книги / Современные методы анализа электрических систем
..pdfСоотношение, подобное (5-27), можно также полу чить последовательным умножением матрицы (5-23) справа на такие нижние треугольные матрицы, чтобы элементы соответствующих строк вне главной диаго нали были равны нулю. В результате получим диаго нальную матрицу:
LCM = N.
5-7,в. Обращение треугольной матрицы. Легко дока зать, что
'м„ |
0 |
-1 |
мп1 |
0 |
.м„ |
М22 |
|
.- М ^ ’Мг.Мй1 |
(5-29) |
|
|
На основе этого соотношения можно построить алгоритм обращения треугольной матрицы. Действительно, если для
треугольной матрицы Ми порядка k известно М^1, а М22 —
скаляр, то с помощью (5-29) можно рассчитать обрат ную треугольную матрицу порядка k + l. Последователь но выполняя подобные операции, можно обратить тре угольную матрицу любого порядка.
5-7,г. Факторизация блочной матрицы. Блочную мат рицу можно разложить в произведение двух треуголь ных блочных матриц:
с„ |
С12-| |
гм„ |
О |
1 TNn 'N121 |
|
(5-30) |
||
Q |
i |
C 2 |
2 |
J 1L о |
L |
M 2 1N 2 |
||
2 J М |
||||||||
где Мц и М22 — треугольные |
матрицы, |
у |
которых |
эле |
||||
менты, расположенные на главной диагонали, равны
единице. |
М |
можно определить |
незави |
|
Матрицы Nn, N I2 |
и Тог] |
|||
симо от матриц С22, М22 и N22, задав произвольно не |
||||
особенную матрицу Мц. Легко доказать, что |
|
|||
Nn = M - , C11; |
Nlt = |
—1 |
|
|
M -‘ С12; |
|
|||
M2I = |
C21C -, Mu = |
C2lN -1. |
(5-31) |
|
Матрицы Ма2 и N22 должны удовлетворять следующему соотношению:
= С2а С21Сц С,2 = С,2 M21N12. |
(5-32) |
91
Соотношения (5-31) и (5-32) можно на основе ме тода полной индукции применить для разложения матри цы на произведение двух треугольных. Действительно, пусть в виде такого произведения задана матрица по рядка k для сети, содержащей к независимых узлов. За пишем уравнение (5-30) для этой сети при подсоедине
нии к ней узла k + \. |
Для этого в (5-30) вместо Сц |
|||||
запишем квадратную |
матрицу |
Ck порядка к, |
вместо |
|||
C12 — столбцовую |
матрицу cfe+] |
(вектор-столбец) |
с к |
|||
элементами, вместо C2i — строчную матрицу с*ь+1, |
вме |
|||||
сто С22 — скаляр |
Ch+i |
и аналогично |
обозначим |
блоки |
||
треугольных матриц. Таким образом, |
(5-30) будет иметь |
|||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
■>h+ t ■ Г С* |
ch +l |
М* |
:j[ |
|
<из> |
|
U v i |
Ch+i |
Ш % + 1 |
|
|||
Поскольку Mfe и Nft заданы, то на основании выра жения (5-31) определим:
п * +1 — |
Сй+1; |
I |
m*k+1= |
c \ +tN - \ |
(5-34) |
J |
||
Ввиду того, что коэффициент, соответствующий М22 |
||
в (5-30), в данном случае равен единице, на основании (5-32) получим:
|
|
|
m л+1П^ц,|. |
(5-35) |
|
Обратные матрицы для |
М^+1 |
и N^+i |
на основании |
||
(5-29) можно определить следующим образом: |
|||||
|
|
мг' |
о 1 |
(5-36) |
|
|
|
— n |
t^ + |
iM1r 'J |
|
|
|
|
|||
|
N*' |
|
пк+1 N* nh+1 |
|
|
N-1 |
= |
|
|
|
|
Ь + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
«М-1 |
|
|
Тогда можно рассчитать: |
|
|
|
|
|
|
Л+1 |
=N~* М“ ' . |
(5-37) |
||
|
|
м- 1 |
li+l |
треугольных |
|
Далее рассчитываются |
коэффициенты |
||||
матриц порядка |
А+2 и т. |
д, |
|
|
|
92
5-7,д. Пример. Рассмотрим метод факторизации матрицы на примере матрицы узловых проводимостей сети, приведенной на рис. 5-3:
' 1,45 —0,25 —0,2
—0,25 0,58 —0,33
—0,2 —0,33 0,53
Определим нижнюю (М3) и верхнюю (N,) треугольные матрицы, произведение которых равно Y3, а также матрицу
узловых сопротивлений Z3 = Y ~'.
