4) Решение матричного дифференциального уравн ния. Умножим дифференциальное уравнение (9-25) слева на
матрицу L~’. Если Ls |
Lp ^ |
LD — L |
и L — Lm= Lt, то |
-i |
= C |
Ll + |
____________ |
Lt |
(I, + |
3LM) V |
(Z.,+ |
3Lm)Lt ' |
|
|
|
Lm |
1 |
(9-27) |
|
|
|
(V + 3 IJL , Г |
|
|
|
|
Тогда получим следующее матричное |
дифференциальное |
уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
А 1,+ Л 4 l , = g , |
(9-28) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
A = |
L~' (Rt-f/QQt); |
|
g = L~'ut.
Решение уравнения (9-28) можно записать в виде [см. приложение, формула (П6-4)]
It- |
е~А%(0) - f j V ^ ’g W dr. |
(9-29) |
|
о |
|
Определив |
собственные значения матрицы, |
можно |
записать экспоненциальные функции, входящие в это решение. В (9-25) составляющая у может быть любым действительным числом. Возможны два основных случая.
а) Величина у равна нулю. Преобразованием с по мощью матрицы (9-24) при у=0 роторные величины, записанные в системе координат, жестко связанной с ро тором, приводятся к системе координат, неподвижной относительно статора. В этом случае статорные и ротор ные величины оказываются отнесенными к статору.
б) Величина у равна единице. Преобразованием с помощью матрицы (9-24) при у=1 статорные вели чины (выраженные в системе координат, неподвижной относительно статора) приводятся в системе координа ты, жестко связанной с ротором. Это соответствует пре образованию Парка.
5) Обмотка возбуждения F синхронной машины
Если принять, что обмотка, совпадающая с осью q, разомкнута, то iFq—0. Это усложняет решение. Задача упрощается, если обмотку iFq считать короткозамкну той и рассматривать как демпферную обмотку (uFq= 0).
В случае применения регулирования возбуждения на пряжение возбуждения uFd является функцией сигналов системы регулирования. Этот вопрос здесь рассматри ваться не будет, однако следует отметить, что в при веденных уравнениях регулирование возбуждения в принципе может быть учтено.
9-5. МАШИНА С ТРЕХФАЗНЫМ РОТОРОМ
Применение матричных методов расчета целесооб разно для сложных систем, поскольку облегчает про граммирование для ЭЦВМ. В простых случаях при менение матричных методов также имеет определенные преимущества. Ниже будет рассмотрен простой случай, при котором вместо обмоток ротора F и D берется трех фазная симметричная обмотка г. Поскольку ротор име ет двухфазную симметричную обмотку, то аналогично тому, как это делалось в разд. 9-4,а, с помощью матрицы
вЛ= < 1 з , Т л >
матричное уравнение для этой обмотки можно преоб разовать в уравнение для трехфазной симметричной обмотки.
Будем считать, что система возбуждения синхрон ной машины подключена к фазе а трехфазной симме тричной обмотки ротора; фазы b и с представляют собой короткозамкнутые демпферные обмотки. Полученные уравнения, естественно, можно будет использовать для исследования переходных процессов асинхронной маши ны с короткозамкнутым ротором.
9-5,а. Матричное уравнение и его решение. Подста
вив у=0 |
в уравнение (9-25), |
для |
величин, отнесенных |
к статору, получим: |
|
|
|
|
Г R. |
о |
]Г г‘* Т + |
Г1’ |
Lr\ dt |
| itr J U tP J |
(9-30) |
[~jQLm Rr |
-jQ Lr\ [ i tr Г |
Um |
v ' |
Приведя это уравнение к виду (9-28), получим следую щие выражения для компонент решения (9-29):
Л = |
|
LrR. -f- iQLm • L,„Rr -f- jQLml*; |
L r L . - L ] |
I |
(9-31) |
|
|
|
|
Lriitg |
LmUfre^ |
|
LrL, - Lm |
[ |
]■ |
|
|
+ L,utreib J |
где |
8= Q<-(-80; О = |
пост. |
Введем коэффициенты рассеяния
|
1 |
L, Lr ' |
|
|
переходные индуктивности [Л. |
17]: |
|
Z/g — 1oLS) |
L г |
— |
oLr |
и постоянные времени |
обмоток, определенные для условий |
холостого хода и короткого замыкания: |
'г |
_ |
|
|
и. |
yv _ ь а |
J S 0----- о > |
1 S |
