книги / Современные методы анализа электрических систем
..pdf7-2. ОБОБЩЕННЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ
7-2,а. Симметричная гиперматрица. Пассивные эле менты симметричной сети можно отобразить симметрич ными цикличными матрицами. На основании выражений
(7-15) в зависимости (7-16) |
будет |
иметь |
место |
|
YI = Y2. |
|
|
|
|
Тогда гиперматрица проводимостей будет: |
|
(7-38) |
||
Y = Y0X P 0 + |
Y1X P li. |
|
||
где |
2 |
—1 |
—1 |
|
|
||||
= P i+ P .= 4 - |
— 1 |
1 |
|
|
|
— 1 |
|
|
|
Таким же образом можно представить и гиперматри цу сопротивлений.
Ранг проекционной матрицы Р12 равен двум, так как она может быть выражена двумя диадами, например,
согласно (7-13):
Pi2 =w 1w*i+w2w*2.
Проекционная матрица P,i2 может быть разложена на бесконечное число различных пар собственных векторов. Между этими векторными парами существует линейная зависимость, которую можно выразить следующим об разом:
[V, v,] = [w, w,] Т, |
(7-39) |
где |
|
M i |
:)• |
(7-4о) |
Матрица Т должна быть |
неособенной и унитарной, |
|
т. е. должна удовлетворять следующим |
условиям: |
|
|Т |^ 0 , Т*Т=12. |
|
|
Поскольку |
|
|
то вследствие свойства унитарной матрицы Т-1 = Т* можно записать следующие зависимости:
т], = - | Т Ц а;
ун т ;
М,+ м ,= 1 ;
161
Учитывая
|Т | |Т*| = 1,
получаем
IТ \= е /тг
где у — любое действительное число.
Тогда матрица Т может быть представлена в следую
щем виде: |
|
|
|
|
Т |
_ |
Г |
hSiei1 |
—I |
-1 np* |
U |
_ |
ъ у т г |
(7-41) |
I |
|
S2 |
|
|
~~ |
L - |
|
l,e~n |
|
7-2,6. Матрица преобразования к обобщенным состав ляющим. От матриц преобразования к симметричным составляющим (S, S*) можно с помощью (7-41) перей ти к матрицам преобразования V, V*. Матрица преоб разования V содержит векторы обобщенных составляю щих, которые одновременно являются собственными векторами матриц проводимостей (или сопротивлений) пассивных элементов симметричной сети:
V = [v.vt v1)l, |
(7-42) |
где. собственный вектор v0, соответствующий составляю щей нулевой последовательности, остается неизменным, т. е.
v0=w0.
Зависимость между матрицами преобразования к симметричным и обобщенным составляющим согласно
(7-39) имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
V = S [ |
о |
? ] • |
^ |
||
Строки матрицы V соответствуют фазовым векторам: |
||||||
1 |
* |
1 |
“ |
1 |
|
|
|
< _ а |
|
Кз |
|
van |
|
|
т*ь |
|
— |
1 |
|
(7-44) |
|
|
f W |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
1 |
|
3£ |
|
« > |
VT |
* * |
- |
||
1 |
|
1 |
1 |
|||
|
|
|
|
|||
162
Подставляя в |
выражение |
(7-43) |
соотношения |
(7-32) |
||||||
и (7-41), получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
1 |
£i 4- £2 |
|
|
( £ 1 |
5s) |
(7-45) |
||
V |
1 |
S |, + |
r t |2 |
cn (al, — a l 2) |
||||||
Vs |
||||||||||
|
1 |
a l t + |
a l s |
e /T ( e g , — a g 2 ) |
|
|||||
|
|
|
||||||||
Введем следующие обозначения: |
|
|
|
|
||||||
|
|
5i==Pl^ ; |
5а = |
р |
/ \ |
|
|
|||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
м ,-м |
л = |
ь |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
р2= К |
1 - p i |
• |
|
|
|
|||
Матрица преобразования V может быть выражена через параметры р„ ра, 8„ 8а, у
“ |
1 |
(p,e/s‘ + |
№lb*) |
en (р,в“ Л -- № /s>) |
|
|||
Vs |
1 |
(Py 5" ‘ + |
|
PsC»'>) |
e* (?ге-‘ь" |
ье~',Ь'г) |
1 |
|
1 |
(Pie/S'‘ + |
p2^ " ‘) |
сl"1(pte~ |
-p tf- '*"*) |
_ |
|||
_ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
(7-46) |
||
1 ^n |
i n __ *. |
2" |
(/= 1 ,2 ). |
|
|
|||
‘ |
T |
'» & г — |
|
----g” |
|
|
||
7-2,в. Преобразование к обобщенным составляющим.
