книги / Современные методы анализа электрических систем

точников напряжения будет ти число источников тока—

чительно упрощается, если пользоваться контурными уравнениями.

3-5,а. Пусть в контурных уравнениях для устано­ вившегося режима индекс Л2 обозначает базисные кон­ туры, содержащие источники тока в контурных ветвях (эти ветви обозначались индексом 3); индекс hi обозна­ чает остальные базисные контуры (относящиеся к кон­ турным ветвям, обозначенным индексом 2). Тогда

BnVg = Z/,n ift, -j-Z/,]2ig,

откуда (если Z hll неособенная, что обычно имеет место)

На этом основании

Отсюда вектор токов ветвей сети из зависимости (3-9)

В этом случае необходимо рассчитать только матрицу, обратную к ZftH, что представляет собой более легкую задачу.

51

3-5,6. Аналогично можно использовать уравнения се­ чений. Пусть сечения с индексом 1 относятся к ветвям дерева с индексом 1, содержащим источники напряже­ ния; сечения с индексом 2 относятся к ветвям дерева с индексом 2. Тогда из выражения (3-2) получаем:

Для ветвей с индексом 2 из выражения (3-32) полу­ чаем:

12= Y22U2.

После подстановки в выражение (3-36)

Равенство (3-6) можно записать в таком виде:

Раскрывая эту систему уравнений, получаем:

Подставим второе уравнение системы (3-38) в равенство (3-37):

Q22Y22Q*22u02 = - Q 22\ 22Q*12vs - Q 2Sis. (3-39)

Введем в это равенство обозначение матрицы проводи­

52

Таким образом, по заданным векторам vg и ig источ­ ников напряжения и тока можно по уравнению (3-41) рассчитать вектор напряжений сечения uQ2 пассивных элементов сети. Подставив этот вектор в матричную си­ стему уравнений (3-38), можно определить векторы на­ пряжений ветвей и2, из, имея в виду, что ui = vg. Вектор i2 определяется с помощью матрицы проводимостей. Вектор ii можно получить из гиперматричного уравне­ ния (3-36) следующим образом:

На основании сказанного для решения рассмотрен­ ных задач необходимо обращение матрицы проводимо­ стей или сопротивлений. В следующей главе приведен метод, позволяющий осуществлять такое обращение.

Г Л А В А Ч Е Т В Е Р Т А Я

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ

4-1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ УЗЛОВЫХ ПРОВОДИМОСТЕЙ

Топологическими матрицами являются матрица со­ единений, матрица сечений и матрица контуров, отра­ жающие топологические свойства сети. С помощью то­ пологических матриц можно преобразовать матрицу проводимостей и матрицу сопротивлений ветвей в мат­ рицу узловых проводимостей, проводимостей сечений и контурных сопротивлений (см. гл. 3). Во многих случаях требуется определить матрицу узловых проводимостей, матрицу проводимостей сечений или матрицу, обратную матрице контурных сопротивлений (см. гл. 5).

Для определения матрицы, обратной матрице узло­ вых проводимостей, т. е. матрицы узловых сопротивле­ ний (если нет взаимоиндукции), нет необходимости со­ ставлять матрицу проводимостей и затем ее обращать, можно с помощью матрицы соединений, характеризую­ щей топологические свойства сети, по проводимостям ветвей рассчитать матрицу узловых сопротивлений [Л. 29, 39]. Для обращения матрицы необходимо найти ее определитель и миноры (алгебраические дополнения) с соответствующими знаками. Как известно, матрица,

53

обратная матрице

1)П +,Л „ ( - Г ) " + М 2„ ... ( - 1)я + я А т

где |А |— определитель матрицы А; Ац — минор, полу­ ченный из матрицы А вычеркиванием i-й строки /-го столбца. Минор матрицы А, взятый с соответствующим знаком, называют алгебраическим дополнением. Для образования определителей можно применить теорему Бине—Коши об определителе произведения двух матриц.

Выражение для матрицы узловых проводимостей [равенство (3-19)] можно разложить на произведение двух матриц:

где на основании выражения (3-19)

j_

2

Здесь Y — диагональная матрица, так как нет индуктив­

ного взаимодействия между ветвями сети. Матричный коэффициент С образован бектор-столбцами с< с (п—1) элементами (п — число узлов, т — число ветвей):

зисной точке, то в соответствующем столбце лишь один ненулевой элемент). Величина с* ненулевого элемента равна корню квадратному из проводимости ветви (бе­

54

Теорема Бине—Коши * [Л. 4] дает формулу для вы­ числения минора матрицы произведения MN, образо­ ванного из элементов, стоящих в строках рь цг, . . цг и столбцах vi, V2, • • •, vr, по минорам матриц сомножите­ лей. Если матрица М имеет р строк и k столбцов, а мат­ рица N—k строк и q столбцов, то указанный минор по­ рядка г (k, р, q ^ r ) образуется следующим образом:

(Т)

где S —символ суммирования по всем сочетаниям г чисел

(т)

из 1,2,..., k (т. е. на место чисел Yi- Ya>-- >Yr следует поставить сочетания г чисел из 1,2,..., £ и полученные таким образом произведения сложить).

Если матрица произведения MN квадратна, то со­ гласно этой теореме можно вычислить определитель MN; например:

= ! •( 3) 2 - 4 —|—1 • (— 1) = 4.

Так можно вычислить определитель матрицы узловых проводимостей порядка (п—1). Согласно выражению (4-1) каждый из сомножителей представляет собой транспонированное значение другого, следовательно, определитель матрицы узловых проводимостей равен:

55

ходимо образовать частичные графы графа G, содер­ жащего т ветвей и п узлов. Частичные графы содержат п—1 ветвей.