|
о » |
|
R. |
|
|
|
'Г |
_ |
rpr |
_ ** Г |
1 Г° — R r ’ |
Г |
~ |
Л г ' |
Тогда характеристическое уравнение для матрицы (9-31) можно записать в виде
ла - |
( f 7 + F 7 |
~ '-0 ) я - |
а |
(9'32) |
Собственные значения: |
|
|
|
|
|
Если |
Я1= *| + |
/®|; Я2 = |
а2 + |
/в>2- |
|
rpj1 |
^ rjtf1 |
^ |
г» |
|
|
|
Т’ |
|
|
|
|
|
то по сравнению с £)а величинами |
4а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(т ^ г + т ^ г )" |
|
Г8ГГ |
|
|
можно пренебречь, тогда собственные значения примут вид: |
|
Xj ---- jv ~ > |
^2 |
Y' |
|
|
|
Выражая матрицу Л в |
(9-29) через собственные значения и |
полиномы Лагранжа |
(см. приложение), |
получаем: |
|
-А * |
1 |
[e-Xl< (Л — Я21)— |
(Л • ■Я,!)]. |
(9-33) |
|
А-1 — А2 |
Введем обозначения: |
о ,— а. |
|
|
|
р |
|
|
|
|
(а, — «г)2 + |
(ю, — Юг) 2 * |
(9-34) |
|
|
|
ю, — Ю2 |
|
|
|
(о, — о,)2 -]- (ю, — юг)2 |
|
X, = |
Л — (а2 + |
/ш2) I» Х2 = Л — (<*, + /'“ »)L |
|
Тогда (9-33) можно записать так: |
|
|
-А* |
:(Р~ Щ е |
— осxt — ja>it |
X, |
— a2t g —jw 2t. |
(9-35) |
|
е |
x a). |
Учитывая, что <з — kskr, где коэффициенты связи статора и ротора: kH— Lm/Ls, kr ■LmfLr, получаем следующие зависимости для (9-31)
1 |
К |
1 |
г , |
Т 'г |
|
А = |
1 |
|
k r |
(9-36) |
Т ', |
К |
--
Г1
8 и . l - k r
Согласно формуле (9-29) матричную функцию е необходимо умножить на столбцовый вектор g (t). Вместо X, и Х2 рассчитаем следующие столбцовые векторы:
+ / 4" ®а) [ ^.*1 ] = Р»г ~ /Я|г!
(9-37)
+ /(Q + « , ) [ ^ ] = p er- / q ir.
Начальные условия:
(0) =[*'*•(0) I
U-(0)J
Подставив в формулу (9-29) зависимости (9-35) — (9-37), получим:
[;;; J J ] = (Р - |
т |
|
|
(°) - *~*е~ы х д (0)+ |
т—i |
|
|
Uu (х) rft^ _ (p |
_ |
/qi6)+ |
|
+ [' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*5=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тг=/ |
|
X)«tr ( |
ч |
) |
Л |
^ |
/Ч- ,г)‘( р |
, г - |
+ |
*=0 |
<С,,+У“')(< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
J * |
(а2+/Ш>)</ |
x)«ts (х) rf-c — |
(plS — /qae)> |
|
|
t=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
£*-(«•+'«*>u-*>utr (ч) d |
x |
(psr — /q,r). |
(9-38) |
|
t=0 |
|
|
|
|
согласуется |
с |
уравнени |
Уравнение (9-38) по форме |
ем для составляющей |
прямой |
последовательности. |
9-5,6. Трехфазное короткое замыкание на зажимах |
синхронной машины. Согласно условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
В соответствии с (7-28) и |
о |
|
|
|
|
|
|
(7-29) |
|
|
|
|
|
|
|
иг |
и—* «га— |
Уз |
|
|
|
|
|
|
rt |
у |
т |
|
|
|
|
|
|
Из (9-22) получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иг = |
и |
~—= и й. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у з |
|
в |
|
из |
(9-24) |
Преобразованное напряжение |
ротора |
|
|
U t r |
|
у^зu genat^ |
|
|
|
(9-39) |
Напряжение статора вследствие короткого замыкания |
|
|
M(s=0. |
|
|
|
|
|
|
( |
Подставив (9-39) и (9-40) в |
(9-38), можно рассчи |
тать ток |
трехфазного |
короткого |
замыкания. |
|
|
9-6. ЗАМЕЩЕНИЕ ГЕНЕРАТОРОВ ПРИ ИССЛЕДОВАНИЯХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Для исследований электрической системы необходи мо при составлении схем замещения генераторов вос пользоваться преобразованием координат, соответствую щим При этом согласно (9-24) уравнения генера тора записываются в системе координат, неподвижной относительно статора.
Врасчетах установившихся режимов системы обыч но оперируют напряжениями на зажимах генераторов. Внутреннее сопротивление генератора и падение напря жения на нем не учитываются.
Врасчетах коротких замыканий обычно использует ся так называемое сверхпереходное реактивное сопро тивление. Значения сверхпереходных реактивных сопро тивлений прямой и обратной последовательности при ближенно равны.
