книги / Современные методы анализа электрических систем

стачных графов. Число диагональных блоков равно чис­ лу несвязных частичных графов р, следовательно,

~ А, 0 ... О

ОА2 ... О

О0 . . Ар

2-2,а. Теорема. Ранг матрицы соединений связного графа Аа равен п—1, где п — число узловых точек.

Доказательство Кирхгофа в матричном изложении: пусть строчные матрицы а*ь ..., а*п есть строки матри­ цы Аа. Уравнение

п

Я- г — О

имеет только одно линейно независимое решение, не равное нулю, а именно:

С1 —с%— ... —сп

Предположим противное. Пусть отдельные С\ могут

в первой группе г строк (г<п). Уравнение можно удов­ летворить только так, чтобы в отдельных столбцах до строки г включительно находилось либо по одному эле­ менту + 1 и —1, либо только элементы, равные нулю. Упорядочим столбцы матриц так, чтобы последними были такие, которые содержат до строки г только нули*. Понятно, что в столбцах первой группы элементы ниже строки г должны равняться нулю**. В этом случае, однако, матрицу можно записать так:

т. е. исходный граф распадается на две несвязные ком­ поненты, что противоречит условию теоремы.

*Это можно сделать, так как в противном случае удовлетво­ рить уравнение с нулевыми сг невозможно. (Прим, ред.)

**Иначе удовлетворить уравнение с нулевыми сх невозможно.

(Прим, ред.)

31

выбора формы дерева можно ис­ пользовать матрицу соединений Аа. Совмещение двух узловых точек графа отвечает сложению двух со­ ответствующих строк 'матрицы со­ единений. Если, например, совме­ стить узлы 1 и 2 графа, приведен­ ного на рис. 2-17, то получится

граф, показанный на рис. 2-18. Соответствующая полу­ ченному графу матрица соединений:

Совмещение узлов У и 2, как видно из матрицы соеди­ нений А12а, исключает ветвь L Из этого следует, что из узла 1, как из базисного, через ветвь 1 можно попасть в узел 2. Пусть следующей узловой точкой будет узел 3; при совмещении его с узлом 2 одно­

8 и 9у из которых выберем ветвь 6. Таким образом, вет­ вями дерева будут ветви /, 2, 4, 5, 3, а контурными — ветви 3, 7, 8, 9. На рис. 2-19 дерево обозначено сплош­ ной линией, а контурные ветви — пунктиром.

32

Преобразуем матрицу Аа так, чтобы первыми стояли столбцы, относящиеся к ветвям дерева, а остальные — к контурным ветвям.

После такой перестановки матрица соединений для рассмотренного примера

числе узловых точек п матрица связного графа Аа будет иметь ранг п—1. Исходя из выбранной точки, как из ба­ зисной, можно осуществить совмещение со всеми точка­ ми заданного связного графа. Если строку, соответст­ вующую этой исходной базисной точке, исключить из матрицы, то получим основную матрицу А ранга п—1. В предыдущем примере базисная точка имеет номер 1, поэтому

А /

Основная матрица соединений связного графа А может быть разложена на два блока: на неособенную квадрат­ ную матрицу, соответствующую ветвям дерева А/, и на матрицу Ah, соответствующую ветвям дополнения (кон­ турным ветвям).

2-2,6. Теорема. Определитель матрицы соединений дерева А/ равен ±1.

Доказательство. В каждом столбце матрицы А/ имеется лишь один элемент +1 и один —1, остальные равны нулю. Поэтому, исходя из матриц второго поряд­ ка, применяя теорему разложения, получаем, что опре­

33

следующим образом. На основании сказанного элементы

матрицы А~':+1, —1, 0. Элементы матрицы А~' явля­

ются алгебраическими дополнениями соответствующих элементов матрицы А/, деленными на |А/|. При этом для определения алгебраического дополнения к элементу матрицы Af соответствующие строку и столбец опреде­ лителя | А/1 необходимо зачеркнуть. Если после этого все элементы одной из оставшихся строк или столбцов

равны нулю, то соответствующий элемент матрицы А/

также будет равен нулю. Так, в предыдущем примере после зачеркивания шестой строки и пятого столбца все элементы оставшейся 5-й строки равны нулю. Таким образом, минор, а следовательно, и элемент 6-й строки и 5-го столбца обратной матрицы равен нулю. Это можно проследить на рис. 2-20, для которого зачеркивание 6-й строки означает соединение базисной узло­ вой точки 1 (соответствующая этой

34

В рассматриваемом дереве графа между соответст­ вующей строке узловой точкой и базисной точкой воз­ можен единственный путь. Если в этом пути участвует указанная ветвь дерева, то соответствующий элемент матрицы будет +1 или —1 в соответствии с выбранным положительным направлением (+ 1 будет, если путь ве­ дет в сторону базисной точки); если ветвь дерева не уча­ ствует в пути, то элемент будет равен нулю. На этом основании для рассматриваемого примера

