книги / Современные методы анализа электрических систем

Напряжение балансирующей электростанции, как уже указывалось ранее, фиксируется. При варианте В задания исходных данных заданы напряжения |{У|Й и мощности Pg для каждого генераторного узла g. Урав­ нение системы (6-81), соответствующее генераторному узлу, можно записать в виде

Модуль напряжения узла g задан, т. е.

Это выражение необходимо подставить в (6-82). Опыт показывает, что метод Гаусса — Зейделя дает

лучшую сходимость, чем метод Якоби. Преимуществом обоих методов является относительная простота про­ граммирования, вследствие чего эти методы применяют­ ся для расчетов с помощью ЭЦВМ.

Метод Гаусса — Зейделя можно привести к блочной итерации, так как если преобразовать (6-81), то

Xfe+1 = (I - М)-1Nx* + (I - М)-1b.

Итерационная матрица, характеризующая сходи­ мость итерации по Гауссу — Зейделю, имеет вид:

A = (I — M ^ N ,

где матрицы М и N можно определить по выражениям (6-80) и (6-81).

6 -6 ,в. Релаксационный метод характерен тем, что на каждом шаге итерационного процесса изменяется толь­ ко тот элемент вектора х, которому соответствует наи­ большая величина невязки. Вектор невязки определяет­

141

Если наибольшим (по абсолютному значению) явля­ ется i-n элемент вектора невязки rkf то я^+1 следует -вы­ бирать так, чтобы rik+ 1 = 0. Для следующего итерацион­ ного шага необходимо определить, какой элемент век­ тора невязки наибольший, и, выбрав этот элемент, про­ должать расчет.

6-7. УСКОРЕНИЕ ИТЕРАЦИОННОГО МЕТОДА

6-7,а. Метод ускорения Эйткена [Л. 46]. В случае большого числа узлов, т. е. большого числа переменных, сходимость итерационных методов довольно медленная. Для ускорения расчета можно применять экспоненци­ альную экстраполяцию Эйткена. Согласно этому методу по значениям х для трех последующих итераций {хи-ь Хи и Xk+i) корректируется среднее значение (xk):

Этот метод ускорения можно применять шаг за ша­ гом в том случае, если имеется по меньшей мере пять постоянно убывающих разностей напряжений узлов. Возможно, что после ускорения по Эйткену на несколь­ ких шагах итерации возникнут колебания, однако за­ тем вновь устанавливается монотонно сходящийся про­ цесс.

6-7,6. Ускоренный метод Зейделя [Л. 60]. В ускорен­ ном методе Зейделя линейно увеличивается шаг обыч­ ного итерационного метода. Если вектор напряжений на последующем шаге без ускорения определяется выра­ жением

142

Коэффициент ускорения к следует выбирать так, чтобы для обеспечения сходимости требовалось возмож­ но меньшее число шагов. Не приводя математического вывода, укажем, что наилучшим значением коэффици­ ента ускорения является:

Для определения наибольшего собственного значе­ ния можно применить итерационный процесс:

р*= - (М+ N) Pft_, = - (М+ N)*Ро,

где ро— любой вектор. После достаточного числа \(k) итераций [как следует из зависимости, аналогичной вы­ ражению (6-79)] рk будет собственным вектором матри­ цы (M + N) и,таким образом,

РМ-1 *"Vpft.

Отсюда можно определить наибольшее собственное значение.

6-8. СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ПОТОКОВ МОЩНОСТИ

Для расчета токов при задании токов в качестве не­ зависимых переменных можно выбрать один из мето­ дов, рассмотренных в § 6-5 и 6-6. В приведенных си­ стемах уравнений параметры сети могут изменяться в ходе итерационного процесса. Для итерации важно, чтобы эти изменения оставались в известных пределах. Колебания переменных могут вызывать ухудшение схо­ димости итерации.

Ниже будет приведено сравнение вариантов 1—4 схем замещения элементов системы и будут рассмотре­ ны методы расчетов для вариантов А и В задания ис­ ходных данных.

6-8,а. При первом варианте схем замещения элемен­ тов системы матрицы Ус и Zc, содержащие последова­ тельно включенные элементы сети, в ходе итераций не изменяются.