Изменение во времени тока короткого замыкания можно рассмотреть на основании § 9-4 и 9-5.
Для исследования качаний генератора (при усло вии, что период колебаний имеет величину порядка се кунды) вместо сверхпереходного реактивного сопротив ления необходимо использовать переходное реактивное сопротивление. Однако значения переходных реактив ных сопротивлений прямой и обратной последователь ностей не равны. Последнее равно сверхпереходному реактивному сопротивлению обратной последователь ности.
Вопросы определения внутреннего реактивного со противления генератора, напряжение за которым при различных системных исследованиях может принимать ся постоянным, подробно рассмотрены в литературе. Ис следования действия регулирования возбуждения можно проводить на основе общих уравнений, приведенных в § 9-4 и 9-5.
Г Л А В А Д Е С Я Т А Я
ЦЕПЬ С ДВУМЯ ПРИСОЕДИНЕНИЯМИ
С точки зрения теории цепей представляет интерес рассмотрение такой цепи или части цепи, которая со единена с двумя группами одинакового числа зажимов (рис. 10-1). Наиболее характерны цепи с двумя пара-
ми зажимов, которые называются четырехполюсными цепями (коротко — четырехполюсниками). В общем слу чае могут быть 2ц-полюсники. В трехфазной системе часть цепи образует восьмиполюсник, четыре зажима каждой группы которого соответствуют фазам и обрат ному проводу.
Если восьмиполюсник состоит из симметричных (пас сивных) элементов, то преобразованием к обобщенным
Ри с. 10-1. Ц еп ь с д в у м я |
Р и с. 10-2. |
присоединениям и . |
|
составляющим его можно представить в виде трех неза висимых четырехполюсников. Поэтому в дальнейшем будут подробно рассматриваться четырехполюсники, однако полученные результаты (если вместо скалярных величин подставить матрицы) можно использовать и для общего случая. Принципиальная схема четырех полюсника дана на рис. 10-2.
10-1. УРАВНЕНИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Возможны следующие шесть форм записи уравнений: 1. Уравнения, содержащие матрицу сопротивлений:
|
Г |
М1 1 |
Г *„ |
|
u — Zi. |
( 10- 1) |
|
1 |
J |
I ^21 |
|
|
|
|
|
2. |
Уравнения, |
содержащие матрицу проводимостей: |
|
|
|
|
|
|
|
( 10-2) |
3. |
Цепочечные уравнения: |
|
|
|
|
Г И1 |
"I __ |
Г A i |
*^121 Г «г |
I |
х, — Ах2. |
(10-3) |
|
I *i |
J |
l^ 2 i |
L— |
2^J |
|
|
|
4. |
Обратые цепочечные уравнения: |
|
|
|
иs I |
ГВ ц |
Bis! Г |
м, 1 |
ха — Вх,. |
(10-4) |
|
i-t J |
I®!l |
Bt2J L— *1 J |
|
|
|
|
5. |
Гибридные (смешанные) уравнения: |
|
|
|
ai 1 __\Н П я и-| г (, л |
У, = |
Нуа. |
(10-5) |
|
/,J |
L//.. ЯиЛи. J’ |
6. |
Обратные гибридные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10-6) |
С помощью соотношения |
(5-2), приведенного в гл. 5, |
уравнения (10-1) можно преобразовать к виду |
(10-3) |
или |
(10-5), а |
уравнения |
(10-2)— к |
виду (10-4) или |
(10-6). Теория четырехполюсников подробно рассмотре на в литературе. Для полноты изложения ниже приво дятся без выводов важнейшие результаты этой теории.
10-2. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МАТРИЦАМИ УРАВНЕНИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Элементы матрицы Z имеют размерность сопротив ления, элементы матрицы Y— размерность проводимо сти. Матрицы А, В, Н и G состоят как из безразмерных элементов, так и из элементов, имеющих размерность сопротивлений и проводимостей. Для того, чтобы пока зать зависимости между этими матрицами [Л. 10], пред ставим отдельные матрицы следующим образом.
