книги / Современные методы анализа электрических систем

чивается k-и вехвью в i-м узле (рис. 4-5); на этом же рисунке показана также матрица Сц. После исключе­ ния строки h в /-м столбце матрицы Clt останется лишь один ненулевой элемент. Вычисляя определитель разло­ жением по этой строке, получаем:

|Ci(fc)| = (—1 )i+ic3Dt.

Заметим, что i-я строка после исключения h-й строки бу­ дет иметь номер (i—1), что компенсирует отрицатель­ ный знак при сг Аналогично

| Ci(l)| = (—\)i+hc3Dt.

Следовательно,

1с1Лс>1(* ,|= (- 1 )А +*с*/);,

где Dt (в соответствии со сказанным выше) является произведением проводимостей ветвей 2-дерева, лишен­

ми узлами (А, /), но и базис­ ным узлом. 2-дерево относится по меньшей мере к двум

узлам. Для узлов 1 и 2 треугольного графа, приведен­ ного на рис. 4-6, можно составить два 2-дерева. Исклю­ чение строки, соответствующей узлам / и 2, символиче­ ски означает объединение одного узла с базисным. Так, между узлами 1—3 и 2—3 можно дорисовать по одной ветви, как это показано на рисунке. Этим узлы 1 или 2 по­ переменно превращаются в изолированные. Произведение

На рис. 4-10 показаны 2-деревья, относящиеся к узлу 1 и базисному узлу 4 для случая, когда необходимо най­

61

Главные миноры получаем, если й= it; в этом случае 2-деревья определяются двумя узлами, из которых один базисный. Число деревьев, которые следует рассмотреть для графа, показанного на рис. 2-17, в случае 6-го узла:

62

совмещены; этот определитель равен произведению прово­ димостей ветвей 2-дерева для узлов к и г.

Эта теорема следует непосредственно из вида поли­ номов произведений проводимостей деревьев.

0

1

0

мощью полиномов произведений проводимостей ветвей деревьев:

n = r ft<n M + n (_ft,)f (4-11)

где П — полином произведе­ ний проводимостей ветвей деревьев трафа G; Гы —'про­ водимость ветви между уз­ лами h и i; Щ,; — полином произведений проводимостей ветвей 2-деревьев для узлов h и i графа G; П(_Л{) — по­

лином произведений проводимостей ветвей деревьев гра­ фа, полученного из графа G удалением ветви между уз­ лами h и г.

4-2,в. Пример. Найдем определитель матрицы узло­ вых проводимостей (полином произведений проводимо­ стей ветвей деревьев) графа, показанного на рис. 4-12:

П —КвПц+ П(—45).

63

Полином И(-45) (согласно теореме 4-1,в, соотношение (4-7)] будет:

так как без ветви б граф можно разделить на три ча­ сти (на ветви 4 и 5 и треугольный граф, содержащий ветви 1, 2, 3). Полином произведений проводимостей 2-де­ ревьев:

П45 = (К4 -Ь Yt) (Г,Уа+ Г / , + Y,Yt) + Г4Г6 (Yt + Yt).

шения, называемого обобщением теоремы разложения

примыкающих к внешнему узлу; По — полином проводи­

узлов i, / и к графа G0 и т. д.

64

4-3,а. Примеры.

1) Исходным для графа, приведенного на рис. 4-12, является граф G0, показанный на рис. 4-14; здесь спра­ ведливо

Ветви 5 и 6 соединяют узел 5 с узлами 2 и 4 проводи* мостями У5 и У6. Полином проводимостей новой сети

по результирующему выражению для полинома прово­ димостей:

П24= (У1+ У 1)(Уг+У,) + У2У3.

На этом основании

Я = (У,+ У*) У4 (У,у,+ УшУ,+ У.Уг)+

+У , У Л У , У , + < У г + У № , + У Л

2)Найдем определитель матрицы узловых проводи­ мостей графа, показанного на рис. 4-16. Пусть узлы 1, 2, 3 и ветви 1, 2, 3 относятся к графу G0. Граф G допол­ няется узлом 4 и ветвями 4, 5, 6. В основном графе число ветвей деревьев — 2, число ветвей 2-деревьев — 1, число ветвей 3-деревьев — 0. В последнем случае произ­ ведение проводимостей равно единице.

Тогда

Эти соотношения хорошо программируются для ЭЦВМ.

65

4.4. СОБСТВЕННЫЕ И ВЗАИМНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ

4-4,а. Собственное сопротивление. Пусть один из двух узлов, образуемых в пассивной сети парой клемм, будет точкой питания, а другой — базисной точкой. Измеряе­ мое таким путем входное сопротивление будет назы­ ваться с о б с т в е н н ы м с о п р о т и в л е н и е м . Так, на рис. 4-17 питающий ток i'i и напряжение и10 определяют собственное сопротивление:

(4-13)

где П— определитель матрицы узловых проводимостей (полином проводимостей ветвей деревьев); П^о — поли­ ном проводимостей ветвей 2-деревьев для узлов 1 я 0.

