книги / Современные методы анализа электрических систем

C, D, £ и ребра АВУАС, Л£, ВС, CD, ££, D£ между ними образуют граф. Линейным (графом можно характе­ ризовать электрическую сеть.

в трехмерном пространстве. Геометрическую структуру

видно пересечение. Ввиду того, что граф в сущности яв­ ляется пространственным графом, при соответствующем изображении на плоскости указанные пересечения не следует учитывать. Условимся, что пересечениями сле­ дует считать только выраженные и хорошо видимые точ­ ки, отмеченные маленьким кружком.

П л о с к и й г р а ф — это граф, отображаемый в пло­ скости. В этом топологическом графе нет таких двух ре­ бер, которые бы при изображении на плоскости пересе­ кались. Вначале кажется, что граф, приведенный на рис. 2-2,а, не может быть изображен в плоскости без пересечения ребер. Однако если ребра изображать про­ извольными кривыми, этот граф можно переложить на плоскость, как это показано на рис. 2-2,6. Два графа, при­ веденные на рис. 2-2,а и б, идентичны; существенной

является связь ребер, несущественной — форма линий. Если граф можно отобразить на шар, его можно пере­ ложить и на плоскость. (Точку на сфере Римана, как известно [Л. 5], можно спроектировать на числовую пло­

ду отдельными вершинами и ребрами этих графов мож­

21

но определить идентичные связи (рис. 2-4). Электриче­ скую сеть можно изобразить различным образом, не изменяя ее электрических свойств. Такие графы с ана­ логичной структурой конгруэнтны.

Характерным для п о л н о г о г р а ф а является то, что любые две вершины его соединены ребрами, следо­ вательно, при числе вершин п число ребер *

фом, образованным из следующих друг за другом ребер, например ряд ребер abbceef на рис. 2-4. Одно ребро в ряде ребер может участвовать несколько раз (на ри­

рой степень четная или нечетная. Ввиду того, что общая степень вершин четная, число нечетных вершин четное.

* Равно числу сочетаний из п по 2. (Прим.-ред.)

22

Степень всех вершин п р а в и л ь н о г о г р а ф а оди­ накова; она одновременно является степенью правиль­ ного графа.

Т р а с с а р е б е р — это такой ряд ребер, в котором кратность всех ребер равна единице, например aecb на рис. 2-4.

Пу т ь — это такая трасса, у которой кратность всех относящихся к ней ребер равна единице, степень про­

пути между этими узлами. Так, например, длина пути, показанная на рис. 2-5 прерывистой линией, равна 5; расстояние между точками А и В (наименьшая длина

меньшей мере один путь, связывающий любые два узла.

Рис. 2-6. Несвязный граф.

граф.

На рис. 2-6 приведен несвязный граф; на рис. 2-7 при­ веден связный граф. Исходя из любой точки можно однозначно определить различные связные компоненты графа. В общем случае число связных компонент гра­ фа* равно 1. В случае связного графа р= 1.

* См. О. О р е. Теория графов, стр. 37. Изд-во «Наука», 1968.

(Прим, ред.)

23

К о н т у р есть замкнутый путь (частичный граф), у которого все относящиеся к нему вершины имеют сте­

(корень) со следующей новой узловой точкой. Дерево есть такое множество ветвей, которое не содержит ни одного контура (рис. 2-8). Де­ рево без ветвей есть путь. (Введем следующие обозначе­

дерево. В дереве между любыми двумя узлами сущест­ вует только один путь. Для электрической сети, имею­ щей нид дерева, достаточно одних узловых уравнений Кирхгофа для однозначного определения распределения токов. Поэтому в теории цепей понятие «дерево» очень важно.

В графе, приведенном на рис. 2-9, одно из деревьев показано жирными линиями. Дерево графа обязательно содержит все узлы графа. Граф содержит ограничен­

равно mf =n—1. В случае графа с числом связных ком­ понент, равным р *:

Р а н г д е р е в а численно равен числу ветвей дерева:

Г = /72/.

Контурные ветви в графе —это элементы множества ветвей графа, дополнительного к множеству ветвей де­ рева. Число контурных нет вей обозначим mh.

24

Дипломатическое число является так называемым недо­ стающим рангом графа. В связном графе ветвью конту­

ми; кроме них, можно образовать несколько контуров, например контур iabgdf, являющийся кольцевой суммой контуров iacf и gdcb. Эта кольцевая сумма состоит из разности объединения множеств ветвей контуров и пе­ ресечения множеств ветвей контуров [Л. 29]. В кольце­ вой сумме общие элементы исключаются (в данном слу­ чае ветвь с). Если у двух контуров хотя бы один эле­ мент общий, то из их суммы можно образовать новый контур. Из суммы базисных контуров, содержащих об­ щие элементы, можно получить все возможные контуры, относящиеся к одному графу.

