книги / Современные методы анализа электрических систем

1-3. ВЗАИМОИНДУКЦИЯ

Взаимная индукция возникает в результате взаимо­ действия связанных потоков двух обмоток. Общий по­

случаев обозначено .положительное направление. Зави­ симости между напряжениями и токами элементов двух цепей можно записать в виде

* ,= * А + £ .т Н - л* .. 4 -

dij dt

Следовательно, связь взаимоиндукции необходимо выражать с помощью зависимости между напряжениями и токами элементов цепей; только после этого можно учесть условия соединения. Согласно рис. 1-4

i= h = k\

V = U{ + 11%.

Следовательно,

» = ( * .+ я.) / + (I., + 2М„ + L2)

Если среди элементов цепей 1 и 2 имеются две об­ мотки, связанные потоки которых наводят напряжения противоположных направлений, то они обозначаются

11

так, как это показано на рис. 1-5. Согласно обозначению одна из точек поставлена в конце индуктивности Li, другая же в начале индуктивности L% В этом случае

зависимости между напряжениями и токами элементов цепей будут иметь вид:

1-4. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Определим установившийся ток для источника по­ стоянного напряжения (рис. 1-3). Элементы цепи содер­ жат сопротивления, индуктивности и емкости. Через ем­ кость постоянный ток не протекает. Ввиду того что в цепи 2 падение напряжения на индуктивности равно нулю, постоянный ток можно вьиразить следующим об­ разом:

В последующем источник напряжения характеризует­ ся синусоидальным переменным напряжением. В этом случае установившийся режим можно определить мето-

12

дом комплексного представления. Изменения тока и на­ пряжения в этом случае отражаются с помощью векто­ ров, вращающихся с постоянной круговой частотой. По­ ложение вектора в каждый момент времени определяет комплексное число (рис. 1-6). Мгновенное значение пе­ ременной соответствует проекции вращающегося векто­ ра на действительную ось. Ввиду того, что синусоидаль­

ментов электрической цепи в виде отдельных сопротив­ ления, индуктивности и емкости. Так, например, в це­

где со — круговая частота (для частоты /:со = 2я/). Изображение полного сопротивления в комплексном

представлении приведено на рис. 1-7.

Активную проводимость G и емкость С можно пред­ ставить в виде полной проводимости (рис. 1-8):

Зависимость между полной проводимостью Y и пол­ ным сопротивлением Z имеет вид:

13

Эта зависимость графически показана на рис. 1-9. 1-4,а. Пример. В установившемся режиме сети, при­ веденной на рис. 1-3, при источнике напряжения пере-

менного тока с частотой 50 гц имеют место следующие соотношения для цепей 1-3 и 2-3:

- v , + R , i , + (tf,+ 7 c t> '1=0;

— vt + RJ3 + (Rt + M i2= 0.

Рис. 1-9. Связь между полным со­ противлением и полной проводи­ мостью.

14

Следовательно,

1-5. РАССМОТРЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

СПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Вобщем случае для исследования переходного про­ цесса необходимо решить систему интегро-дифференци- альных уравнений. В этом случае, применив преобразо­ вание Лапласа, можно пользоваться операторным мето­ дом расчета.

Если через i=f(t) обозначить исходную функцию во

Преобразование Лапласа функции единичного скач­ ка равно 1 Is. Далее

2 И = - й

% [ее< ]= _ !_ .

При этом особое значение приобретает разложение на элементарные дроби в случае дробных выражений, со­ держащих полиномы. Характерными являются полюсы (где функция бесконечно большая) и нулевые значения F(s). Подробности можно найти в специальной литера­ туре по данному вопросу [Л. 34].

Преобразование Лапласа производной df/dt равно:

15

Преобразование Лапласа интеграла ^ f (t) dt:

% [ j f (t) Л ] = 4 " [J f (0 л ] 4_ . + - г f <s)- (M °)

Преобразованную функцию / в дальнейшем не будем обозначать особо, а в зависимости от контекста будем понимать ее либо как функцию времени, либо как пре­ образованную по Лапласу. Достоинство преобразования Лапласа проявляется в том, что с его помощью линей­ ное дифференциальное уравнение преобразовывается в алгебраическое уравнение. Выражение для обратного преобразования можно найти в специальной литературе [Л. 34].

