книги / Современные методы анализа электрических систем

является то, что элемент системы или одна его фаза состоит из ряда одинаковых частей. Это отображение представляет собой замещение цепочечной схемой. Для математического исследования этой модели удобно ис­ пользовать матричные методы расчета.

Поскольку симметричная трехфазная система может быть разделена (методом обобщенных составляющих, рассмотренным в гл. 7) на три независимые друг от друга однофазные системы, в дальнейшем будет рассмо­ трена только однофазная цепочечная схема.

Отдельные звенья цепочечной схемы можно предста­ вить так, как это показано на рис. 11-3. Для линий можно пользоваться звеньями, отмеченными на рисунке буквами а—г, для трансформаторных обмоток — звенья­ ми, отмеченными буквами д—ж. Схемы замещения вра­ щающихся машин будут рассмотрены в § 11-4. Т-образ­ ное звено а используется редко. П-образные звенья б

Рис. 11-2. Замещение обмогки цепочечной схемой.

или д полностью симметричны; недостатком их являет­ ся то, что в цепочечной схеме отдельные звенья следует соединять последовательно, а емкости подключены к уз­ лам соединения и равны половине емкости Т-образного звена. Однако в тех случаях, когда нет взаимной индук­ тивности, применение П-образных четырехполюсников, соединенных в цепочку, имеет преимущества. Г-образ-

241

ные звенья в или г и е или ж позволяют получить до­ статочно простые цепочечные схемы. В случаях в и е нет параллельно включенной емкости в первой узловой точке, а в случаях г и ж— в последней.

Рис. 11-3. Звенья цепочечной схемы.

а—г — для линий, О—ж — для обмоток

С помощью четырехполюсников, соединенных в цепо­ чечную схему, можно в соответствии с (10-48) и (10-51) отображать линии и обмотки. Этот метод, однако, не­ применим для исследования взаимного индуктивного влияния элементов обмотки. Модель цепочечной схемы, рассмотренная ниже, не обладает этим недостатком,

242

Системы уравнений (11-1) можно объединить в следующие матричные уравнения:

где D„ пояснено в приложении.

Второе уравнение умножим слева на матрицу Dn и подставим в его правую часть первое уравнение. Тогда

Начальные условия:

i (0) = 0; -|-i(0) = 0.

Решение уравнения (11-7) можно записать в виде функ­ ции (Пб-8), приведенной в приложении; для этого необ­ ходимо определить собственные значения и собственные векторы матрицы В. Матрица В согласно (11-5) содер­ жит в качестве слагаемого матрицу DnD*„ (П2-14),

244

собственные значения и собственные векторы которой определяются выражениями (П2-17) и (П2-18), приве­ денными в приложении. Таким образом, решение (11-7) будет:

где

(Л; = 1, 2 ,..., л).

11-2,в. Короткозамкнутая линия. Представим линию схемой замещения, состоящей из п Г-образных звеньев (показанных на рис. 11-3,г), соединенных по цепочечной схеме (рис. 11-5).

си'\ X

Рис. 11-5. Цепочечная схема замещения линии при коротком замы­ кании.

В этом случае система матричных уравнений в обозначениях (11-3) согласно выражению (Г12-9), приведен­ ному в приложении, запишется в виде

245

где D n_ iп — прямоугольная матрица, состоящая из п— 1 строк и п столбцов. Решение (11-10) определяем анало­ гично тому, как это делалось для (11-4). Матрица Dn-inD*n-in квадратная (п—1)-го порядка (П2-13), собственные значения и собственные векторы которой можно найти по выражениям (П2-11) и (П2-12), приве­ денным в приложении. Следовательно, вектор напряже­ ний с п—1 элементами будет иметь вид:

где

(п—1) компонент

(k — l, 2,..., п — 1).

11-3. ЦЕПОЧЕЧНАЯ СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ ОБМОТКИ ТРАНСФОРМАТОРА

Распределение импульса напряжения по обмоткам трансформаторов рассматривается во многих работах [Л. 84—89]. В общем виде сравнительно просто опреде­ ляется только начальное распределение; зависимости, отображающие переходные процессы, сложны. Метод, приведенный ниже [Л. 90], дает модель, пригодную для матричных расчетов.

