—9, О); |
|||||||||||
2) |
х = t2 +2t, |
y = t3 + t; |
(3,2); |
|
|
|
|||||||
3 ) |
|
re = 2tg t y у = 2sin2 t + sin2*; |
(2,2); |
||||||||||
4) |
re = f? - |
1, |
у = t3 - t ; |
(0, 0); |
|
|
|
||||||
В задачах 936-945 найти производные от у по х. |
|||||||||||||
936. |
х = |
a c o s |
|
ф |
, |
у |
b= s |
i |
n |
( p . |
|||
937. |
х = |
a c |
o2s |
ф |
, |
у = bs |
i 2nф. |
||||||
938. |
х = a(cp -sin<p), |
у = a(l - |
c |
o ф)s . |
|||||||||
939. |
х = l - t 2, |
|
|
|
y = t - t 3. |
|
|||||||
940. |
* = |
|
|
|
|
|
|
v = t - |
r |
c tt.g |
|||
|
|
х = l |
n |
+| |
*l2J |
, |
|||||||
941. |
у = t - |
a |
|||||||||||
942. |
re |
|
= |
- cps |
(i ln |
c p ) , |
у = ф |
c |
o |
s. ф |
|||
943. |
x = r - i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
944. |
x = etsint, |
|
|
у = e* cost. |
|||||||||
945. |
re = ~ H , |
|
|
|
y |
l+f3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В задачах 946-949 найти угловые коэффициенты касатель |
|||||||||||||
ных к данным линиям. |
|
|
|
|
|
||||||||
946. |
х = 3cos£, |
у = 4sinf |
в точке |
2 |
|||||||||
74 |
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ |
||
947. |
х = t - 1* , |
у = t2 - t 3 в точке (О, 0). |
|
948. |
х = t3 + 1, |
у = *2 +* + 1 в точке ( l , l ) . |
|
949. |
х = 2 cos £, |
у = sin * в точке ^1, - |
. |
950. Для линии, заданной в параметрической форме, ука зать связь между параметром t и углом а , образованным каса тельной к линии с осью абсцисс:
1) |
х = cos t + t sin £ - -у cos i » |
У ~ sin t - 1cos f - |
sin t ; |
|
2) |
x = a cos3 t , у = a sin3 t ; |
|
|
|
3) x = a cos |
2 cos 2* , у = a sin 2 cos* . |
|
||
951. Убедиться в том, что функция, заданная параметриче |
||||
ски уравнениями |
x = 2t + 3t2, |
y = t2 + 2t3, удовлетворяет соот |
||
ношению у = у'2 + 2у'3 (штрихом обозначено дифференцирова
ние по дс, т. е. у' = — ).
952. Убедиться в том, что функция, заданная параметриче
ски уравнениями |
х = |
У~~^2 + ^* удовлетворяет соотно |
шению ху'3 =1 + у' |
(V = |
• |
953. Убедиться в том, что функция, заданная параметрически уравнениями х = ch 2t, у = sh 2*, удовлетворяет соотношению
w ' - * - 0 («''“ &)•
954. Убедиться в том, что функция, заданная параметриче
ски уравнениями х = *— - \п1+--1+- |
у = |
|
V u ? |
* |
|
удовлетворяет соотношению
=[у’ = Щ
955.Убедиться в том, что функция, заданная параметриче
ски уравнениями х - |
, у = 3± у п* > удовлетворяет соотно- |
|
§ 4. ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ |
75 |
||
956. Найти углы, под которыми пересекаются линии: |
|
|||
1) |
у = х2 и х = -c o s * , у = £ sin #; |
|
|
|
2 ) |
* = acos<p, у = asintp и х = |
у = |
. |
|
|
1+Г |
|
1+Г |
|
957.Показать, что при любом положении производящего круга циклоиды касательная и нормаль в соответствующей точ ке циклоиды проходят через его высшую и низшую точки.
958.Найти длины касательной, нормали, подкасательной и
поднормали к кардиоиде х = а (2 cos t - cos 2t), у = a (2 sin t -
-s in 2*) в произвольной ее точке.
959. Найти длины касательной, нормали, подкасательной и
поднормали к астроиде х = a sin3 1, у = a cos31 в произвольной
ее точке.