1-й шаг. Учет только узла 1 приводит к скалярной величине Yb для которой можно непосредственно вы числить:
Y, = 1,45, M, = l, N, = 1,45,
М7 1 = 1 , N7' = 0,69.
2-й шаг. Дополнив сеть узлом 2, получим:
1,45 —0,251
—0,25 0,58 ’
На основании (5-34) и (5-35):
п2= 1 - ( — 0,25) = — 0,25, m*2 =s — 0,25 • 0,69 = — 0,172,
я, = 0,58 — ( - 0,172) ( - 0,25) = 0,537.
Отсюда
|
|
|
Y _ [ 1 |
0 | Г 1 .4 5 — 0 ,2 5 1 |
|
||||||
|
|
|
2 |
1— 0 ,1 7 2 1 J [о |
|
0,5 3 7 J ’ |
|
||||
2 |
_ |
у - 1 |
_ |
ГО,69 |
0 ,3 2 -1 11 |
0 Л _ |
Г0 ,7 4 5 |
0 ,3 2 - | |
|||
2 |
_ |
2 |
~ ~ |
[О |
1 ,87J |
[ 0 ,1 7 2 |
1 |
J |
|
L 0 .3 2 |
1 ,8 7 .]' |
3-й |
шаг. Дополнив сеть узлом 3, |
получим: |
|
||||||||
|
|
|
|
' |
1,45 |
—0,25 |
—0,2 |
' |
|
||
|
|
|
|
|
—0,25 |
0,58 |
—0,33 |
, |
|
||
откуда |
|
|
|
|
—0,2 |
—0,33 |
|
0 ,5 3 . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ » : » ] • !,* = |
о |
'6 3 ’ |
|
|||
93
На основании выражений (5-34) и (5-35)
т * , = |
- [0 ,2 |
0,33] [o’69 i ^ J |
^ |
- [0.14 0,68]; |
||||||
д3 = |
0,53 — [0,14 |
0,68] |
|
=0,255. |
|
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
1 |
0 |
|
0 |
~ |
"1,45 |
—0,25 |
- 0 , 2 • |
||
* . = |
—0,172 |
1 |
|
0 |
|
0 |
0,537 |
—0,364 |
||
|
0,14 |
—0,68 |
1 |
_ |
О |
0 |
|
0,255_ |
||
Согласно выражениям (5-36) и (5-37) |
|
|
|
|
||||||
.т *3М 7'=[0,14 |
|
|
|
1 |
0 |
|
[0,258 |
0,68]; |
||
0,68] [ * т |
° ] = |
|||||||||
|
|
3 |
го.еа |
о'.32| r°.2 |
i |
М |
1 |
|||
п»
откуда
|
LO |
1.87J |
L0.364J |
[ 2 |
, 6 5 J |
|
0,69 |
0,32 |
1 |
1 |
О |
О |
|
О |
1,87 |
2,65 |
0,172 |
1 |
О |
|
О |
0 |
3 ,9 |
_ 0,255 |
0,68 |
1 |
|
Г 1 |
1 |
1 |
1 |
3,66 |
2,65 |
1 |
2,65 |
3 ,9 _ |
5-7,е. С помощью разложения по Чолевскому матри цу можно представить в виде произведения двух транс понированных друг другу треугольных матриц1. В этом случае
следовательно, |
N= M*, |
|
|
С= ММ*, |
(5-38) |
||
|
|||
где М — нижняя |
треугольная матрица. |
следующим |
|
Элементы т у |
матрицы М определяются |
||
образом: |
|
|
|
.при i< j |
тц= 0 |
(5-39а) |
|
|
|||
1 Иначе называется «методом квадратных корней». |
(Прим, ред.) |
||
94
(виду того, что JVI — нижняя треугольная матрица),
при i= j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ти = сц |
ft=i |
|
|
|
(5-396) |
||
при i > / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i- i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сц — S OT<fc |
|
|
|
|||
mi} = |
|
|
k-l_____ |
|
|
(5-39в) |
||
|
|
тц |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражения (5-396) и (5-39в) получены |
на |
основа |
||||||
нии следующих соотношений, |