11-3,а. Однородная обмотка трансформатора. Конец однородной обмотки трансформатора заземлен; в момент времени t = 0 на начало обмотки подается напряжение Uо, изменяющееся во времени. Обмотку можно предста­ вить в виде цепочки из п Г-образных звеньев («элемен­ тарных обмоток»), приведенных на рис. 11-3,ж (рис. 11-6).

Опираясь на результаты опытов Б. Геллера (Л. 87],

где L — коэффициент самоиндукции элементарных обмо­ ток, q — положительное число, меньшее единицы, вели­

246

чину которого определяют путем измерений или путем расчета по геометрическим данным исследуемого транс­ форматора.

Последовательная емкость элементарной обмотки равна С, емкость ее относительно земли равна аС. В литературе

[Л. 88, 89] пользуются коэффициентом a = j/'C//Cfi, где

Cs— результирующая последовательная емкость обмот­ ки; Cf — результирующая емкость обмотки относительно

Рис. 11-6. Цепочечная схема замещения однородной обмотки.

земли. Ясно, что а = а2/п2. Согласно опыту, если коэффи­ циент а меньше 3, то неравномерность начального рас­ пределения напряжения (в начальных витках обмотки падение напряжения больше) незначительна. В случае обыкновенной катушечной обмотки а=10 (может быть больше 10). Положение значительно улучшается для переплетенной обмотки, имеющей увеличенную последо­ вательную емкость (Л. 89, 97]. Расчет витковой емкости, емкости обмотки на землю и индуктивности различных обмоток выходит за рамки настоящей книги; эти вопро­ сы подробно рассмотрены в специальной литературе.

Пренебрежем активным сопротивлением элементар­ ных обмоток и емкостной связью несмежных обмоток. На основании законов Кирхгофа можно написать сле­ дующие дифференциальные уравнения для случая ^ 0 :

247

Эти основные уравнения должны удовлетворять следую­ щим условиям:

1) граничные условия:

tin--

2) начальные условия: в момент времени t —0 элек­ тростатический заряд во всех узловых точках и ток меж­ ду узловыми точками равны нулю:

С (-«,•_, (0) + 2щ (0) - ui+l (0) + aui (0)) = 0

(< = 1, 2,..., п — 1);

(11-13)

М0) = 0

{I — 1, 2 , . . я).

Для удовлетворения начальных условий (11-13) со­ ставим матричное уравнение для (11-13) на основании (П2-10):

[Л. 4] определитель неразрывной матрицы порядка (я—1) будет:

с » - ,( е ) = |к « - ,+ « • .- , 1 = ^ 4 -

По структуре неразрывной матрицы на основании теоремы разложения Лапласа (см. (П1-11)] можно опре­ делить, что для соответствующее алгебраическое дополнение будет равно:

Поэтому элемент, стоящий в /-й строке и /-м столбце присоединенной матрицы Н, будет:

если i < j,

248

Аналогично

Это хорошо согласуется с известным из литературы

[Л. 7, 89] выражением (если принять приближенно ch®=

В дальнейшем, однако, при решении матрич­

ного дифференциального уравнения будем исходить из проекционной матрицы, образованной из собственных значений и собственных векторов.

Матричные дифференциальные уравнения, получен­ ные на основании (11-12), имеют вид:

в приложении ((П2-10) и (П2-23)]. Если опустить индек­ сы, указывающие число строк и столбцов матрицы, обо­ значив Dn_i;„= Di, перенести в левую часть системы дифференциальных уравнений (11-16) производные, для упрощения опуская индексы, обозначающие порядки векторов (u„_i — и, in= i, Kn-i = K, I„_i = I), то, применяя обозначения U(t) = 0 и

249

Матрицу Q -1 можно выразить через D*iDj согласно выражениям (П2-13) и (П2-24). В соответствии с этим получим матрицу порядка (п—1):

DlQ - ' l \ = T L - s[qK> + ( l - q y K +

+ (<7-<72)(ee* + ff*)],

где

250