книги / Теория механизмов и механика систем машин

Наконец рассмотрим соотношение чисел зубьев z1 = 5z2, тогда z3 = 7/5z1. По формуле (8.20)

i3Н = 1 + z1 / z3 = 1 + 5z1 / 7z1 = 12/7; iН3 = 7/12.

По формуле (8.22)

i1Н = 1 + z3 / z1 = 1 + 7z1 / 5z1 = 12/5; iН1 = 5/12.

Таким образом, получены следующие кинематические свойства передач. Для схемы на рис. 8.5, а при ведущем водиле угловая скорость центрального колеса изменяется в пределах ω3 = (12/11…12/7) ωН; при ведущем колесе 3 угловая скорость водила ωН = (11/12…7/12) ω3.

Для схемы на рис. 8.5, в при ведущем водиле угловая скорость колеса 1: ω1 = (12/5…12/1) ωН; при ведущем колесе 1 угловая скорость водила

ωН = (1/12…5/12)ω1.

Из-за низкой кинематической эффективности передача с неподвижным колесом 1 не находит применения в машиностроении. Передача с неподвижным колесом 3 получила широкое распространение и может работать как повышающая, так и как понижающая.

Рис. 8.6. Двухступенчатый редуктор с рядовой и планетарной ступенями

Пусть задана схема редуктора (рис. 8.6), в котором водило Н редуктора Джеймса приводится от рядовой ступени (колеса 1, 2).

Рассчитать передаточное отношение i15, если z1 = z4 = 30; z2 = z5= 20; z3 = 80, а также найти число оборотов колеса 5 и сателлита 4 при n1 = 50 об/мин.

181

Решение

1. Подсчитываем передаточные отношения отдельных ступеней. Для первой ступени

i12= n1/ n2= – z2/ z1 = –20/30 = –2/3,

откуда

n2 = – 3/2 n1 = – (3/2) 50 = –75 об/мин.

Так как n2 = nН, то nН = –75 об/мин. Для второй ступени

iН5 = nН / n5 = 1 / i5Н = 1 / (1 – i53H ) = 1 / (1 – (– z4 / z5) (z3 / z4)) = =1 / (1+ z3 / z5) = 1/ (1 + 80 / 20) = 1/5.

2. Общее передаточное отношение редуктора (об/мин)

i15= i12 iН5 = (–2/3) (1/5) = – 2/15 = n1/ n5

или

n5 = – 7,5 n1 = – 7,5 · 50 = – 375.

3. Найдем число оборотов сателлита. Для этого воспользуемся форму-

лой Виллиса:

i54H = (n5 – nН) / (n4 – nН) = – z4/ z5 = – 30/20 = –3/2

или

n5 – nН = (– 3/2 n4) + (3/2 nН),

откуда

n4 = (– 2/3 n5) + (5/3 nН) = (– 2/3 (– 375)) + (5/3 (– 75)) = 125.

Сателлит вращается в ту же сторону, что и колесо 1.

Пример 2

На рис. 8.7 изображена схема редуктора с двумя внешними зацеплениями. Подвижность механизма:

W = n – p4 = 3 – 2 = 1.

Пусть задана угловая скорость водила ωН. Требуется определить угловую скорость ω1 ведомого звена. Сначала выразим эти соотношения через радиусы колес. Мгновенная ось вращения обозначена ММ. Найдем скорость точки А:

VA = (r3 + r2') ωН = ω2 r2'

или

182

Выражение передаточного отношения через радиусы колес не всегда удобно, так как колеса z2, z2' могут быть разного модуля. Используя формулу Виллиса, выразим передаточное отношение через числа зубьев колес:

Для уменьшения i1Н необходимо, чтобы передаточное отношение обращенного механизма i13( H ) было положительным и как можно ближе к

единице.

Пусть задано: z1 = 101; z2 = 100; z2' = 99; z3 = 100. По формуле (8.29)

i1Н = 1 – (z2 / z1) (– z3 / z2') = – (100·100) / (101·99) = = – 1/9999 – 1/10000.

Этот случай соответствует рис. 8.7, где точка С лежит ниже мгновенной оси. Заданы другие значения чисел зубьев:

z1 = 100; z2=101; z2' = 100; z3 = 99.

Тогда

i1Н = 1 – (– z2 / z1) (– z3 / z2') = 1 – (101·99) / (100·100) = 1/1000.

В этом случае точка С лежит выше мгновенной оси, водило и колесо 1 вращаются в одну сторону.

Недостатком этого механизма являются большие потери на трение, следовательно, низкий коэффициент полезного действия. При iН1 = 1000 КПД равен 0,0015.

184

8.4. Замкнутые дифференциальные передачи

Пример 4

На рис. 8.9 изображена схема замкнутого дифференциала. Рассчитаем степень подвижности передачи:

W = n – p4 = 5 – 4 = 1.

Первым признаком такой передачи является то, что при W = l в ней нет неподвижного центрального колеса. Пусть задана угловая скорость первого колеса. Требуется найти угловую скорость водила.

Записываем формулу Виллиса для центральных колес:

i13( H ) 1 H 3 H

Вторым признаком дифференциальной передачи является то, что в формуле Виллиса неизвестны угловые скорости двух колес ω3 и ωН (в простой планетарной передаче с неподвижным центральным колесом неизвестна угловая скорость только одного колеса). Следовательно, должна существовать связь между угловыми скоростями либо ω1, ωН, либо ω3, ωН, либо ω1, ω3.