вытекающих |
из |
(5-38): |
|||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
Ci$ === |
tUijiTtljjii |
|
|
|
|
|||
|
|
k=l |
|
|
|
|
|
|
где п — порядок матрицы |
С. |
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты матрицы М следует вычислять по |
||||||||
столбцам, начиная с |
первого |
|
(/=1, |
2, |
п). |
|
||
Так, для первого |
столбца |
|
(/=1) |
согласно |
(5-396) и |
|||
(5-39в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
w„ = |
/ c |
lt; |
|
|
|
(5-40) |
||
|
|
Cf1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Для второго столбца (j — 2) |
|
|
|
|
|
|
||
т, а— V^aa |
’211 |
|
|
|
||||
mi2 |
Ciz — |
|
|
|
|
|
||
т22 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Для третьего столбца |
(/ = |
3) |
|
|
|
|
|
|
тъг= |
j A 33 |
K i -f~ ^32)» |
|
|
|
|||
mis'_ |
— |
|
+ ^i2^32) |
|
|
|
||
|
|
|
mzz |
|
|
|
|
|
И T. Д.
Обратная матрица:
(5-41)
95
5-7,ж. Пример. Для ознакомления с разложением по Чолевскому рассмотрим матрицу узловых проводимо стей сети, показанную на рис. 5-3:
1,45 |
—0,25 |
—0,2 ■ |
-0,25 |
0,58 |
—0,33 |
-0 ,2 |
—0,33 |
0,53 |
Используем зависимости (5-40): |
|
|
|
/яп = |
/1,45 = |
1,2; |
|
тн = |
- ^ |
= |
-0,208; |
т 31 = |
— |
= |
— ° ,167; |
|
|
|
т 22 = |
/0,58 — 0,212=0,73; |
|||||
|
|
|
|
— 0,33 — 0,208-0,167 |
—0,496; |
||||
|
|
|
т ч — |
|
0,73 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
т„ = |
/0,53 - |
(0,167а - f 0.4962) = /0 ,2 5 = 0 ,5 0 . |
|||||||
В результате |
разложение |
в |
произведение |
треугольных |
|||||
матриц имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
1,45 —0,25 |
—0,2 |
|
|
|||
|
|
|
—0,25 |
0,58 |
—0,33 |
|
|
||
|
|
|
—0,2 |
—0,33 |
0,53 |
|
|
||
- |
1,2 |
|
0 |
о - |
"1,2 |
—0,208 |
—0,167" |
||
= |
—0,208 |
|
0,73 |
0 |
|
0 |
0,73 |
—0,496 |
|
. —0,167 |
—0,496 |
0,50_ |
|
0 |
0 |
0,50 _ |
|||
5-7,3. Другой |
метод |
разложения |
по |
Чолевскому. |
|||||
В этом случае необходимо обращение треугольной матрицы. Следует исходить из верхней треугольной матрицы Nft. Обозначим N~1= Qft (это также треугольная матрица). Аналогично (5-33) — (5-35)
с * |
cfc+I-| |
г л \ о |
1 ГNk |
nk+, 1 |
*-*ч+1 |
ci»+iJ |
Ln*fc+I /1ц-ц |
1I0 |
nh+, J |
96
где
n*+1 = |
Q*ftCfe+1; |
(5 4 2 ) |
||
^ft+1 :=r::: |
Ck+i |
n k +iflk+i’ |
||
|
||||
Верхнюютреугольную матрицу Q&+i=N~j г определяем на основании выражения (5-36):
Qfc+i = |
Яь+i 1 __[Nfc |
nh+l 1 |
|
Чк+Л L 0 |
Пь+ А |
||
|
где
1к+\ Qknh+u
(5-43)
Ць+1: "к+1
5-7,и. Пример. Рассмотренный выше метод разложения по Чолевскому поясним на следующем примере:
|
|
1,45 |
— 0 , 2 5 — 0 , 2 |
|
|
|
|
Y = — 0 , 2 5 |