Впрочем, формулу обратного преобразования дает инверсный интеграл Римана—Меллина, согласно кото­ рому

C + JOO

Я ~ Ч р № = 1 к J р ^s) eu ds = f (t).

С — /00

Если в преобразованном выражении F(s) на правой по­ луплоскости 5 (содержащей положительные действи­ тельные значения) имеется полюс, то имеет место неза­ тухающий процесс, который экспоненциально возрастает во времени.

Значение полного сопротивления, содержащего актив­ ное сопротивление и индуктивность, в результате преоб­ разования Лапласа будет:

Значение полной проводимости, содержащей актив­ ную проводимость и емкость, в результате преобразова­ ния Лапласа будет:

или в форме полного сопротивления

1

G + Cs

Для иследования переходных процессов можно приме­ нить матричное исчисление без преобразования Лапла­ са, как это будет видно из дальнейшего (гл. 12).

16

где 1/3(5), h ( s ), /2(5), I3(s) — соответствующие преобра­ зования Лапласа (в дальнейшем обозначение с по­ мощью прописной буквы не используется) v& iu fe, h\ напряжение на зажимах конденсатора Ci в момент ^ = 0

i2(0) — ток в цепи 2 в момент t = 0.

1-6. ПРЕИМУЩЕСТВА ПРИМЕНЕНИЯ МАТРИЧНЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА И ТЕОРИИ ГРАФОВ

числа уравнений, отображающих процессы, которые про­ исходят в сети, ухудшается наглядность; это приводит к увеличению времени, которое необходимо для решения задачи. Наглядность значительно улучшается, если за­ висимости между электрическими параметрами сети вы­ ражать с помощью матриц. Применение матричного ис­ числения в свою очередь в значительной мере содейст­ вует возможности использования ЭЦВМ и введению соответствующих алгоритмов. Поэтому введем векторыстолбцы напряжений и токов, матрицы сопротивлений и проводимостей. Таким образом представится возмож­ ность одним матричным уравнением записать закон Ома для сложной электрической сети.

Схема соединений элементов сети выражается спе­ циальной прямоугольной матрицей, к строкам которой относятся элементы одного из понятий сети (узел, кон­ тур или множество сечений), а столбцам соответствуют элементы отдельных цепей (сопротивление, индуктив­

17

ность, емкость). Если положительное направление одно­ го из понятий сети совпадает (или противоположно) с положительным направлением, выбранным для эле­ мента цепи, то соответствующий элемент матрицы будет + 1 (или —1); если элемент цепи не содержится в дан­ ном контуре, то соответствующий элемент матрицы бу­ дет равен нулю. Таким же образом определяются знаки элементов матриц для других понятий сети. Топологи­ ческими зависимостями сети занимается теория графов. Поэтому вначале будут изложены основные положения теории графов, использование которых дает возмож­ ность проводить общее исследование сети.

Матрицы не только более наглядно отражают зави­ симости между переменными сети, но и упрощают ре­ шение задачи. При матричном исчислении может быть уменьшено число операций, необходимых для решения линейных уравнений. Это упрощение делается возмож­ ным потому, что лишь малое число узлов сети соединено между собой. Решение х= А -‘Ь матричного уравнения Ах=Ь можно связать с определением матрицы, обрат­ ной А, т. е. матрицы А-1. Обращение матриц подробно рассматривается в гл. 5.

Собственные значения и собственные векторы матри­ цы в определенных случаях можно легко определить. Это значительно упрощает расчет и может быть исполь­ зовано для исследования переходных процессов. Элемен­ ты трехфазной системы могут быть (с некоторым упро­ щением) представлены цикличными матрицами. Ввиду того, что для цикличных матриц собственные векторы одинакового порядкового номера одинаковы, режимы трехфазной системы удобно рассматривать с помощью

является система симметричных составляющих. Здесь целесообразно применить гиперматрицы и установлен­ ное для них определение прямого произведения.