в порядке следования друг за другом. Так, в графе, при­ веденном на рис. 2-17, порядок следования ветвей одно­ го из контуров следующий: 1, 3, 2. Принадлежность ветвей к отдельным контурам можно выразить матрицей контуров Ва. Матрица контуров В0 содержит все конту­ ры. Строкам матрицы соответствуют контуры, столб­

Отдельные контуры графа, приведенного на рис. 2-17, определяем следующим образом. Базисные контуры, со­ ответствующие дереву, указанному на рис. 2-19, следую­

Направления этих контуров определяются направления­ ми относящихся к ним контурных ветвей. Из перечи­ сленных базисных контуров можно образовать осталь­

35

36

2-3,а. Теорема. Произведение матрицы соединений на транспонированную матрицу контуров равно нулевой матрице:

АаВ*а=0. (2-5) Транспонировав это равенство, получим:

В«А*„=0.

Доказательство основано на свойствах графа. Каж­ дый элемент произведения матриц есть сумма произве­

а направление контура — пунктирной стрелкой. Во всех четырех случаях произведение соответствующей строки матрицы соединений и соответствующего столбца транс­ понированной матрицы контуров равно нулю:

порядка п—р. Матрицу В*а преобразуем согласно бло­ кам матрицы Аа и разложим таким образом, чтобы осу-

37

ществилась совмещаемость *. Согласно теореме 2-3,а,

откуда первая строка произведения АцВ*, -f- AISB*a = 0

или

в * , + а- ; а 12в*2= о.

Если матрицу В*„ справа умножить на матрицу | I А,, А,а |

Число строк матрицы В*2 равно т—/г+ /? = р,, поэтому

ставленная из контурных ветвей, образует базис матри­ цы контуров В0.

Согласно взятому примеру

Матрицу базисных контуров можно образовать из матрицы соединений. Разложим матрицу базисных кон-

* То есть число столбцов матриц Ап, Ал равно числу строк матрицы В*ь число столбцов матриц AJ2, А22 равно числу строк В*2.

(Прим, ред.)

38

туров на два блока в соответствии с ветвями дерева И контурными ветвями:

В=[ВУ, I].

На основании уравнения (2-5) теоремы 2-3,а

А/В*/+ Ад=0.

Матрица А/ в силу теоремы 2-2,6 неособенная. Вы­ ражая из последнего равенства В*/, получаем:

(М )

Эту зависимость можно проверить также и на пре­ дыдущем примере:

контуры

2-4. МАТРИЦА СЕЧЕНИИ

В направленном графе сечение направлено из одно­ го разделенного им частичного графа в сторону дру­ гого. Ветви, относящиеся к отдельным сечениям, могут быть выражены матрицей сечений Qa. Элемент этой ма­ трицы qij= + 1, если i-e сечение содержит /-ю ветвь и направления сечения и ветви совпадают, а если противо­ положны, то qij= —1; qij=0, если i-e сечение не содер­ жит /-й ветви.

Базисные сечения определяются ветвями дерева гра­ фа. К одной ветви дерева можно отнести одно базисное сечение. Остальные сечения можно определить путем об­

39

разования суммы множеств (кольцевой суммы) ветвей базисных сечений. Согласно примеру (граф рис. 2-17, дерево рис. 2-19) к ветвям деревьев 1, 2, 4, 5, 6 отно­ сятся базисные сечения 1, 2, 3, 4, 5. Образование различ­ ных сечений из базисных осуществляется аналогично об­ разованию контуров. При этом можно использовать только ту комбинационную сумму, которая разлагает на две части первоначально связанный граф. Все строки Qa можно образовать соответствующим сложением строк

вматрице базисных сечений Q.

Впримере матрица базисных сечений равна:

Разделяя матрицу базисных сечений на два блока, состоящих из ветвей дерева и контурных ветвей, имеем:

Первые пять строк матрицы Qa согласно примеру соответствуют строкам матрицы Q; шестая строка со­ гласно сказанному выше получается сложением строк 1 и 2. Таким образом,

qo6=[l, 1, 0, 0, 0 | 0, 0, 1, 0].

В этом случае сечение содержит ветви 1, 2 и 8 (рис. 2-17).

2-4,а. Теорема. Матрица Q базисных сечений, обра­ зованных из ветвей дерева в графе, образует базис мат­ рицы Qo, содержащей все сечения.

2-4,6. Теорема. Основная матрица соединений А по­ рядка п—1 также образует базис матрицы сечений Qa.

2-4,в. Теорема. Произведение матрицы сечений на

транспонированную матрицу контуров равно нулевой ма­ трице:

40