960. Доказать, что касательная к окружности х2 + у2 = а2
служит нормалью к эвольвенте окружности х = a (cos* + *sin*),
у = a (sin* - *cos#).
961. Найти длины касательной, нормали, подкасательной и поднормали эвольвенты окружности (см. уравнения последней в предыдущей задаче).
962. Доказать, что отрезок нормали к кривой * = 2asin* +
+ a sin* cos2*, у = - a cos3 *, заключенный между осями коорди
нат, равен 2a.
В задачах 963-966 составить уравнения касательной и нор мали к данным линиям в указанных точках.
963. |
х = 2е\ |
у = е~* |
при |
* = 0. |
|
964. |
х = sin*, |
у = cos2* |
при |
* = |
|
965. |
х = 21nctg* + l , y = tg* + ctg* |
при* = ^ . |
|||
966. |
1) * = -Щг, |
у = ^ 4 |
при t = 2; |
|
|
|
1+«2 |
1+<2 |
|
|
|
2) х = *(*cos* - 2sin*), у = *(tsin* + 2cos*) при * = jJ
3) х = sin #, у - а* при * = 0.
76ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
967.Показать, что в двух точках кардиоиды (см. задачу 958), соответствующих значениям параметра t, отличающимся
на J- 71, касательные параллельны.
968. Доказать, что если ОТ и ON - перпендикуляры, опу щенные из начала координат на касательную и нормаль к аст роиде в любой ее точке (см. задачу 959), то
4ОТ2 + ON2 = а2.
969.Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную к линии
2х = a (3 co sf+ cos3f), 2у = a(3sin* + sin3f).
Показать, что 4р2 = 3р2 +4а2 , где р - полярный радиус дан
ной точки, а р - длина указанного перпендикуляра.
Скорость изменения полярного радиуса
970. Дана окружность р = 2г sin ср. Найти угол 0 между по
лярным радиусом и касательной и угол а между полярной осью и касательной.
971. Доказать, что у параболы р = a sec2у сумма углов, об
разованных касательной с полярным радиусом и с полярной осью, равна двум прямым. Использовать это свойство для по строения касательной к параболе.
972. Дана линия |
р - a sin3 — (конхоида); |
показать, что |
a = 40 (обозначения те же, что в задаче 970). |
|
|
973. Показать, что |
две параболы р = a sec2 1 |
и р = Ьcosec2 у |
пересекаются под прямым углом.
974.Найти тангенс угла между полярной осью и касатель ной к линии р = sec2 <р в точках, в которых р = 2а.
975.Найти тангенс угла между полярной осью и касатель
ной в начале координат: |
1) к |
линии р = sin8 ср, 2) к линии |
р = sin Зср. |
|
|
976. Показать, что |
две |
кардиоиды р = а(1 + созф) и |
р = а (1 - созф) пересекаются под прямым углом.
|
§ 4. ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ |
77 |
||||
977. |
Уравнение линии в полярных координатах задано па |
|||||
раметрически: |
P = /i(t)> |
ф = /2 (0* Выразить |
тангенс угла |
0 |
||
между касательной и полярным радиусом в виде функции t. |
|
|||||
978. |
Линия |
задана |
уравнениями р = at5, |
(p = bt2. Найти |
||
угол между полярным радиусом и касательной. |
|
|
||||
979. |
Дан эллипс х = a cos t, |
у = bsin t. Выразить полярный |
||||
радиус |
р и полярный угол ср |
как функции параметра t. |
Ис |
|||
пользовать полученную форму задания эллипса для вычисления угла между касательной и полярным радиусом.
П олярной подкасательной называется проекция отрезка касательной от точки касания до ее пересечения с перпендику ляром, восставленным к полярному радиусу в полюсе, на этот перпендикуляр. Аналогично определяется полярная поднор маль. Учитывая это, решить задачи 980-984.
980.Вывести формулу для полярной подкасательной и по лярной поднормали линии р = / (ф) -,
981.Показать, что длина полярной подкасательной гипер болической спирали р = -^ постоянна.
982.Показать, что длина полярной поднормали архимедо вой спирали р = сир постоянна.
983.Найти длину полярной подкасательной логарифмиче ской спирали р = аф.