Автор полагает, что математические основы матрич­ ного исчисления, отдельные теоремы и их выводы чита­ телю известны [Л. 1—5]. В приложении приведены лишь наиболее известные соотношения, которые могут быть использованы при расчетах сетей. Сети (и отдельные их элементы), которые могут быть представлены с по­ мощью известных матриц (например, цикличной матри­ цей, равномерной неразрывной матрицей и ее различ-

18

йЫми формами), легче исследовать, так как собствен­ ные значения и собственные векторы этих матриц можно определить с помощью выражений, приведенных в приложении.

Решения дифференциальных уравнений, описываю­ щих переходные процессы, в случае известных собствен­ ных значений и собственных векторов могут быть полу­ чены на основе простого алгоритма. Переходные процес­ сы в электрических сетях, трансформаторах, генераторах можно, таким образом, проанализировать с помощью расчетных методов определения волн перенапряжений, которые возникают в результате коммутаций или атмо­ сферных явлений. Эти расчеты хорошо программируются для ЭЦВМ.

Уравнения электрических сетей могут рассматри­ ваться с помощью теории графов. Понятия теории гра­ фов можно удобно использовать в современных методах расчетов сетей.

Выбор деревьев графа сети легко осуществляется на основе топологических зависимостей. Из матрицы соеди­ нений, определяющей связи между узлами и ветвями сети, можно на основании положений гл. 2 определить формы деревьев.

Из матрицы соединений можно получить также и ма­ трицы контуров и сечений.

Находящиеся в электрической системе линии, транс­ форматоры и машины могут быть представлены схема­ ми, состоящими из соответствующим образом соединен­ ных элементов: сопротивлений, индуктивностей и емко­ стей. 'В соответствующие точки этих схем необходимо подключить источники тока или напряжения. В гл. 3 приведены некоторые возможные решения, полученные на основе теории графов.

В гл. 4 приводится также новый метод анализа элек­ трических сетей с помощью теории графов. Этот метод находится в настоящее время еще в стадии развития, однако для полноты изложения автор счел необходимым включить его в данную книгу. В этом случае решение уравнений сети определяется параметрами деревьев гра­ фа сети и их дополнениями, и отпадает необходимость в обращении матрицы узловых проводимостей или кон­ турных сопротивлений; взамен этого надо составить сумму произведений проводимостей ветвей деревьев или сопротивлений ветвей дополнений.

19

Г Л А В А В Т О Р А Я

ТОПОЛОГИЯ СЕТИ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Для общего исследования схем соединений сети при­ меняются топологические методы. Топология сети — это геометрия сети без рассмотрения ее физического харак­ тера (сопротивлений, индуктивностей, емкостей). Поэто­ му целесообразно изучить те разделы теории графов, ко­ торые важны с точки зрения расчета сети [Л. 13, 14, 29]

2-1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Г р а ф (система линий) является таким комплексом множеств вершин (узлов) и ребер (ветвей), в котором к каждому отдельному окончанию ребра относится одна точка. Соединение ребер и вершин между собой образу­ ет граф.

Р е б р о (контур, отрезок линии) является линией (имеющей две конечные точки), которая может быть на­ правленной, т. е. указывающей из одной конечной точки в другую. Ребро не обязательно должно быть прямой, однако оно не пересекает само себя, т. е. не имеет об­ щих точек. В электротехническом отношении ребро мо­ жет означать сопротивление, индуктивность, емкость, выпрямитель, выключатель. В общем случае ребру мо­ гут приписываться и другие значения, например, ребро может означать процесс между двумя состояниями.

К р а т н о е р е б р о (параллельный контур) является совокупностью всех ребер, соединяющих две одинако­ вые точки.

может быть узловой точкой сети (например, подстанция,

в' сборные шины электростанции) или транспортным узлом. Ребра (линии)— эю соединения узлов, которые могут представлять собой действительные физические связи, например провода между коммутационными устройства­ ми, транспортные путевые линии, связи

в общем понимании, например в спорте Рис 2-1 Граф (состязание). На рис. 2-1 точки А , В,

20