При варианте А задания исходных данных вектор Sc в ходе итераций изменяется в соответствии с изме-

143

нениями вектора узловых напряжений. Параллельно включенные двухполюсники, например емкости линий, элементы схем замещения трансформаторов, представ­ ляются в виде нагрузок, мощность которых изменяется пропорционально квадрату напряжения; мощности этих двухполюсников обычно на порядок величин меньше мощностей нагрузок системы, и поэтому их изменения не влияют на число итераций. Базисный узел совмещается с балансирующим. Вектор падений напряжений узлов ис можно определить, зная вектор Sc, по выражению (6-26) итеративным способом согласно (6-40):

Итерации следует прекратить, когда

|ucj; + i — Ucft| < 8.

Для расчетов по выражению (6-92) необходимо обратить матрицу Yc. Этого обращения можно избежать, если [исходя из выражения (6-27)] использовать один из кос­ венных методов, рассмотренных в § 6-5 и 6-6.

Для варианта В задания исходных данных для ре­ шения уравнения (6-27) можно использовать любой из методов, рассмотренных в § 6-5 и 6-6 (например, в слу­

использовать следующее уравнение, полученное в резуль­ тате преобразования выражения (6-26):

ускорения сходимости можно строить итерационный про­ цесс по методу Гаусса—Зейделя. Далее сходимость ите­ рации можно ускорить, если в выражении (6-40) эле­ менты главной диагонали матрицы А(х) разрешить от­ носительно х [Л. 58].

1) Выпишем первую строку матричного уравнени (6-93), соответствующую узлу 1, считая, что это узел нагрузки. Аналогично можно оперировать и с остальны­ ми узлами нагрузки.

144

После преобразования получим:

где

hr2

По уравнению (6-94) можно рассчитать Uik на £-й итерации. Значения [Д для (k—1)-й итерации полагаем известными. Ввиду того, что рассматриваемые величи­ ны представляют собой комплексные числа, разделим их на действительные и мнимые составляющие. Приняв, что и 0 имеет положительное действительное значение, получим:

U1n = Ua-\-jUb = \U\eib-,

A t h - i — Л а - \- j A b',

Z,, —

Подставим эти выражения в уравнение (6-94):

и 1+ и 1 ~ А*и * ~ 4 / Л + RP+ X Q= 0 ;

A bu a - A aU b + RQ - X P = 0.

Корни Ua и Ub этой системы уравнений определяются как

4+ 4

2)При составлении подобной зависимости для узла источника необходимо принять во внимание, что модуль напряжения и активная мощность в этом случае заданы.

Поэтому, исходя из соотношения

145

и из зависимости (6-93), аналогично пункту 1 можно полу­ чить:

Ua = — 0,5Gr t )/0,25Ga — Н;

Ub = EUa + D

и

Может оказаться, что в выражении (6-96) под квад­ ратным корнем будет отрицательная величина, что в ре­ зультате даст мнимое число. Это может быть в случае, если передача находится на пределе устойчивости или если этот предел превзойден.

6-8,6. При втором варианте схем замещения элемен­ тов системы матрицы Y<- и Ъс отображают полную сеть, содержащую также и параллельные ветви между нуле­ вой шиной и узлами. В ходе итерации матрицы Ус и Ъс и вектор Sc неизменны. Поскольку параллельно вклю­ ченные сопротивления обычно на два порядка величин больше последовательно включенных, напряжения в сильной степени зависят or Sc. Уровень напряжения дол­ жен обеспечиваться балансирующим источником, поэто­ му целесообразно пользоваться зависимостями (6-34) и (6-35), в которых напряжение балансирующего источни­ ка постоянно. Поскольку мощность балансирующего ис­ точника ограничена, то при достижении известного пре­ дела эту мощность необходимо разделять между осталь­ ными источниками. Преимуществом такого подхода яв­ ляется то, что для отображения трансформаторов можно пользоваться схемами замещения.

Для решения задачи при варианте А задания исход­ ных данных можно выбрать один из многих приведен­ ных выше методов. Целесообразнее всего в этом случае решать уравнения (6-34) методом Гаусса — Зейделя по итерационной формуле (6-40). Для ускорения сходимо­ сти в этом случае можно применить зависимость (6-94),

146

в которой

Для решения уравнения (6-35) можно также поль­ зоваться методами, рассмотренными в § 6-5 и 6-6.

При решении задачи по варианту В задания исход­ ных данных необходимо действовать аналогично тому, как описано в § 6-8,а. Для ускорения сходимости ите­ рации согласно зависимости (6-40) можно пользоваться выражениями, аналогичными (6-95) и (6-96).