984.Найти длину полярной поднормали логарифмической
спирали р = аф.
Скорость изменения длины
В задачах 985-999 через s обозначена длина дуги соответст вующей линии.
985. |
Прямая у = ах + Ь; |
~ |
= ? |
|
986. Окружность |
х2 + у2 |
= г2; ~ = ? |
||
987. |
Эллипс ■£5- + 72' = 1; |
^ |
= 7 |
|
|
в2 |
Ъ2 |
|
|
988. |
Парабола у2 = 2рх; |
ds = ? |
||
78ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
989.Полукубическая парабола у2 = ах3 ; ^ = ?
990.Синусоида у = sin де; ds = ?
991. Цепная линия у = gT*g — (у = ch я); |
-^ = ? |
|
|||||||
992. Окружность |
л: = г cos £, у = г sin £; |
^ |
= ? |
|
|||||
993. |
Циклоида |
л: = а (£ - sin t) , у = а (l - |
cos f); |
= ? |
|||||
994. |
Астроида |
х = a cos3 £, у = a sin3 £; |
ds = ? |
|
|||||
995. Архимедова спираль х = а£ sin £, |
у = at cos £; |
ds = ? |
|||||||
996. |
Кардиоида |
дс = а (2 cos £ - cos2£), |
|
у = а (2 sin £ - sin2£); |
|||||
ds = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
997. |
Трактриса |
д |
= a ^cos £ + lntg |
у = a sin £; ds = ? |
|||||
998. |
Развертка окружности |
|
|
|
|
|
|||
|
д: = a(cos£ + £sin£), |
у = a(sin£ - |
£cos£); |
|
|||||
999. |
Гипербола x = a ch £, |
i/ = a sh£; |
ds = 4 |
|
|||||
Скорость движения
1000. Лестница длиной 10 м одним концом прислонена к вертикальной стене, а другим - опирается о пол. Нижний ко нец отодвигается от стены со скоростью 2 м/мин. С какой скоростью опускается верхний конец лестницы, когда основа ние ее отстоит от стены на 6 м? Как направлен вектор скоро сти?
1001. Поезд и воздушный шар отправляются в один и тот же момент из одного пункта. Поезд движется равномерно со скоростью 50 км /ч, шар поднимается (тоже равномерно) со скоростью 10 км /ч. С какой скоростью они удаляются друг от друга? Как направлен вектор скорости?
1002. Человек, рост которого 1,7 м, удаляется от источни ка света, находящегося на высоте 3 м, со скоростью 6,34 км /ч. С какой скоростью перемещается тень его головы?
1003. Лошадь бежит по окружности со скоростью 20 км /ч. В центре окружности находится фонарь, а по касательной к окружности в точке, откуда лошадь начинает бег, расположен забор. С какой скоростью перемещается тень лошади вдоль забора в момент, когда она пробежит окружности?
|
|
§ 5. ПОВТОРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ |
7 9 |
|||||||||
§ 5. Повторное дифференцирование |
||||||||||||
Функции, заданные в явном виде |
||||||||||||
1006. у = ж2 - Зж + 2; у" = ? |
|
1007. у = 1 - х 2 - х 4; у"' = ? |
||||||||||
1008. |
f (х) = (ж + 10)6 ; |
f(2 ) = ? |
?l |
) |
|
|
||||||
1009. |
f ( ж =) Xе - 4ж3 + 4; |
/ |
I |
v =( |
|
|
||||||
1010. |
у = |*2 + lj ; |
у" = ? |
|
1011. |
у = cos2 х ; |
у'" = ? |
||||||
1 0 1 2 ./(* ) = в2* '1; |
Г (0) = ? |
1013. |
/(z ) = arctg*; f (l) = ? |
|||||||||
1014. |
/(* ) = Tr j ; |
/ v (*) = ? |
|
|
|
|
|
|
||||
1015. у = ж3 In ж; |
t/!V = ? |