С помощью общей матрицы преобразования можно определить зависимость между фазовыми значениями токов и напряжений и их обобщенными составляющими [аналогично выражениям (7-30) и (7-34)]:
jC0 = |
(In_ ,X V *)ic; |
|
|
lc= |
(I» -,X V )U |
(747) |
|
u c = ( !„ - , XV *) u«; |
|||
|
|||
Uc— (In-i XV)UCv,
163
где
- |
1„ |
■ |
|
Чо |
^си--- |
• |
|
> Iju--- |
|
~ ^Л- 1U - |
|
l h |
||
~ |
и1г, |
- |
|
UjQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
u i \ |
|
|
|
|
|
-un_lv J |
|
- a h . |
||
1
»
(7-48)
•
Далее
Yc» = |
( I n - , X V * ) Y c (In. l X V ) ; |
|
(7-49) |
||
Yc = (I«-,X V )Y cl)(In-,XV*). |
|||||
|
|||||
Аналогично зависимостям (7-22) |
|
|
|
||
YC)t = |
(In -1 X v ft) Y c (In - , X |
V s), |
\ |
(7-50) |
|
|
k — 0, e, |
7]. |
J |
||
|
|
||||
Уравнения, связывающие токи и напряжения симмет ричного пассивного элемента электрической системы, при переходе к обобщенным составляющим распадаются на три взаимно независимых (аналогично симметричным составляющим).
Связь между обобщенными и симметричными состав ляющими на основании сказанного можно выразить сле дующим образом:
7-2,г. Преобразование цикличной матрицы к обоб щенным составляющим. Рассмотрим преобразование к обобщенным составляющим различных элементов электрической системы. Предположим, что некоторый элемент описывается несимметричной цикличной матри цей Yg. Преобразуя эту матрицу согласно (7-49) с уче том (7-45), получаем:
Ye» = |
< Y „ , |
Ygt, |
yfi2> + |
|
|
0 |
о |
о |
(7-52) |
+ (Yg, — У*>) |
о |
5.1. |
- T . 5 r f /T - |
|
где |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.5,4-5,5, = |
!, |
|
|
164
Расчет собственных значений Уйо, У§ь Yg 2 выполня ется согласно (7-14). Соотношение (7-52) можно запи
сать, используя параметры pi, 6 1 , 6 2 |
и уь следующим |
|
образом. |
|
|
Ygv — |
Ygo> Yg2, Yg2 |
-}- |
0 |
0 |
о |
+ ( ^ , - ^ 2) О |
р ? |
. |
о _ py i Z ^ , - m - i . - w |
1 — pj |
|
Сложив две матрицы, находящиеся в правой части этого соотношения, получим:
' go
Ygv — |
о |
[Piy*i + p!y*2] |
[ р ,р 2 с ' т ' ( Y g 2 - Y t„ ) ] |
’ (7-53) |
|
|
|
|
|
|
о |
[p.p2c-” '(K*2 - K gl)] |
[p^i + Pi^J |
|
где р2= |
1 — pf, у' = Т — 8. —К- |
|
||
На основании изложенного выше можно сделать сле дующие выводы:
1) Элементы симметричной сети (матричные блоки) можно разложить на не зависящие друг от друга со ставляющие, если матрица Ygv — диагональная. Для активного элемента, описываемого несимметричной ци кличной матрицей, это условие выполняется только в том
случае, если |
pi = l или 0 , что соответствует |
симметрич |
||
ным |
составляющим. Если pi = l, то £ соответствует со |
|||
ставляющая |
прямой |
последовательности, а |
ц — обрат |
|
ной; |
если pi = 0 , то £ |
будет соответствовать |
составляю |
|
щая |
обратной последовательности, а ц — прямой. Пре |
|||
образованная матрица проводимостей элемента в случае pi = 1 имеет вид:
Ygw—^YgO* Уgh ^g2>*
2) Элементы симметричной сети (матричные блоки) можно разложить на три не зависящих друг от Друга составляющих при любом pi (f. е. отвлекаясь of сим метричных составляющих) только в том случае, Шес
№
цикличная матрица симметрична (Ygi = Yg2), т. е. когда сеть содержит пассивные элементы или элементы с ана логичными им свойствами
3) Для активных элементов взаимодействие между составляющими ц при любом pi можно отразить пас сивными элементами на модели переменного тока толь ко в том сучае, если матрица \ gl симметрична. Это усло вие удовлетворяется при
у—6 i—'6 2 = 0 или я. |
(7-54) |
Это ограничение снимается, если элементы отобра жать на двух одинаковых моделях [Л. 71, 72]. Такой осо бый случай здесь рассматриваться не будет.
