книги / Современные методы анализа электрических систем

Теорему 2-4,6 легко понять без доказательства. Из нее следует, что

рис. 2-16 посредством рассуждений, аналогичных приве­ денным при доказательстве теоремы 2-3,а. Как и при до­ казательстве теоремы 2-3,6, исходя из выражений (2-10), можно получить, что

Этим доказана также теорема 2-4,а, поскольку ранг матрицы Q также равен п—1.

Из выражения (2-9) видно, что базисную матрицу сечений можно образовать из матрицы соединений:

В самом деле из уравнения (2-10)

'«'■ ч Ц Н

Отсюда получаем

Теперь, учитывая соотношение (2-8), имеем:

Q = [I, Qft] = [I, —В*/] = [I, A~’A/,] =

= А7’ [А/, А/,] = А^1А?

2-5. СВОДКА СООТНОШЕНИЙ МЕЖДУ МАТРИЦАМИ ГРАФА

а) Граф можно характеризовать основной матрице соединений А, базисной матрицей контуров В или базис­ ной матрицей сечений Q (любой из них). Эти матрицы

41

Г Л А В А Т Р Е Т Ь Я

ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ТОКАМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

3-1. УРАВНЕНИЯ КИРХГОФА

Электрическую сеть можно рассматривать как на­ правленный линейный граф, в котором связь между то­ ками и напряжениями отдельных ветвей определяется первым и вторым законами Кирхгофа и обобщенным законом Ома.

Введем векторы (столбцовые матрицы) токов и на­ пряжений ветвей:

ii и,

ии2

• , u = •

••

_ _

где ij и (/=1, 2, ..., т) — соответственно ток и на­ пряжение ветви /.

Первый закон Кирхгофа можно записать следующим образом:

или

42

Согласно теоремам 2-2,а и 2-4,г

р(А0) = p (Q o )-n —1,

поэтому достаточно написать только следующие уравне­ ния:

Второй закон Кирхгофа: Bflu = 0.

Согласно теореме 2-3,6 р(Ва)=р,

поэтому достаточно написать матричное уравнение

ний А0 будем опускать первую строку, принимая первый узел за базисный. Обозначим вектор задающих токов

I е2

*С5

_ 1с п _

Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме при­ мет вид:

ментами которого являются напряжения узловых точек

Это соотношение указывает, что напряжение ветви определяется разностью напряжений двух узловых то­ чек, которым отвечают ненулевые элементы соответст­ вующего столбца матрицы соединений [Л. 40]. Поэтому столбцы матрицы А при умножении слева на ис сле­ дует заменить строками, следовательно, вектор напря­ жений ветвей и следует определять из вектора напря­

43

жений узлов с помощью транспонированной матрицы соединений А, т. е. с помощью матрицы А*.

Н а п р я ж е н и я в е т в е й можно определить и по напряжениям сечений. В этом случае следует восполь­ зоваться зависимостями (2-10):

ния. Естественно, такое же выражение можно написать и для другого сечения порядка п—1. Базисное сечение было взято лишь для упрощения. В этом случае напря­ жения сечений определяют напряжения ветвей дерева

так как первый блок матрицы Q является единичной матрицей.

Э л е к т р о д в и ж у щ и е с илы ( конт уров можно определить по э. д. с. отдельных 'ветвей. Пусть вектор э. д. с. ветвей будет:

v2

V т

Если ветвь не содержит э. д. с., то соответствующая компонента этого вектора равна нулю. Э. д. с. каждого контура определяется:

определить с помощью зависимости АВ* = 0. Уравнение (3-1) удовлетворяется только в том случае, если

мощью матрицы контуров [Л. 40]. По ненулевым эле­ ментам фиксированного столбца матрицы В, которому соответствует некоторая ветвь сети, можно определить, какие контуры замыкаются через даннную ветвь, а так­ же направления относительно ветви отдельных контур­ ных токов.

