книги / Современные методы анализа электрических систем

2-й шаг. Линия между узлами 0 и 1 с сопротивлением

3-й шаг. Сеть наращивается соединением узла 1 с уз­ лом 3 линией с сопротивлением 5 ом. Ввиду того, что к сети добавляется радиальная ветвь, используя вновь выражение (5-14), получаем:

4-й шаг. Это наращивание сети не сопровождается подключением нового узла; к существующей сети под­ соединяется контурная ветвь. В этом случае необходимо применить зависимость (5-13). Для этого необходимы следующие вспомогательные расчеты:

В результате получаем матрицу узловых сопротивлений.

§1

Из выражений (5-13) и (5-14) можно заключить, что наращивание сети ветвью дерева произвести просто;

ной узловой точки. Из сказанного следует, что сеть целесообразно наращивать так, чтобы подсоединение контурной ветви осуществлялось для сети с возможно меньшим числом узлов. Приведенный пример на 4-м шаге содержит подсоединение контурной ветви, а зна­ чения, относящиеся к узлу 1, все же не изменяются. Этот особый случай возник оттого, что наращиваемая сеть присоединяется к базисной точке только одной ветвью. В этом особом случае дальнейшее наращивание сети осуществляется подсоединением узлов 4У5, б, 7 согласно рис. 5-2. Присоединение контурных ветвей 5—6 и 6—7 также не приводит к изменению всей построен­ ной до этого матрицы, так как базисная точка разде­ ляет сеть на две части, наращивание которых не ока­ зывает взаимного влияния друг на друга.

Из сказанного можно заключить, что с помощью вы­ ражений (5-13) и (5-14) для определения обратной матрицы следует особое внимание обратить на порядок

82

наращивания сети, с тем чтобы выбором последователь­ ности наращивания уменьшить число вычислительных операций.

5-5. ОБРАЩЕНИЕ ПУТЕМ РАСЧЛЕНЕНИЯ СЕТИ

Этот метод можно успешно применять для сети с боль­

ун, . . ук- Эти связи определяют дополнение к матрице узловых проводимостей, приведенной в левой части ука­

83

соотношением (5-11). Здесь следует произвести следую­ щие действия:

== ZSS1 -)- ZM.

Используя приведенные вспомогательные зависи­ мости, получаем результирующую матрицу узловых со-

84

противлений в виде

(5-15)

5-6. ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

На основании (1-7) матрицу полных сопротивлений можно представить в виде суммы матриц активных и реактивных сопротивлений:

Z= R+/X.

Матрицу полных проводимостей согласно (1-8) можно представить как сумму матриц активных и реактивных проводимостей:

Y= G+/B.

Матрица полных сопротивлений и матрица полных проводимостей являются взаимно обратными. Между матрицами действительных и мнимых значений имеют место следующие соотношения:

G = (R 4-X R - 1X ) - 1

(5-16)

В = — R_IXG,

или

B = (X + RX-‘R)-1;

(5-17)

G = — X“‘RB,

которые применяются в зависимости от того, имеет ли R или X обратную матрицу, вернее, в зависимости от того, которую из этих матриц проще обращать.

Аналогично можно использовать соотношения:

85

Доказательство. Из определения обратной матрицы следует, что

(R+/X) (G+/B) = 1.

Произведя матричное умножение и разделив матрицы, содержащие действительные и мнимые элементы, полу­ чим два матричных уравнения, состоящие из действи­ тельных элементов:

RG — ХВ = 1;

(5-20)

XG = — RB.

Из второго уравнения (5-20) непосредственно выте­ кает второе уравнение (5-18). Преобразуем первое урав­ нение (5-20):

RG—X G G 1B = I.

Подставив во второе слагаемое левой части этого вы­ ражения второе уравнение (5-20), получим:

RG-f-RBG'1B = I,

или

R(G + B G 1B) = I.

Этим доказывается правильность первого уравнения (5-18). Аналогично можно доказать правильность урав­ нений (5-16), (5-17) и (5-19).

5-7. РАЗЛОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ

5-7,а. Метод исключения Гаусса. Метод обращения Гаусса хорошо известен из алгебры. Выберем из задан­ ной системы уравнение, в котором коэффициент при первом неизвестном не равен нулю, и добавим его к остальным уравнениям, каждый раз предварительно умножая на такие числа, чтобы первое неизвестное ока­ залось исключенным. Пз числа оставшихся п—1 неизве­ стных вновь выбираем одно и исключаем его аналогич­ но тому, как это было сделано с первым. Таким обра­ зом, остается п—2 неизвестных. Эти действия необходимо продолжить до тех пор, пока останется одно неизвест­ ное, которое рассчитывается обычным способом. Осталь­ ные неизвестные находятся обратной подстановкой.

Для матричной формы записи исключение какоголибо неизвестного соответствует умножению матричного

86

уравнения слева на такую нижнюю треугольную матри­ цу, у которой элементы на главной диагонали равны единице, а элементы, не равные нулю, размещаются в одном столбце под главной диагональю. Результат произведения нижних треугольных матриц, соответст­ вующих исключенным неизвестным, также является тре­ угольной матрицей.

Рассмотрим систему уравнений: Сх=Ь.

Результирующая матрица L является нижней тре­ угольной матрицей, которую можно выразить в виде произведения следующих сомножителей:

L=L("-1)...L(2)L<1). (5-21)

Для исключения неизвестного Х \ матрицу С умно­ жаем слева на L<!>, где

Элементы первого столбца, начиная со второй строки, равны нулю, что указывает на исключение неизвестно­ го х\. Для следующего шага исключения

•

87

и тогда

Продолжив этот алгоритм до последнего шага исключения, получим верхнюю треугольную матрицу:

Матрицу №п>умножим слева на такую верхнюю тре­ угольную матрицу Q(n_l), у которой элементы, находя­ щиеся на главной диагонали, равны единице, а эле­ менты столбца п определяются так, чтобы в матрице, полученной после умножения, недиагональиые элементы столбца п равнялись бы нулю.

88

Все элементы столбца rt этой матрицы, за исключе­ нием последнего (расположенного на главной диаго­ нали), в соответствии с поставленным условием равны нулю.

Далее умножим (5-25) слева на матрицу

Продолжая алгоритм, получим диагональную матрицу:

менты которой равны обратным значениям соответст­ вующих элементов матрицы N.

5-7,6. Пример. Применим метод Гаусса для обраще­ ния матрицы узловых проводимостей (см. § 5-2) сети, приведенной на рис. 5-3:

[ 1,45 —0,25 —0,2 '

—0,25 0,58 —0,33 .

Матрицы, получаемые в процессе исключения:

Результирующая нижняя треугольная матрица:

90