В рассматриваемой передаче связь осуществляется между скоростями ω3, ωН при помощи замыкающей кинематической цепи z3', z4, z4'.

Передаточное отношение замыкающей цепи

i1Н = 1 + i13( H ) (i3Н – 1) = 1+ (– z2 / z1) (z3 / z2') (– z4' / z3' – 1) = = 1 + (– 52·78 / 24·21)(– 78 / 18 – 1) = 43,92.

При ведущем первом колесе iН1 = 1/43,92 или ωН = ω1 / 43,92.

185

Это понижающая передача, она часто применяется в грузоподъемных механизмах. Например, при n1 = 750 об/мин водило, выполненное в виде барабана, будет иметь следующее число оборотов в минуту: 750/43,92 = 17 об/мин.

8.5. Передача с коническими колесами

8.6. Метод планов линейных и угловых скоростей

Этот метод позволяет наглядно показать распределение скоростей звеньев непосредственно на схеме механизма, направление угловых скоростей, величину и знак передаточного отношения.

Пример 6

Рассмотрим схему дифференциального механизма (рис. 8.11). Определим его подвижность:

W = n – pA= 4 – 2 = 2.

Пусть заданы угловые скорости первого колеса и водила. Схема механизма (см. рис. 8.11, б) выполнена с масштабным коэффициентом μl (м/мм).

Находим линейные скорости точек А и O2:

186

Найдем тангенсы углов J1, JH, J3 (рис. 8.11, б):

tgν1 = (Аа) / (О1А) = (VА/ ω) ( l /r1) = l / ω1.

Аналогично

tgνН = l / ωН; tgν3 = l / ω3;

откуда ω3 – искомая угловая скорость, ω3 = ( V / l ) tgν3.

Проведенные построения показывают направление вращения каждого звена передачи и процесс суммирования скоростей, исходящих от звена 1 и водила Н на сателлите и центральном колесе 3.

Пример 7

Рассмотрим более сложный случай построения плана угловых скоростей для конического планетарного редуктора (рис. 8.12).

Степень подвижности механизма:

W = n – p4 = 4 – 3 = 1.

Угловую скорость колеса 1 считают известной. Оси мгновенного относительного вращения обозначены Р12O, Р2HО, Р23O, Р24O, они все пересекаются в точке О. Ось Р24O является осью абсолютного движения, так как колесо 4 неподвижно. Поэтому можно записать

Рис. 8.12. Планетарный конический редуктор: à — схема механизма; á — план угловых скоростей

188

Из произвольной точки Р (см. рис. 8.12, б) откладываем отрезок (Р1), из точки 1 проводим линию, параллельную оси Р12O. Так как ω4 = 0, то из точки Р проводим линию, параллельную оси Р24O. На пересечении этих линий получим точку 2. На основании уравнения

Из точки 2 проводим линию, параллельную оси Р23O, до пересечения с горизонтальной линией в точке 3. Далее записываем уравнение

т.е. через точку 2 надо провести линию, параллельную оси Р2НО. В результате получим точку Н.

Масштабный коэффициент плана угловых скоростей (с–1/ мм):

ω = ω1 / (Р1).

Угловые скорости остальных звеньев:

Используя план угловых скоростей, можно определить направления относительных и абсолютных угловых скоростей, а также их значения.

8.7. Специальные передаточные (планетарные) механизмы

Планетарным называется механизм, имеющий в своем составе хотя бы одно звено с подвижной геометрической осью в пространстве.

Звено, имеющее подвижную геометрическую ось в пространстве, на-

зывается сателлитом.

Звено, на которое устанавливают ось сателлитов, называется водилом(Н). Зубчатые колеса, имеющие неподвижную геометрическую ось в прос-

транстве, называются центральными.

Центральное колесо, имеющее внешние зубья, называется солнечным. Центральное колесо, имеющее внутренние зубья, называется коронной

шестерней (опорным колесом). Достоинства планетарных передач:

1.Малые габариты и вес, обусловленные тем, что поток мощности, подводимый к центральному колесу, распределяется по k сателлитам (k – количество сателлитов). Затем поток мощности собирается на выходном звене. На одной планетарной передаче можно поставить до 24 сателлитов.

2.Очень высокий КПД, в среднем 0,99.

189

Недостаток планетарных передач – необходимость специального механизма (если число сателлитов не равно 3), который бы выравнивал нагрузку между сателлитами. Этот механизм утяжеляет и удорожает конструкцию.

8.8.Сравнительный анализ передачи с неподвижными осями

ипланетарной передачи

Сравнительный анализ передачи с неподвижными осями и планетарной передачи представлен на рис. 8.13.

z2

z2

Рис. 8.13. Сравнительный анализ зубчатых передач: à — îñü Â неподвижна; á — îñü Â подвижна

Через число зубьев i1 H записать нельзя, так как ось В – подвижная ось.

Чтобы записать передаточное отношение через число зубьев, применим метод обращения движения, т.е. мысленно сообщим всем звеньям механизма, включая стойку, дополнительное движение с угловой скоростью

–ωН. Получим обращенный планетарный механизм с неподвижными осями зубчатых колес.

В обращенном движении звенья этого механизма будут иметь следующие угловые скорости:

190