1016. |
f (ж) = |
Г(ж) = ? |
||||||||
1017. |
p = asin2<p; |
- ^ - = ? |
1018. |
у = f ^ ; |
уМ = ? |
|||||||
|
|
|
|
Ajr |
|
|
|
|
|
A+JC |
|
|
В задачах 1019-1028 найти вторые производные от функций |
||||||||||||
1019. |
у = хех2 . |
|
|
|
1020. у = |
|
|
|||||
1021. |
у = (l |
|
|
|
|
1022. |
у = 4а2 - х 2. |
|
||||
1023. |
р = In |
|
|
|
. |
1024. у = |
. |
|
||||
1025. |
у |
= е'/* . |
|
|
|
|
1026. |
у |
= Л - ж 2 arcsin х. |
|||
1027. |
у |
= arcsin (a sin я). |
|
1028. |
у |
= Xх . |
|
|
||||
В задачах 1029-1040 найти общие выражения для произ |
||||||||||||
водных порядка п от функций: |
|
|
|
|
|
|
||||||
1029. |
у |
= е ах. |
1030. |
у |
= е~х . |
1031. у |
= sin а х + cos b x . |
|||||
1032. |
у |
= sin2 х . |
1033. |
у |
= х е х . |
|
1034. |
у = x l n x . |
||||
1035. |
у |
= |
. |
Ю36. р = In (ах + b). |
1037. |
у = loge х . |
||||||
1038. |
у |
= |
. 1039. у |
= —s— ----. |
1040. у |
= sin4 х + cos4 * . |
||||||
|
|
v “ - 1 |
|
|
|
|
—.4V 4-9. |
|
|
|
|
|
1041. |
|
Доказать, |
что |
функция |
р = |
удовлетворяет |
||||||
соотношению |
- ljp^n+2^+ 2ху^п+1^ - п ( п + l ) p ^ = |
0. |
||||||||||
80 |
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ |
|
|
|
||||
1042. |
Доказать, что функция |
у = ех sin х |
удовлетворяет со |
|||||
отношению у" - 2у' + 2у = 0, |
а функция у = е~х sin х - |
соот |
||||||
ношению у" + 2у' + 2у = 0. |
|
|
|
|
|
|
||
1043. |
Доказать, что функция |
у = |
удовлетворяет |
соот |
||||
ношению 2у'2 = (у - 1)у ". |
|
|
|
|
|
|
||
1044. |
Доказать, что функция |
у = JTx - х2 |
удовлетворяет |
|||||
соотношению у3у" + 1 = 0. |
|
|
|
|
|
|
||
1045. |
Доказать, что функция |
у = е4х + 2е-х |
удовлетворяет |
|||||
соотношению у'" - 13у' - 12у = 0. |
|
|
|
|
|
|||
1046. Доказать, что функция |
у = |
|
удовлетворяет |
|||||
соотношению ху" + ^-у' - ^ у = 0. |
|
|
|
|
|
|||
1047. |
Доказать, что функция |
у = cos ех + sin е* |
удовлетво |
|||||
ряет соотношению |
у" - у' + уе2х = 0. |
|
|
|
|
|||
1048. Доказать, что функция |
|
|
|
|
|
|||
у = A sin (со* + со0) + В cos (art + со0) |
(А, В, а), со0 |
- постоянные) |
||||||
|
|
d2y |
2 |
п |
|
|
|
|
удовлетворяет соотношению —£ + со у = 0. |
|
|
|
|||||
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
1049. Доказать, что функция |
|
|
|
|
|
|||
|
axenx + а2е~пх + а3cos пх + a4 sin пх |
|
|
|
||||
(01, 02» аз» а 4» п ~ постоянные) удовлетворяет соотношению |
|
|||||||
|
|
dAy |
= л4у • |
|
|
|
|
|
|
|
dx* |
|
|
|
|
|
|
1050. |
Доказать, что функция |
у = sin (п arcsin х) |
удовлетво |
|||||
ряет соотношению |
|l - х2j у" - |
ху' + п2у = 0. |
|
|
|
|||
1051. Доказать, |
что функция |
gaarcein* удовлетворяет |
соот |
|||||
ношению |
(l - х2)у* - ху' - а2у = 0. |
|
|
|
|
|
||
1052. |
Доказать, что функция |
у = ^х + ^х2 + l j |
удовлетво |
|||||
ряет соотношению |
(L+ * 2)у ' + ху' - к2у = 0. |
|
|
|
||||