книги / Современные методы анализа электрических систем

в) по полученным значениям АР& и AQk решением уравнений (6-52) (с учетом только диагональных эле­ ментов квадратных матричных блоков) определяются векторы поправок к напряжениям AUaft и

для (&+1)-й итерации.

В начале расчета напряжения узловых точек (ввиду отсутствия других данных) принимаются равными на­

В этом варианте для узлов источников заданы величи­ ны активной мощности и напряжения. Запишем вектор, образованный из скалярных квадратов напряжений:

можно определить в первом приближении следующим образом:

Ш

На k-и итерации решения этого варианта задачи не­

2) 'по выражениям (6-53) и (6-61) определяются откл нения активных мощностей и квадратов напряжений от за­

данных значений—ДРЛи АI U|2; 1 h

3) по полученным значениям APft и Д11) |2 решением

уравнений (6-63) (с учетом только диагональных эле­ ментов квадратных матричных блоков) определяются векторы поправок к напряжениям — AUafe и AU^;

4) подстановкой AUaft и AU&fc в уравнения (6-58) определяются скорректированные векторы напряжений Uafe+i и Ubft+ь которые являются исходными данными для (&+1)-й итерации.

Реактивные мощности можно определить по выра­ жениям (6-54).

Согласно варианту В задания исходных данных ве­ личина напряжения задается только для источников: для нагрузок задается реактивная мощность. Поэтому в уравнениях для расчета поправок целесообразно вы­ делить источники и нагрузки. Такая система уравнений, полученная на основе (6-52) и (6-63), имеет вид (для упрощения записи в матричных блоках индекс k опу­ щен) :

132

Напряжение записывается в виде

Ui = \ U i \ e \

Формулы (6-54) в тригонометрической форме записи будут иметь вид:

6-5,ж. Вариант А задания исходных данных при за­ писи комплексных чисел в тригонометрической форме. Диагональные элементы градиентов мощностей по ве-л личине и фазовым углам напряжений определяются вы­ ражениями:

x | t/j |cos (8/ — 8j — Yfj).

Ввиду того, что в рабочих режимах фазовые углы напряжений существенно не отличаются друг от друга (при соответствующем запасе устойчивости системы), влияние слагаемых (6-67), пропорциональных косину-

134

сам фазовых углов, более значительно, чем слагаемых, пропорциональных синусам этих узлов. Вследствие это­ го активная мощность в большей степени зависит от фазового угла напряжения, а реактивная мощность—от величины напряжения. С учетом сказанного можно за­ писать следующее матричное уравнение, в котором бло­ ки матриц диагональны:

|u |* + iH u u + * |u k

Последовательность расчета итерационным методом аналогична изложенной в § 6-5,г.

6-5,з. Вариант В задания исходных данных при запи­ си комплексных чисел в тригонометрической форме.

Согласно условию величины напряжений источников постоянны, |и |ь = пост. В этом случае при разделении узловых точек на источники и нагрузки уравнения для расчета отклонений мощностей можно записать в сле­ дующем виде:

В матрице приведенной системы уравнений (ввиду того, что A |t7|g=0) будет девять блоков, из которых четырьмя можно пренебречь (в результате упомянутых

упрощений).

Если недиагональными элементами блоков не прене­ брегать, то необходимо дополнительно учесть следую­

135

щие производные:

•Щ = - Y i i \Ui\ |U i I cos (bi bj Y<i);

Пусть матрица К состоит из элементов, определен­ ных с помощью зависимостей (6-67) и (6-70). Тогда по­ лучим следующую систему матричных уравнений:

При варианте А задания исходных данных на k-\\ итерации необходимо обратить матрицу К:

При варианте В задания исходных данных векторы AQg и Д |и в| остаются в левой части системы, и образу­ ется гибридная матрица (см. § 5-2,а)

где согласно условию Ai|U|gft= 0 .

6-5,и. Градиентный метод [Л. 12]. Этот метод приме­ няется в задачах нелинейного программирования для определения экстремальных значений функции не­ скольких переменных. Градиентный метод можно при-

136

менять и для решения системы уравнений, определяя минимальное значение функции q*q (образованной из

уровня функции двух переменных — Х\ и

Направление градиента в каждой точке (k) перпен­ дикулярно к поверхности уровня, проходящей через эту точку:

j'grad* W ^ ^

Для минимизации W целесообразно следовать1 по на­ правлению этого градиента в сторону убывающих зна­ чений W до тех пор, пока прямая, соответствующая вы­ бранному направлению, не коснется другой поверхности уровня. Определив таким же образом направление сле­

1 То есть изменять значения элементов вектора р. (Прим, ред.)

137

т. е.

Разлагая q в ряд Тейлора, получим после линеаризации

q = q , + ( s; d 4 ) ( р - р Л

Ясно, что (см. § 13-3,а):

г( г г

Подставив это выражение в предшествующее уравнение, получим:

q = q » - 2 i( S 'ad’ ^ ( ^ d* q ) ^ .

Отсюда условию q* = О соответствует:

6-6. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Задача расчета потоков мощности, как уже говори­ лось, близка к линейной, поэтому здесь можно приме­ нять приближенные методы, разработанные для реше­ ния систем линейных уравнений. Такими методами являются.’

а) блочно-итерационный метод (метод Якоби);

Формулировка задачи: дана система линейных урав­ нений:

Сх=Ь,

где | С| =^=0, вектор b задан, вектор х подлежит опреде­ лению.

138

матрица, элементы которой, лежащие на и выше глав­ ной диагонали, равны нулю (т ц = 0, i ^ j ) ; N — нижняя треугольная матрица, элементы которой, лежащие на и ниже главной диагонали, равны нулю (nt] = 0, i ^ j ) .

Эта система будет близка к линейной, если матрицы М и N, и вектор 6 в малой степени зависят от х.

6-6,а. Метод Якоби. Матрицы М и N переносятся в правую часть уравнения, в результате чего получает­ ся следующая итерационная зависимость:

Согласно уравнению (6-30), связывающему напря­ жения и мощности узлов сети,

YcU = -(d ia g U )-1Sc.

Умножив слева приведенное выше уравнение на D-1 и преобразовав результат в соответствии с (6-73), получим следующую итерационную зависимость:

Ufc+, = — (В“1Yc — I)и* — ЕГ‘ (diagU^'S*. (6-74)

В этой зависимости диагональные элементы матри­ цы (D-1YC—I) равны нулю, а недиагональные элементы равны Yij/Yii, элементы диагональной матрицы D-1 равны 1/Yu. Следовательно, /-й элемент вектора напря­ жений на k-м шаге расчета определяется соотношением

(6‘75)

Для оценки сходимости итерации зависимость (6-73) можно записать в виде

Разница между результатом k-к итерации и точным решением Хоо определяется выражением

где Хо — нулевое приближение.

139