4-4,6. Взаимное сопротивление определяется измере­ ниями для двух пар зажимов (рис. 4-18). Пусть ток ц

питает зажимы 1, а узел 0 является базисным. В этом случае измеряется напряжение и2ъ между зажимами 2,3. Узловые уравнения сети будут следующими:

На основании § 4-1 и 4-2 получаем:

^12,0--Pi;

П

66

Можно доказать, что*

12,0 ^12,03 Н"" ■^■123.0’

Образуя разность двух этих выражений и подставив ее в предыдущую формулу, получим:

Для определения взаимного сопротивления в (4-14) не­ обходимо в 2-деревьях наметить пути вначале между узлами 1 2 и 0 3, а затем — между узлами 1 3 и 0 2. (Если узел 3 совпадает с базисной точкой 0, то полу­ чится узловое взаимное сопротивление холостого хода, о котором говорится в § 5-8,а).

4-5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ РАСЧЕТА

МАТРИЦЫ КОНТУРНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ

Топологические зависимости можно записать и для матрицы контуров. Если нет взаимоиндукции, то матри­ цу контурных сопротивлений можно так же, как и ранее, разложить на произведение двух взаимно транспониро­ ванных матриц.

Целесообразно исходить из матрицы базисных кон­

3 — в другой. {Прим, ред.)

67

фе имеется р контурных ветвей. Если вместо контурной ветви выбирается ветвь дерева, то полученному множе­ ству будет недоставать одного контура и определитель обратится в нуль.

Можно доказать, что определитель матрицы контур­ ных ветвей равен ±1. В этом случае, если исходная мат­ рица контурных ветвей является единичной матрицей, ее определитель равен +1. Заменим одну из контурных ветвей первоначальной единичной матрицы другой воз­ можной ветвью, например, контурную ветвь 3 графа (см. рис. 2-19), ветвью 2 (рис. 4-19). В результате замены изменится также первоначально взятое дерево. Вместо контура, состоящего из ветвей 1, 2, 9> 6, относящихся к контурной ветви 9, возникает контур, из ветвей 3, 6, 9. Новая матрица контуров будет иметь вид:

Эта матрица отличается от первоначальной только тем, что столбцы 2 и 3 были заменены в соответствии с за­ меной ветвей. В результате сложения строк получается

Проведенное преобразование не изменяет значения определителя. В этом случае определитель матрицы кон­ турных ветвей равен —1. Таким образом, утверждение доказано.

На основании этого определитель матрицы контур­ ных сопротивлений графа будет равен:

68

где р — число возможных множеств базисных контуров; Z^ , — сопротивления контурных ветвей одного

из множеств базисных контуров.

4-5,а. Теорема. Определитель матрицы сопротивлений базисных контуров является полиномом произведений сопротивлений контурных ветвей. Число членов полино­ ма совпадает с числом возможных деревьев. Множество контурных ветвей является дополнением дерева. Отсюда следует:

4-5,6. Теорема. Определитель матрицы контурных со­ противлений равен определителю матрицы узловых про­ водимостей, умноженному на произведение сопротивле­ ний всех ветвей.

В самом деле:

Выражения определителей матрицы узловых прово­ димостей и матрицы контурных сопротивлений наглядно показывают, что в обоих случаях число слагаемых в по­ линомах одинаково, а число сомножителей в каждом слагаемом в первом случае равно п—1, а во втором случае — р.

Г Л А В А П Я Т А Я

РАСЧЕТ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ

Линейная электрическая сеть состоит из узлов и вет­ вей; зависимость между напряжениями и токами в та­ кой сети линейна. Коэффициенты уравнений, описываю­ щих установившийся режим сети (т. е. элементы матриц узловых или контурных уравнений), для сети постоянно­ го тока являются действительными числами, для пере­ менного тока—комплексными числами. Для неустановившихся режимов расчеты можно вести с помощью

69

интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений как в виде рядов, так и с применением oneраторного исчисления. В последнем случае элементы матрицы, описывающие процессы в системе, будут со­ держать оператор и его степени.

Уравнения установившегося режима сети в матрич­ ной форме, полученные на основе теории графов (см. гл. 3), имеют вид:

Сх=Ь,

что соответствует системе линейных уравнений первого порядка. Решением этрй системы является:

х = С_1Ь.

Следовательно, задача состоит в определении матрицы, обратной С, т. е. С-1. С этой проблемой нам уже прихо­ дилось встречаться в гл. 4 при рассмотрении топологи­ ческих зависимостей. Решение, которое можно назвать классическим (применение правила Крамера), требует очень большого числа вычислительных операций. Ввиду того, что в сетевых задачах обращаемая матрица не­ полна, т. е. некоторые из ее элементов равны нулю, це­ лесообразно использовать это свойство для уменьшения числа операций. Кроме уменьшения времени, требуемо­ го для расчета, при этом уменьшается также степень использования объема памяти вычислительных машин.

Ниже дается обзор методов, с помощью которых це­ лесообразно обращать квадратную матрицу коэффици­ ентов уравнений установившегося режима линейной сети. Для решения этой задачи, помимо прямых методов обращения, могут быть применены также итерационные методы. Вопросы, связанные с применением итерацион­ ных методов, будут изложены в гл. 6 при решении за­ дачи расчета потоков мощности.

Прежде чем переходить непосредственно к обраще­ нию, целесообразно задачу упростить так, чтобы было меньше неизвестных. Назовем это упрощением сети.

5-1. УПРОЩЕНИЕ СЕТИ

Если произведение узлов в промежутке пути между двумя узлами равно 2, то путь можно заменить одной ветвью, переместив нагрузки промежуточных узлов в два крайних узла.

70