Матрица сопротивлений:
z |
____ Г A i |
^1г1_ |
1 |
Г |
Угг |
- У.Л |
|
|
1 |
|
|
|
U „ |
2 „ | |
1Y | |
1 |
У ..] |
|
|
L— у2, |
1ц |
| A | |
I _ J _ I Вц |
1 1 = |
1 .Г |
|Н | / л . 1 _ |
1 |
А» J— в 2, 1 |В | В и \ Н» 1 - Я 21 1 J - |
|
|
|
1 |
Г 1 |
- ° « 1 - |
(10-7) |
|
|
“ |
0.1 |
1 о „ |
|OlJ |
|
|
Матрица проводимостей |
|
|
|
|
v _ r y „ |
у .л ____ L |
ГЛ г |
— I А I ! = = —! _ Г |
- ' 1 |
|У*, y«J |
А•* 1— 1 |
At*j |
Вл L— |В| вп\ |
= _!_Г |
1 |
- |
н |
п |
|
l |
J |
r |
|G| |
G„1 |
|
H " U 2, |
|
| H | J “ Gn [ - G 2, |
I J |
|
|
____ |
|
1 |
Г |
|
|
%22 |
^ , 2 |
1 . |
^11 |
J |
|
|
I ^ |
I |
|
L |
-^21 |
|
Цепочечная матрица: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* Мп A 1 2 1 |
__ |
i |
гB 22 |
B 12I ___ i |
Г|Н| H U |
|
L^. A d |
lBl |
U 2, |
fi„J |
|
я =* |
i н п |
1 |
1 |
Г 1 |
|
G22 |
1 |
|
_i_rz„ |
|Z| 1 |
|
_ G21 |
[ GU |
|
IG I |
J - |
z u |
I |
1 |
Z22 J — |
|
|
= |
|
_ J _ I T 22 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Y» |
|
LIYI Y u |
У |
|
|
|
Обратная цепочечная матрица:
ГB tt |
В п ] |
|
1 Г 1 |
Ни |
1 - |
1 Г|С| |
G 22 |
1 |
в = 1Вц |
В22]“ Я12 1Я22 |Н|.J |
G‘2LGn |
1 |
r |
1 гZ22 |Z| 1 |
1 |
|
IГУ» |
1 |
1 Г - ^ 2 2 |
^ 1 2 |
|
(10-10) |
Z,. [ 1 |
|
z« J |
Уп |
1 |
|
|
1AI |
[ |
A2\A\\.]• |
|
|
|
|
|
11Y 1 Y22J |
|
|
|
|
|
|
Гибридная матрица: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н = Г |
^ i21 |
1 |
|
|
G22 |
—G12 1 - |
|
1 |
г |
|Z| |
Zl2 |
— 1 я21 |
//„ J |
|G| |
|
. — G21 |
G,J |
222 |
[ — Z2, |
|
|
|
1 • 1 --y.*i _ _ L f A n I A | 1 = |
|
|
|
|
Yu |
|
1Y |J |
•Д22 |
(•- 1 |
|
Л, J |
|
|
|
|
|
|
|
* |
r |
B]2 |
1 1 |
|
|
|
|
( 10-11) |
|
|
|
|
B u |
L--|B | в гх Г |
|
|
|
|
|
Обратная гибридная матрица:
Определители матриц |
§ |
10*1: |
|
|
\ q = z ltz M- z iaz |
^ |
I Y1| |
А ц |
^12 |
Л, |
B2I |
|
^11_(*22 , |
|
|
|
|
|
|
|
H 22 |
|
GU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
_ |
|
1 |
|
_ А21 |
В 2\ |
M = V u - V . , = - i ' |
|
|
АХ2 - |
в п - |
|
|
|
|
|
21 |
|Z 1 |
|
|
|
|
|
|
#22 |
|
|
Си“ » |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ж Г ~ (?22 |
|
|
|
У.» _ |
|
|
|
|
|
- А |
А |
|
|
2 » |
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*21 |
|
У*1 |
|
|
|
|
|
н л |
_ |
|
|
^12 . |
|
|
|
|
|
|
#« |
|
|
|
G2l ’ |
|
|
|B| = |
S MB2 |
|
-В, А , = |
*21 |
|
>■CM1 |
|
|
■'12 |
|
|
|
7’ |
|
”II |
|
|
|
|
|
|
Я1( |
|
|
|
<J21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gi2 |
|
|
|
| Н | = Я |
М Я |
2 1 - |
|
я |
1 2 я |
2 1 |
|
|
1 |
|
_ |
2 „ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
0 |
| |
|
^ 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
см]I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
| Q |
|
|
|
|
_ |
У 2 2 |
_ |
Л и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У . 1 |
|
|
^ 2 |
2 |
|
В п |
’ |
|
|
|0 |= 0 „ 0 „ - 0 „ 0 „ = Tl T= | ^ = =i l |
|
|
|
|
_ ^22 |
|
|
^11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^4ц |
|
|
B22 |
|
|
|
|
ч |
Тк цГ, [ |
Г |
г |
х |
2 |
|
|
|
Ч |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
и, } |
|
у |
|
|
\(и2 |
|
|
и, |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*g |
Рис. 10-3. Активный (а) и пассивный (б) четырехполюсники.
На рис. 10-3 приведены активный и пассивный че тырехполюсники. Матрицы Z и Y активного четырех полюсника несимметричны, а пассивного — симметрич ны. В последнем случае имеет место симметрия сопро тивлений, т. е.
Z |
— 7 |
У» |
(10-14) |
^ 12 |
^21 |
|