7-3. НЕСИММЕТРИЧНЫЕ РЕЖИМЫ ТРЕХФАЗНОЙ СЕТИ
7-3,а. Места несимметричных повреждений. Фазные токи и напряжения сети, содержащей симметричные эле менты, можно на основании выражений (7-47) преоб
разовать |
к обобщенным составляющим |
0, £, ц |
В трех |
||||
|
|
фазной |
сети могут |
быть |
такие не |
||
|
|
симметричные |
связи, которые нель |
||||
|
|
зя отобразить |
цикличной |
матрицей |
|||
|
|
С. Те места, где существуют такие |
|||||
|
|
связи, называют местами поврежде |
|||||
|
|
ний— коротких |
замыканий или об |
||||
|
|
рывов. |
Короткие замыкания явля |
||||
|
|
ются в общем случае параллельны |
|||||
|
|
ми (Повреждениями, |
а обрывы — по |
||||
Рис. 7-4 Однофазное |
следовательными. |
|
|
||||
Несимметричные повреждения не |
|||||||
короткое |
замыкание |
||||||
на землю. |
могут |
быть отображены цикличной |
|||||
|
|
матрицей, поэтому |
схемы |
сети, со |
|||
V— |
——— ответствующие |
составляющим 0, g, |
|||||
£ |
|
т), в местах повреждений необходи |
|||||
|
мо соответствующим образом соеди |
||||||
нить. Ниже будут рассмотрены свя
-зи, необходимые для отображений
|
различных повреждений. |
^ТТ7777777ТТ77777Т77777ТТ |
7-3,6. Однофазное короткое за |
|
мыкание на землю, обрыв двух фаз. |
Рис, 7-3. Обрыв двух |
Оба повреждения можно отобразить |
фаз* |
одинаково. С точки зрения теории |
№
цепей разница между ними заключается в том, что ко роткое замыкание соответствует изменению сопротивле ния между фазой и нулевой шиной (землей)— обозна чение: I/7—N, а обрыв — изменению сопротивления фазы.
В соответствии с рис. 7-4 и 7-5 в точке повреждения h напряжение одной фазы и токи двух других фаз рав ны нулю:
^■ha—~ 0? hib —~0, ihc 0.
Согласно (7-44) и (7-47) можно определить связь между этими фазовыми значениями и обобщенными со ставляющими:
v’aU/^^O;
(7-55)
Л/* |
i/u>]= 0, |
|
где v*a, v*6, v^c согласно (7-44) являются строками ма трицы преобразования V. Раскры
вая (7-55) с учетом (7-44), имеем:
"'•« |
| |
- |
- _1_у |
и |
= 0 ; |
||
/3 - |
|
|
I |
|
ау\ |
hr\ |
’ |
/ 3 |
|
|
= |
|
|
(7-56) |
|
0 |
V + |
Vач\ |
|
||||
¥ |
|
|
|||||
На основании выражений (7-56) схемы составляющих 0, £, г\ необхо димо соединить так, как это показа но на рис. 7-6. Коэффициенты транс формации трансформаторов указа ны на схеме. У обычного трансфор матора коэффициент трансформа ции является действительным чи слом. С помощью соответствующего оборудования, однако, можно со здать устройство, позволяющее учи тывать любой фазовый сдв1иг для случая, когда коэффициент транс формации выражается комплекс ным числом.
Для расчета режима при повре ждении приведем сеть к эквивалент ному виду относительно точки по вреждения (см. § 5-8,6). Обозначим
Т7Го,Ч
з
/.*VJuщ
(Vi.i■ J VНИ■
Рис. 7-6. Соединение схем, соответствую щих составляющим 0, £, г), в точке повреж дения при однофаз ном коротком замы кании или обрыве цвух фаз (рис. 7-4
н 7-5).
