книги / Современные методы анализа электрических систем

лить трехфазные узловые точки. В соответствии с П-об- разной схемой замещения линия может быть, таким об­

В этих зависимостях матрицы напряжений, токов, со­ противлений и проводимостей ветвей являются элемен­ тами гиперматриц

Если между отдельными блоками нет индуктивных связей, то матрицы Z и Y являются диагональными ги­

151

Предположим, что сеть симметричная, следователь­ но, блоки (элементы) гиперматрид Z и Y являются ци­ кличными матрицами [на основании зависимостей (7-2) и (7-3) и 7-1,6], т. е.

Z*'j = C(Z/j0, Ziji), Zijc);

y ij = C (Yija, Yijb, Уцc),

где C — цикличная матрица.

Характерным свойством цикличных матриц является то, что их произведение не изменяется при перестановке матриц сомножителей (коммутативность умножения).

Для того чтобы облегчить запись уравнений, целесо­ образно ввести обозначение прямого произведения, со­ гласно которому

я п В я 12 В . . . я 1 п В

_ Я щ В ^ п 2 В • • • аппВ

где

-я12 . . • «ш '

А= а21 я22 • . . аг„

«П1 ап 2 • • • апп .

Прямое произведение некоммутативно.

*Первый и второй законы Кирхгофа [см. зависимости (3-1) —(3-3)] при отсутствии задающих токов (узловых токов) записываются в виде

где I3 —единичная матрица третьего порядка. Если имеются задающие токи ic, то

(AXI,)l = - ic .

Ввиду того, что в симметричной сети подсоединение ветвей к узловым точкам одинаково для всех фаз, до­

152

статочно матрицы соединений, множеств сечений и кон­ туров (A, Q, В) записывать только для одной фазы. Зависимости между этими матрицами рассмотрены в гл. 2 (ем. пункты «а» и «б», § 2-5). Если для одной из фаз симметричной сети определить дерево, множество ветвей контуров, множество контуров, множество сече­ ний, то они будут относиться ко всей трехфазной систе­ ме.

Согласно сказанному гиперматричное уравнение для симметричной трехфазной системы можно записать в узловых величинах следующим образом [на основании зависимостей (3-19) и (3-20), гл. 3]:

—ic = Ycuc,

где

7-1,г. Собственные значения, собственные векторы и проекционные матрицы цикличной матрицы. На основе известных соотношений матричной алгебры (Л. 4, 5] можно следующим образом представить отдельные бло­ ки гиперматрицы проводимостей [Л. 69, 70]:

где Ро, Рь Рг— проекционные матрицы цикличной ма­ трицы, т. е.

2 р* = i.. «=1

Проекционную матрицу, как известно, можно выра­ зить с помощью диад собственных векторов; число диад равно рангу проекционной матрицы.

В выражении (7-11) Уде, Уде, Уде являются собст­ венными значениями цикличной матрицы Yц.

Проекционные матрицы и собственные векторы лю­ бой цикличной матрицы третьего порядка равны [Л. 4,

153

На основании этих свойств цикличной матрицы (как это будет видно ниже) можно определить обобщенные со­ ставляющие. При этом, поскольку порядок чередования фаз, принятый в электрических системах, противополо­ жен положительному направлению вращения, порядок следования собственных векторов wb w2 также изме­ няется.

Собственные значения матрицы Хц определяются вы­ ражениями

Пассивному элементу симметричной сети, между фа­ зами которого нет взаимосвязей, соответствует диаго­ нальная цикличная матрица

С(Yth 0, 0).

В этом случае

Yijo= Yij\ = Yij2= Yij.

Пассивному элементу симметричной сети, между фа­ зами которого существует взаимосвязь, соответствует

154

следующая симметричная цикличная матрица:

С O ' t j s , Y i j m i Y i j m ).