0 , 5 8 — 0 , 3 3 . |
|
|||
|
|
— 0 , 2 |
— 0 , 3 3 |
0,53. |
|
|
1-й шаг: k — 0 |
|
|
|
|
||
пх= |
1,45; пХ‘ 1,2; ^ = |
^ |
= |
0,833. |
||
2-й шаг: k = |
1 |
|
|
|
|
|
П2= |
— [0,833] • 0,25 = |
— 0,208; |
||||
п\ = |
0,58 — 0,208* = 0,537; |
я2 = 0,73; |
||||
|
|
^2==0,73 = |
|
|
|
|
qs= |
— 1,37 • 0,833 • (— 0,208) = |
0,237. |
||||
97
S-й шаг:
n |
j 0,833 |
0 |
[ —0,2 |
l |
[0,16? J. |
|
* |
[0,237 |
1.37J [ —0 ,3 з ] |
[o,48 J |
|||
«з = 0,53 — [0,167 |
0,48] |
[°4g |
J= 0 > 25; |
|||
|
|
|
= 0,5; |
|
|
|
|
<7з = ^гАг="2; |
|
|
|||
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
2 |
[0,833 |
0,237 j Г —0,1661 |
[0,515 j |
||
|
[0 |
1,37 J |
[ —0,48 |
J |
,28Ll J ' |
|
Полученное разложение, несомненно, дает тот же ре зультат, что и в примере 5-7,д, однако в данном случае получена еще и обратная матрица Q, по которой можно определить матрицу Y-1:
|
Y-> = QQ*. |
(5-44) |
||
В данном примере |
|
|
|
|
|
'0,833 |
0,236 |
0,515 |
|
Q = |
0 |
1,37 |
1,28 . |
|
|
0 |
0 |
2 |
|
5-8. Матрицы |
коэффициентов узловых |
уравнений |
||
сети.
5-8,а. Определение узловых проводимостей и сопро тивлений. Для исследования режимов электрической сети необходимо в первую очередь определить величи ны, характеризующие узловые точки сети. Однако есте ственно, что режим характеризуется и нагрузками ли ний, связывающих узловые точки. В узловых уравнениях сети, записанных в матричной форме:
lc= ^cUci Чс—Zele,
фигурируют матрицы узловых проводимостей Yc и узло
вых сопротивлений Zc. |
равенством |
Элемент YCij матрицы Yc определяется |
|
—ki=YcijUCj, |
(5-45) |
98
соответствующим условию, что только в /-й узловой точке напряжение uCJ отлично от нуля, а в остальных узловых точках напряжение равно нулю; следовательно,
за исключением /-й, все узловые |
|
|
||||||
точки сети коротко замкнуты. Для |
|
|
||||||
определения |
проводимости |
Ycll |
|
|
||||
следует |
измерить |
ток |
в l-й узло |
|
|
|||
вой точке. Ввиду того, что на |
|
|
||||||
правление тока от узла согласно |
|
|
||||||
рис. |
5-8 |
положительно, |
проводи |
|
|
|||
мость согласно (5-45) будет от |
|
|
||||||
рицательна. |
Исключением |
явля |
Рис. 5-8. К определе |
|||||
ется ток |
/-й узловой точки, кото |
нию |
элементов мат |
|||||
рый |
в |
этом |
случае |
протекает |
рицы |
узловых прово |
||
в направлении к узлу и, следова |
|
димостей. |
||||||
тельно, |
имеет |
отрицательный |
|
|
||||
знак. Так, на |
основании выражения (5-45) собственная |
|||||||
проводимость |
имеет положительный |
знак (в случае ре |
||||||
активной проводимости, состоящей из сопротивления и емкости).