Цикломатическое число д является разностью числа ветвей связного графа и числа ветвей его дерева. Следо­

Мн о г о у г о л ь н ы й г р а ф — плоский граф, в кото­ ром ветви (ребра) образуют многоугольники. В про­ странстве этому графу соответствует одно многоуголь­ ное тело.

25

М и н и м а л ь н ы м к о н т у р о м называется множе­ ство боковых сторон одного из многоугольников в мно­

и куба (рис. 2-10 и 2-11)

Аявляются правильными. Степени всех узловых то­

В случае одного контура эту формулу легко уяснить, так как при этом т = я и контур делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю. Остальное можно до­ казать полной индукцией.

Ясно, что

р = а—1.

Д у а л ь н ы й г р а ф — это многоугольный граф, узло­ вым точкам которого соответствуют окна первоначаль­ ного графа, а окнам соответствуют узлы первоначально­ го графа. Между ветвями исходного и дуального гра­ фов имеет место однозначное соответствие (рис. 2-12). Дуаль многоугольника образует параллельные ветви (рис. 2-13).

2-1,а. Теорема. Дуальные связи следующие:

ветвь дерева*----►контурная ветвь узел*---- ►окно

26

В соответствии с этим, если дуальные величины обо­ значить штрихами, то

Контур имеет большое значение в теории цепей (вто­ рой закон Кирхгофа). Дуаль контура (согласно рис. 2-14)

дуальном отображении контур; удаление таких ветвей из пер­ воначального графа разделяет его на несвязные части (напри­

мер, на рис. 2-9 — ветви g9d, /, i). Результатом разделе­ ния может быть и изолированный узел (например, на рис. 2-9 — сечение А, /, i).

Б а з и с н о е с е ч е ни е (основное сечение) содержит

Рис. 2-13. Дуаль многоугольника.

только одну ветвь дерева и контурные ветви, например на рис. 2-9 — сечение g, с, i.

27

части, «содержит по меньшей мере одну узловую точку сечения.

Рис. 2-14. Связь между дуальными графами: контур — сечение.

2-1,6. Теорема. Число ветвей, общих для любого се­ чения и любого контура, четно (или равно нулю).

а)

б)

Д А

в)

Это положение относится к важным свойствам гра­ фов (ем, § 2-4), Теорема иллюстрируется на рис. 2-16.

28

Сечение делит граф на две не связанные друг с другом части G1 и Ог; если у сечения есть общая ветвь с кон­ туром, то контур относится к обоим частичным графам, на которые граф разделяется сечением. Ввиду того, что предполагается наличие контура, число ветвей замыка­ ния, а значит, и общих ветвей может быть только чет­ ным.

В электрической сети напряжение и ток представля­ ют собой направленные величины, поэтому при исследо­

а) отдельные ветви имеют направление. Если на­ правление тока или напряжения совпадает с направле­ нием ветви, то величина тока или напряжения положи­ тельна, в обратном случае — отрицательна;

б) ветвь имеет начальную и конечную точки, опреде­ ляемые направлением ветви;

в) контур имеет направление (рис. 2-16); г) сечение графа имеет направление (рис. 2-16).

С в я з и в графе . Граф характеризуется главным образом связями, образуемыми ветвями между узлами. В ненаправленном графе связи можно характеризовать в двоичной системе чисел с правилами действий:

0 + 0 = 0 , 0 -0 = 0 ,

0 + 1 = 1+ 0= 1, 0-1 = 1-0= 0,

1+ 1= 0, 1-1= 1.

Для характеристики связей в направленном графе (как это будет видно в последующем) используются значения 0, +1 и —1. Ввиду того, что в книге излага­ ются вопросы, связанные с электрическими сетями, да­ лее рассматриваются основные зависимости примени­ тельно к направленным графам. Необходимо, однако, заметить, что указанные зависимости можно сводить и к обычным, ненаправленным графам [Л. 29].

2-2. МАТРИЦА СОЕДИНЕНИЙ

Матрица соединений, впервые введенная Пуанкаре, фиксирует соединение между узлами и ветвями. Матри­ цу соединений называют иначе матрицей инциденций.

29

Узлам соответствуют строки матрицы, ветвям — столб­ цы. Если t-й узел является начальной точкой /-й ветви, то элемент в i-й строке и /-м столбце матрицы будет: a»j=l+l; если t-й узел является конечной точкой /-й вет­ ви, то ац = —1; если данный узел и данная ветвь не сов­ падают, ТО CLi) = 0 .

В качестве примера ниже представлена матрица сое­

Ввиду того, что ветвь имеет одну начальную и одну конечную точку, во всех столбцах матрицы Аа имеются два ненулевых элемента: один из этих элементов равен

точек и ветвей 1графа. Поэтому матрица, получаемая при перестановке строк или столбцов, относится к одному и тому же графу.

Если матрицу соединений можно подразделить на диагональные блоки, то граф состоит из несвязных ча-

*Точнее: если т ^ п, то любой минор порядка п будет равен 0.

(Прим, ред.)

**В случае т<п очевидно, что р(А )^ т < п . (Прим, ред.)

30