В этом случае

7-1,д. Определение гиперматриц проводимостей и со­ противлений через их собственные значения. 1) Гипер­ матрицу проводимостей Y (содержащую m Xm блоков) можно представить в виде суммы прямых произведений блоков собственных значений и проекционных матриц:

Для многофазной (s-фазной) системы справедливо сле­ дующее выражение:

Y = S YftXPfc.

k=0

где в соответствии с положительным направлением враще­ ния

/.2kv\ exp ( j — J

« р [ / ^ ]

П я .= 2]

h=&

155

2) Гиперматрицу сопротивлений Z можно записать а логичным образом:

3) Зависимость между матрицами сопротивлений проводимостей, выраженными через собственные значе­ ния, имеет вид:

жения (7-16) и (7-18), учитывая свойства проекционных матриц:

Isn= Y0Z0XP„ + Y.Z.XP, + Y2Z2X Pa-

Подстановка (7-19) в это выражение дает тождество.

4) Матрицы собственных значений гиперматриц пр водимостей и сопротивлений можно получить, если урав­

156

5)Гиперматрица узловых проводимостей на основании

зависимостей (7-10) и (7-17) может быть записана в виде

2

Yc= £ АУ*А>ХР;£,

где \ Ck — матрица, элементами которой являются соб­ ственные значения (& = 0, 1, 2) блоков гиперматри­ цы Yc.

7-1,в. Запись уравнений сети через узловые величи­ ны. На основании зависимостей (7-10) и (7-23) полу­ чаем:

Учитывая выражение (7-21), умножаем слева урав­ нение (7-24) на гиперматрицы I ^ X w V I„_iXw*b I„_iXw*2, где порядок единичной 'матрицы I„_i совпа­ дает с числом независимых узлов. При этом матричное уравнение порядка 3(п—1) распадается на три незави­ симых уравнения порядка (п—1). Введем следующие обозначения:

Тогда три полученных матричных уравнения запишутся в виде

7-1,ж. Симметричные составляющие. Уравнения вида (7-25) и (7-26) можно записать не только для узловых токов и напряжений, но и для соответствующих контур­ ных значений или значений множества сечений. Полу­ ченные значения токов и напряжений будут соответствен вать составляющим нулевой, прямой и обратной после­ довательностям, известным под названием симметричных составляющих (Л. 65—72]. Это же относится к сосгав-

157

ляющим проводимостей и сопротивлений. Так, из урав­ нения (7-25) получаем ток нулевой последовательности

в практике расчетов в настоящее время. Однако в прин­ ципе правильнее пользоваться именно зависимостью (7-27), определяющей так называемое нормализованное значение симметричной составляющей. Нормализованная симметричная составляющая прямой последовательно­ сти

Аналогично

ui = -уг=- (ua-f- aub-j~ aucy

Нормализованная симметричная составляющая обратной по­ следовательности

На основании соотношений (7-27) —(7-29) переход от фазных величин к составляющим пулевой, прямой и об-*

15#

ратной последовательностей можно отобразить следую­ щим матричным уравнением:

В дальнейшем iw будем называть преобразованным вектором тока. Матрица преобразования имеет вид:

Раскрывая (7-35), получаем:

«. + ' . + У:

к— -у=- (К + аЧ1-|-ai2)\

lc— -у=' (»'. “Ь ~Ь лН^).

7 -1 ,3 . Матрица преобразования и преобразованная гиперматрица проводимостей. Матрицы S и S* можно рассматривать как матрицы унитарного преобразования. Если матрица преобразования действительная, то она определяет ортогональное преобразование (Л. 4, 5].

159

Согласно (7-11) с учетом выражений (7-13) матрич­ ный блок Y(j можно записать так:

Это выражение можно преобразовать к следующему виду:

из преобразованной гиперматрицы проводимостей следую­ щим образом:

Зависимость (7-26) можно получить умножением уравнения —ic=Ycuc слева на матрицу I„_iXS* и под­ становкой единичной матрицы (I„_!X S) (In_!XS*) поряд­ ка 3 (п—1) между сомножителями Yc и ис этого уравне­ ния:

-( I « —CXS*)ic =

=(In- i$*) Yc (I„_, X S)(In- , X S*) UC.

Эта зависимость согласно (7-30) и (7-37) идентична зависимости (7-26), так как, введя обозначения:

•си>--- (In- 1 X S) ici

Ucw == (In- j X 3) Uc>

получим:

hw z= YctoUcu)'

Этим доказано равенство (7-26), поскольку блоки гипер матрицы Ycro — диагональные матрицы.

160