44

между ними (главные миноры матрицы, образованные из ненулевых элементов, положительны);

элементами диагональной матрицы R являются со­ противления отдельных ветвей;

элементами диагональной матрицы F являются об­ ратные значения емкостей ветвей; если ветвь не содер­ жит емкости, то соответствующий элемент матрицы ра­ вен нулю;

vc (0) — вектор, образованный из напряжений кон­ денсаторов в момент времени ^ = 0.

В матричном интегро-дифференциальном уравнении (3-10) элементы матриц L, R и F не зависят от векто­ ров и и i, поскольку сеть линейна. В дальнейшем будет также считаться, что элементы этих матриц постоянны во времени.

3-2,а. Пример. Обобщенный закон Ома для сети, приведенной на рис. 1-3, в матричной форме можно за­ писать так:

Переходный процесс можно выразить и в оператор­ ной форме (см. § 1-5; здесь изображение переменных по

45

Для установившегося режима при комплексной форме записи (см. гл. 1) матрица полных сопротивле­ ний ветвей будет:

Если между ветвями нет взаимной индукции, то матри­ ца L, так же как и матрицы Y и Z, будет диагональной, следовательно, обращение (3-15) легко выполнить. В дальнейшем мы не будем учитывать начальные на­ пряжения на емкости Vc(0); в тех случаях, когда это напряжение необходимо учесть, это специально будет оговорено (например, при рассмотрении переходных про­ цессов в обмотке трансформатора (§ 11-3)].

3-3. РАСЧЕТ РЕЖИМА СЕТИ, СОДЕРЖАЩЕЙ ТОЛЬКО ИСТОЧНИКИ ТОКА

Если имеются источники тока, а источники напряже­ ния отсутствуют, то

v = 0.

Чтобы упростить рассмотрение вопроса, все элемен­ ты в дальнейшем будут представлены для установив­ шегося режима; для переходных процессов следует рас­ сматривать уравнения в операторной форме (3-11).

Р а д и а л ь н а я сеть образует дерево. Для такой се­ ти по задающим токам можно непосредственно рассчи­ тать токи ветвей с помощью матрицы соединений А/. Ввиду того, что А/ неособенная,

источников тока целесообразно исходить из 'матрицы со­ единений или из матрицы сечений.

46

3-3,а. Применение матрицы соединений целесообраз­ но в том случае, когда источники тока присоединены к узловым точкам. На основании выражений (3-4) и (3-16)

—ic=AYu.

Подставив сюда выражение (3-5), получаем:

—ic=AYA*uc. (3-18)

Введем обозначение:

YC=AYA*. (3-19)

Эту матрицу называют матрицей узловых проводимо­ стей. Соотношение (3-19) показывает, что матрица узло­ вых проводимостей определяется контрвариантным пре­ образованием матрицы проводимостей ветвей [Л. 22, 23, 41]. Поэтому обобщенный закон Ома для узловых вели­ чин будет иметь вид:

Вектор токов ветвей из выражений (3-16) и (3-5) будет:

i = Yu = YA*uc.

Вектор ис получается в результате решения уравнения (3-20). Имея в виду, что матрица Y~‘ определяется как

обратная к матрице Yc (см. гл. 5), из выражения (3-20) получаем:

3-3,6. Применение матрицы сечений целесообразно, если все источники тока включены в ветви, а задающие токи равны нулю:

1С= 0.

Дерево сети целесообразно выбрать так, чтобы ис­ точники тока были контурными ветвями (далее обозна­ чаются индексом 1; остальные ветви обозначаются ин­ дексом 2). Предположим, что между блоком, соответст­ вующим ветвям дерева, и блоком, соответствующим контурным ветвям, обозначенными индексами 1 и 2, нет индуктивной связи. Матрицу сечений представим сле­ дующим образом:

Q =[l|Q i, СЬ].