167
результирующее напряжение источника в точке повре ждения (равное напряжению в этой точке при токе по вреждения, равном нулю) через еА, а преобразованный вектор напряжений источника — через еА„. Тогда
Chv Uhv==Zftuiftu* |
(7-57) |
Согласно (7-55) |
(7-58) |
V*aehv = v*a?-hvhiv. |
Кроме того, в силу ортогональности [см. зависимость (7-21)]
Поэтому второе матричное уравнение (7-55) удовлетво ряется следующей зависимостью:
Vo^'z i/it>
в которой iz— неизвестная составляющая тока. Подста вив это выражение в (7-58), получим:
= v*0Z/lvVai2,
откуда можно определить \iz и, следовательно, составля ющие тока повреждения:
h iv z= Va (V a f ijiv V a) |
a£hv* |
(7-59) |
Ввиду того, что в нормальных рабочих режимах сим метричной сети можно пренебречь напряжением обрат ной и нулевой последовательности, по напряжению пря мой последовательности в точке повреждения ен\ можно найти вектор преобразованных напряжений [в соответ ствии с зависимостями (7-41) и (7-51)]:
О |
II |
-----1 |
|
0 |
|||
|
|
||
|
|
_ 0 |
Следовательно,
о1 1,
- Ь*»
■ о |
! |
Ь |
|
ЬеЧ ( .
О |
1 |
Сhi — ■
0
0
Si
v%eh« = [& + У ^ - *2 (I - У1 еНг.
Поскольку
и , + и » = 1.
то получаем:
v*ee»h=«Al. (7-60)
168
Предполагая, что преобразованная матрица Zhv диагональна (и. 3, § 7-2,г),
Z/u, = 2/,о, Zfti, 2/и^>,
т. е., предполагая, что сеть пассивна, получим:
v'^Z^Vo^Zfto-f 2Zhl. |
(7-61) |
Подставив формулы (7-60) и (7-61) в уравнение (7-59), получим:
i/it> “ Vo^fto-I^Zb,)-1 ehl. |
(7-62) |
Ввиду того, что v*0v0 = 1, из (7-55) получим:
; |
__ ж7х- |
г ____ |
7 |
°h\ |
1ha |
* |
a l hv |
i 97 • |
^/10 Т
7-3,в. Двухфазное короткое замыкание на землю, об рыв одной фазы. В этом случае оба повреждения мож но также рассматривать аналогично. На рис. 7-7 пока зано двухфазное короткое замыкание на землю (обо-
|
|
|
Ь ----------- о —о |
|
> < |
> 1 |
С ------------О |
- -0 |
|
u |
> |
1 “ь |
|
► uh |
1 t |
— |
|||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Рис. 7-7. Двухфазное ко- |
Рис. 7-8. Обрыв |
|||
роткое замыкание на |
одной |
фазы, |
||
землю. |
|
|
|
|
значение 2F — N), а на рис. 7-8 — обрыв одной фазы. На основании выражений (7-44) и (7-47) запишем
следующие соотношения для составляющих напряжения и тока в месте повреждения:
v*fli/iu: ;0;
(7-63)
Uhv— 0»
169
Раскрывая эти выражения, |
получаем: |
|
|
« /к » __ Uh\ |
___ “ и |
|
|
К З “ |
v al |
~ v ar, ’ |
(7-64) |
/ 3 / ‘h0 + yot iht-\-va1) ihri= |
0. |
||
Из выражений (7-64) следует, что схемы составляю щих 0, £, т] необходимо соединить так, как это показано на рис. 7-9. Коэффициенты трансформации трансформа торов указаны на схеме.
Расчет режима при повреждении можно выполнить
согласно (7-57) и (7-63) по выражению |
|
|
W*e/l„ = |
W*Z/(l)ihv, |
(7-65) |
где |
|
|
В силу условий ортогональности [см. выражение (7-21)] |
||
v*tt[Vb, vc]= v * aW = 0 . |
|
|
Поэтому первое уравнение системы уравнений (7-63) |
||
удовлетворяется следующей зависимостью: |
|
|
Wiz = |
1Ли» |
|
после подстановки которой |
в (7-65) можно |
определить |
вектор iz. В результате получаем следующее выраже ние для расчета вектора составляющих токов повреж дения:
lhv = VI(V/*ZhvW - 'V i * e hv.
Осуществим обратное преобразование — от обобщен ных составляющих к фазным значениям. Используя для этого выражения (7-63), а также
0 |
о |
|
VW = 1 |
0 |
Q |
о |
1 |
|
и
C/iU =::r: V 6/t,
получаем:
Iа= Viа„= G (W*Z/i„W) “1G*eh.
Как следует из этой зависимости, достаточно рас сматривать только поврежденные фазы. Согласно выра
176