Для определения элемента Zcij матрицы Zc можно также использовать упомянутую систему матричных уравнений, откуда
(5-46)
при условии, что только /-я узловая точка питается то ком /7, а к остальным узловым точкам не подведено пи тание и не подключена нагрузка. Для определения со противления ZHj следует измерить напряжение в i-й узловой точке. Ввиду того, что согласно рис. 5-9 направ ление тока отрицательно, на основании зависимости (5-46) все Zcil положительны (в случае реактивного со противления, состоящего из сопротивления и индуктив ности).
На основании сказанного целесообразно ввести сле
дующие наименования |
и обозначения: |
|
|
|
||
|
Yса —собственная |
проводимость |
(узловая) |
корот |
||
|
кого замыкания; |
|
|
|
||
Z(r) = |
1/Yeti — собственное |
сопротивление |
(узловое) |
корот- |
||
cli |
кого замыкания; |
(узловая) короткого |
||||
|
Yci$ — взаимная |
проводимость |
||||
|
замыкания; |
|
|
|
|
|
Z(r) = |
1JYdj — взаимное сопротивление |
(узловое) короткого |
||||
Ci1 |
замыкания; |
|
|
|
|
|
99
Zcu — собственное |
сопротивление |
(узловое) |
холо |
||||
|
стого хода: |
|
|
|
|
|
|
= 1 / Zcii— собственная |
проводимость |
(узловая) |
холо |
||||
|
стого хода; |
|
(узловое) |
холостого |
|||
Zcij — взаимное сопротивление |
|||||||
|
хода; |
|
|
|
|
|
|
У?» = 1 /Z CJ-j — взаимная |
проводимость |
(узловая) |
холостого |
||||
|
хода . |
|
|
|
|
|
|
Значения |
и |
часто используют |
как |
при расче |
|||
тах потоков мощности, так и при исследовании динамиче ской устойчивости генераторов. Следует иметь в виду, что
г;?.ф г м я z « ^ d 0‘ Поэтому перед проведением ис-
следования необходимо определить, какое из сопротивлений выбрать: короткого замыкания или холостого хода. По
скольку, как правило, проводимости У(с°^ и У(^ |
в расчетах |
||||||||||
не |
используются, то |
под |
узловыми проводимостями |
||||||||
|
|
следует понимать узловые проводи |
|||||||||
|
|
мости |
короткого |
замыкания. Кроме |
|||||||
|
|
того, |
обычно не |
пользуются |
назва |
||||||
|
|
нием «узловые», поэтому это слово |
|||||||||
|
|
в |
определениях |
|
сопротивлений |
и |
|||||
|
|
-проводимостей взято в скобки. |
ма |
||||||||
|
|
|
5-8,6. Уменьшение порядка |
||||||||
|
|
трицы узловых сопротивлений. В тех |
|||||||||
Рис. 5-9. К определе |
случаях, когда |
в |
отдельных |
узло |
|||||||
нию |
элемента матри |
вых |
точках |
-сети |
отсутствуют |
или |
|||||
цы узловых сопротив |
очень |
|
малы |
нагрузка и |
генерация, |
||||||
|
лений. |
|
|||||||||
при расчете режимов можно исклю чить из рассмотрения соответствующие уравнения узло вых величин, записанных с помощью матрицы Z. Пусть в приведенной на рис. 5-10 простой сети в узло-вой точ ке 2 нет нагрузки и генерации. Из матричного уравнения
могут быть исключены элементы, относящиеся к узловой точке 2. Тогда измененное уравнение будет иметь вид:
«11 гг„ ^1.1 Г Ч 1
и ш J L %i\ Z tl J |_Ч J
100