Если при п—1 узле (без базисного) частичный граф содержит п—1 ветвей, то согласно § 2-1 этот частичный граф есть дерево. При наличии контура одна из узло­ вых точек окажется несвязной с остальными. Опреде­ литель, соответствующий такому выбору ветвей, будет равен нулю, и из всей суммы определителей останутся лишь такие, которые отвечают выбору ветвей деревьев

а в строке А, соответствующей другому узлу, инцидент­ ному этой ветви, находится —сг Определитель не ме­ няется, если над матрицей произвести элементарное пре­

в g-й строке будет равен нулю, а в А-й строке останется неизменным (рис. 4-1). Если g-му узлу инцидентна еще одна ветвь, то преобразование можно продолжить ана­ логично. Это же относится и к А-му узлу, из которого может исходить (или к которому мож^т приходить) но­ вая ветвь. В этом случае необходимо опять проводить аналогичное преобразование. Произведя по порядку все преобразования, получим матрицу, во всех строках и столбцах которой имеется только один элемент, следо-

56

вател, :о, ее определитель

1

Знак определителя зависит от знаков элементов отдель­ ных столбцов и от того, в каком порядке следуют друг за другом строки, относящиеся к столбцам. В конечном

в ых п р о в о д и м о с т е й я в л я е т с я п о л и н о м о м п р о и з в е д е н и й п р о в о д и м о с т е й в е т в е й д е ­ р е в ь е в :

Формы деревьев, которые можно выбрать в графе, не зависят от выбора базисного узла, поэтому величина определителя является числом, характеризующим граф и не зависящим от выбора базисного узла.

4-1,6. Примеры.

1) Вычислим определитель матрицы узловых пров димостей графа треугольной формы, приведенного на рис. 4-2. Матрица соединений графа:

Формы деревьев показаны на рис. 4-2; они складыва­ ются из ветвей 7, 2; 7, 3; 2, 3. Определитель матрицы узловых проводимостей будет иметь вид:

|Ус| = К1У2+У1У3+У2Уз.

Используя (4-3), легко доказать, что число всех де­ ревьев равно:

2)Для сети, приведенной на рис. 4-2:

/= | АА*| = и?-;] _П

57

3) Число деревьев в сети, приведенной на рис. 2-17. Из матрицы А, определенной для базисной точки /:

4) Матричный коэффициент дерева, образованного из ветвей 1, 2, 4, 5, 6 (1 — базисный узел) для сети, при­ веденной на рис. 2-17:

до преобразования:

после преобразования:

Определитель

I Q b

4-1,в. Теорема. Если связный, но разделяемый граф G состоит из частичных графов (компонент) Gu G2,

58

Gj, у которых полиномы проводимостей ветвей де­ ревьев равны Пь П2, Пj, то результирующий поли­ ном 'проводимостей ветвей деревьев связного графа будет:

П = YJt(YlYM+ YlY9+ YtYi).

4-2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ МАТРИЦЫ УЗЛОВЫХ ПРОВОДИМОСТЕЙ

Для образования обратной матрицы определим ми­ норы и алгебраические дополнения, относящиеся к от­ дельным элементам исходной матрицы. Матрицу алге­ браического дополнения к элементу, стоящему в А-й строке и i-м столбце, получаем путем исключения этих строки и столбца из первоначальной матрицы. Такую матрицу можно получить исключением соответствующих строк матричного коэффициента:

А-й или i-й строки из матрицы С. В самом деле, как хо­ рошо видно из рис. 4-4, указанное произведение дает часть матрицы, у которой отсутствуют i-й столбец и А-я строка.

Миноры, имеющие определители, отличные от нуля, и в этом случае являются матричными коэффициентами деревьев для графов, полученных из исходного объедине­ нием узла А (или i) с базисным. Произведение миноров оказывается ненулевым, если выбор ветвей таков, что для исходного графа получаем так называемое 2-дерево *.

Одна из частей 2-дерева должна содержать базисный узел, другая часть — А-й и i-й узлы. При этом базисный

* В общем случае 2-дерево — зто частичный граф, состоящий из двух некасающихся, не содержащих контуров подграфов, охваты­ вающих все узлы исходного графа. (Прим, ред.)

59

узел может оказаться изолированным узлом. Соответст­ вующий ему минор тогда равен единице. Ни h-й, ни i-й узлы не могут участвовать в одном дереве совместно с ба­

Iзисным, ибо в этом случае преобразо­ ванием матрицы все элементы соответ­

ствующего столбца могут быть сдела­ ны равными нулю, и, следовательно, определитель матричного коэффициен­ та будет равен нулю. Узлы h и / долж­ ны поэтому принадлежать одному ча­ стичному графу; это означает, что между узлами h и i необходимо опре­ делить один путь (см. 2-1).

4-2,а. Теорема. Алгебраическое до­ полнение в матрице Yc является нолиномом, составленным из произведений

проводимостей ветвей соответствующих 2-деревьев, у ко­ торых одна часть содержит путь между двумя указан­ ными узлами, а другая часть 2-дерева — базисный узел:

(S)” 2

где h и i—указанные узлы; г—базисный узел; У.1,..., УгП- 2—

произведение проводимостей одного из возможных 2-дере­ вьев.

Для подтверждения этого рассмотрим матричный ко­ эффициент Cj одного из 2-деревьев. При исключении строки h из матричного коэффициента Ci получается матричный коэффициент Сцщ, а при исключении строки i получается матричный коэффициент СадПусть линия пути в дереве начинается /-й ветвью из h-го узла и окан-

Рис. 4-5. Преобразование матрицы Сь

а — до преобразования; б — после преобразования; Л, / — узлы; /, k — ветви.

60