Преобразуя уравнение (3-2) так, чтобы известный век­ тор тока it, соответствующий токам источников, был рас­

47

так как у этих ветвей нет индуктивной связи с другими ветвями.

На основании выражений (3-6) и (3-7) получаем:

С учетом (3-23) и (3-24) выражение (3-22) можно записать так:

»/+ Q,YslQ*Iu/ = - Q * 1i1.

Поскольку согласно предположению у ветвей дерева нет индуктивной связи с ветвями контуров, можно написать:

Эту зависимость можно использовать также и при наличии задающих токов в узлах. В этом случае сеть необходимо дополнить ветвями между узлами с задаю­ щими токами и базисной точкой.

3-4. РАСЧЕТ РЕЖИМА СЕТИ, СОДЕРЖАЩЕЙ ТОЛЬКО ИСТОЧНИКИ НАПРЯЖЕНИЯ

В этом случае

ic = 0.

Здесь целесообразно применять матрицу контуров, исходя из выражения, полученного подстановкой (3-3) и (3-8) в (3-14):

—v ^B Z i.

48

Матрицу

называют матрицей контурных сопротивлений. Согласно (3-28) эта матрица определяется контрвариантным пре­ образованием матрицы сопротивлений ветвей. Поэтому обобщенный закон Ома для контуров в матричной фор­ ме будет иметь вид:

Контурные уравнения можно использовать также для решения задачи, изложенной в разд. 3-3,6. Пусть в не­ которых ветвях имеются источники тока. Будем исхо­ дить из базисных контуров, полагая, что заданные токи относятся лишь к ветвям контуров; обозначим их индек­ сом 2. Контурные ветви с неизвестными токами обозна­ чим индексом 1. Группируя в соответствии с этими обо­ значениями контурные уравнения (3-29), запишем:

В соответствии с принятой группировкой

VM = 0.

Токи ih2 известны, поэтому

*hi= ZftiiZ/ll2ih2.

С учетом выражения (3-9) вектор токов ветвей будет:

Сравним эту зависимость с уравнениями (3-25) и (3-26). В уравнении (3-25) фигурирует обратная матри­ ца порядка п—1, а в уравнении (3-31) обратная матри­ ца имеет порядок р= т —п + 1. Более удобным является то выражение, для которого порядок обращаемой мат­ рицы меньше. Часто дипломатическое число \х меньше п—1, поэтому целесообразно пользоваться уравнением (3-31). Это уравнение можно использовать и при нали­ чии задающих токов, если заменить последние соответ­ ствующими (содержащими идеальный источник тока) контурными ветвями,

49

В сети, не содержащей задающих токов, только кон­ туры могут образовать цепь тока, поэтому источник то­ ка можно размещать только в ветвях контуров. Для ра­ зомкнутой токовой цепи, содержащей источник тока, решения не существует. С другой стороны, для контура невозможно наперед задать напряжения всех ветвей. Источники напряжения следует соответственно этому размещать в дереве.

3-5. РАСЧЕТ РЕЖИМА СЕТИ, СОДЕРЖАЩЕЙ ИСТОЧНИКИ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ

Источники тока и напряжения должны быть идеаль­ ными активными ветвями (не должны обладать сопро­ тивлением, индуктивностью и емкостью). Задающих то­ ков нет, вернее, эти токи отображаются отдельными контурными ветвями, подключенными между узловыми и базисной точками. Ветви дерева, содержащие источ­ ники напряжения, обозначим индексом 1, ветви конту­ ров, содержащие источники тока, — индексом 3, осталь­ ные ветви дерева и контуров обозначим индексом 2. Уравнения (3-1), (3-3) и (3-14) можно записать в сле­ дующей гиперматричной форме:

Введем следующие обозначения для известных век­ торов напряжения и тока:

V g = v b ig = i3.

Тогда исходное уравнение примет вид:

В этой системе матричных уравнений заданными явля­ ются: v g, fg\ неизвестными — u3, u3, ii, i%. Пусть число ис­

50