6-8,в. При третьем варианте схема замещения систе­ мы, помимо последовательно и параллельно включенных ветвей, соответствующих второму варианту, содержит сопротивления, заменяющие нагрузки. Узлы, к которым

Обозначим узлы с источниками индексом 2, остальные — индексом 1. Пересчет матрицы узловых проводимостей при исключении узлов нагрузок рассмотрен в § 5-8,6 и может быть выполнен в соответствии с формулой (5-48). К узлам с индексом 1 могут быть подключены проводи­ мости нагрузок, отображаемые элементами диагональ­ ной матрицы D = < y u> . С учетом этого результирую­ щие проводимости узлов с источниками будут опреде­ ляться по выражению

где /-й элемент диагональной матрицы D

Если в матрице (6-98) исключить элементы, соответ­ ствующие балансирующему узлу, то получим матрицу узловых проводимостей Y'с, фигурирующую в выраже­ нии (6-31), обратной к которой является матрица узло­ вых сопротивлений ZV

Преимуществом описанного метода является то, что число узлов и, следовательно, уравнений, используемых для расчета, уменьшается.

Для решения уравнений сети при вариантах А я В задания исходных данных можно использовать любой из итерационных методов согласно разд. 6-8,6.

147

6-8,г. Четвертый вариант схемы замещения системы

[Л. 55] отличается от третьего варианта тем, что источ­ ники отображаются параллельно включенными (между узлом и нулевой шиной) сопротивлениями. Матрицу уз­ ловых проводимостей Yc необходимо дополнить диаго­ нальной матрицей D, ненулевые элементы которой соот­ ветствуют узлам, содержащим источники и нагрузки:

В этом случае, исключив элементы, соответствующие балансирующей электростанции, получим матрицу \ ' ь,

обращение которой дает: Z'b = Y^~1. Эту матрицу следу­

ет подставить в уравнение (6-34) вместо Zc. Ввиду того, что источники и нагрузки заменены сопротивлениями (проводимостями), исходным значением вектора мощ­ ностей узлов будет Sbo=0. В ходе итераций мощности источников и нагрузок будут изменяться относительно первоначальных значений вследствие изменения напря­ жений. Фактические мощности узлов будут:

Sb = Se—D| U |2,

где элементы вектора |U|2 являются квадратами напря­ жений узлов; Se— заданный вектор мощностей узлов. Вектор Sьи необходимо корректировать в процессе ите­ раций. Для расчета можно пользоваться блочным мето­ дом или — с целью ускорения итерации — методом Га­ усса— Зейделя, используя формулы (6-95) и (6-96).

Г Л А В А С Е Д Ь М А Я

ОБОБЩЕННЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ТРЕХФАЗНОЙ СИСТЕМЫ

7-1. ГИПЕРМАТРИЦЫ СЕТИ

Электрические системы передачи и распределения энергии обычно трехфазны, однако нет принципиального препятствия тому, чтобы рассматриваемые ниже пробле­ мы отнести к любой многофазной системе. Элементами трехфазной сети являются: трехфазные ветви, узловые точки и нулевая шина (точка). Трехфазная ветвь мо­ жет быть:

а) последовательной, включенной (между двумя узло­ выми точками;

148

б) параллельной, включенной между узловой точкой и нулевой точкой (нейтраль звезды на рис. 7-1).

Между отдельными фазами трехфазной ветви в об­ щем случае имеет место взаимодействие. При опреде­

пичная трехфазная параллельная ветвь (рис. 7-3) содер­

7-1,а. Уравнения трехфазной ветви и симметричная сеть. Зависимости между напряжениями и токами ветви можно выразить с помощью операторного или комплек­ сного сопротивления (проводимости) следующим обра­ зом: '

где

149

Сеть называется симметричной, если матрицы сопро­ тивлений Z/ или проводимостей Y,- являются цикличны­ ми, т. е. если

7-1,6. Элементы электрической системы. К пассивным элементам электрической системы относятся: воздушные

нием (7-2) и (7-3), является прибли­ жениями. Так, например, матрица сопротивлений гори­ зонтальной воздушной линии симметрична и имеет сле­ дующий вид:

ZQZp Zq

Zp Zb Zp •

_Zq Zp Za_

Эта матрица не циклична; она оказывается цикличной только в том случае, если

Zag*Zb и Zp^Zg.

Линию (воздушную, кабельную) целесообразно пред­ ставить П-образной схемой замещения согласно § 6-1,в. В случае линии большой протяженности ее следует раз­ делить на участки, между которыми необходимо выде­

150