книги / Теория механизмов и механика систем машин

Координаты точек В и D будут следующими: xB1 l1 cos 1,

yB1 l4 l1 sin 1, xD lCD cos 3, yD lCD sin 3.

Задача о скоростях

Дифференцируя по времени систему (3.67), получим уравнение для определения скоростей:

71

yB1 l1 1 cos 1,

xD lCD 3 sin 3 , yD lCD 3 cos 3.

Задача об ускорениях

Из дифференцирования уравнений (3.70) получаем систему уравнений относительно угловых ускорений звеньев и ускорение точек:

Кинематические характеристики точек S3, К и других находятся так же, как и в предыдущих примерах.

72

4. КИНЕТОСТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ МЕХАНИЗМОВ ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Под термином «силовой расчёт механизма» понимают решение задач об определении усилий, действующих на звенья, давлений в кинематических парах, давлений на раму и фундамент машины, а также задач о нахождении уравновешивающей силы или уравновешивающего момента.

Знать усилия, действующие на звенья, необходимо для того, чтобы задать их размеры, обеспечивающие как прочность, так и достаточную жёсткость, благодаря чему звенья не будут разрушаться, а неизбежные их деформации не выйдут за пределы, допустимые условиями работы машины.

Определение давлений позволяет найти силы трения, возникающие при относительном движении звеньев, образующих кинематическую пару. Результаты расчёта используются при оценке энергетических потерь на трение и разработке способов снижения этих потерь (путём отвода теплоты, создания устойчивого смазочного слоя и пр.).

Силы воздействия на раму и фундамент машины надо знать для того, чтобы расчётом обеспечить прочность и надёжность крепления машины к раме, а последней к фундаменту. Кроме того, указанные силы необходимы для расчёта фундамента.

Решение всех этих задач связано с определением реакций связей, которые вызываются не только системой задаваемых сил, но и динамическим влиянием движущихся звеньев машины, т.е. силами инерции.

Во многих современных машинах динамическое влияние движущихся звеньев на величину реакций связей имеет определяющее значение. Можно выделить два характерных типа машин: машины, в которых динамическое влияние преобладает над задаваемыми силами вследствие высоких скоростей движения; машины, чаще технологические, для которых задаваемые силы не могут служить основанием для нахождения размеров звеньев, и эти размеры определяются по динамическим силам и реакциям. При расчёте реакций в кинематических парах с учётом влияния движущихся звеньев считают движение ведущего звена машины известным.

4.1. Принцип виртуальных перемещений для силового расчета

Запишем для механизма принцип виртуальных перемещений в координатной форме:

73

где Fxj , Fyj – проекции всех сил, приложенных к звеньям механизма, кроме реакций в кинематических парах; M zj – моменты всех сил, приложенных к звеньям; xj , yj – виртуальные осевые перемещения точек приложения сил; j – виртуальные угловые перемещения звеньев механизма; n – число

сил и моментов сил. Это уравнение является основным для силового расчета. Из него получаем два вывода:

1. Для равновесия механизма в целом и в каждой его точке нельзя задавать произвольно все внешние силы, часть из них должна быть определена в процессе расчета. Такие силы называют уравновешивающими силами Fy , их число равно числу обобщенных координат механизма. Часто опреде-

ляют не уравновешивающие силы, а уравновешивающие моменты M y , так

как они связаны с уравновешивающими силами простыми соотношениями. Рассмотрим механизм строгального станка с приложенной к резцу силой полезного сопротивления F5 x (рис. 4.1). Какую силу необходимо при-

ложить в точке B1 перпендикулярно звену AB1 , чтобы механизм находился в равновесии? Применяем принцип виртуальных перемещений:

Fy

Рис. 4.1. Определение уравновешивающей силы Fy из принципа виртуальных перемещений

Из планов виртуальных перемещений, построенных на схеме механизма, выразим перемещение D2 через B1 :

74

D2 B2 cos 90 3 .

Подставляя в (4.2), получим

Именно этот момент надо приложить со стороны двигателя (извне), чтобы преодолеть силу полезного сопротивления. В теории механизмов принцип виртуальных перемещений редко используют непосредственно, а учитывают, что при голономных стационарных связях виртуальные перемещения совпадают с действительными перемещениями, поэтому

Для механизмов с одной обобщенной координатой уравновешивающий момент находим из выражения

2. Из принципа виртуальных перемещений легко получают условия равновесия плоской системы сил. Так как в уравнении (4.1) виртуальные

75

перемещения являются независимыми, то для равенства нулю левой части необходимо, чтобы

Такие уравнения можно составлять как для всего механизма, так и для отдельных его звеньев. В этом случае реакции связей относят к категории внешних сил. В ТММ принято вести силовой расчет погруппно, поскольку группы Ассура являются статически определимыми.

4.1.1. Условие статической определимости групп Ассура

При расчете реакции во вращательной кинематической паре (рис. 4.2) необходимо иметь в виду, что давление со стороны звена i на звено k передается частью поверхности и распределено по этой поверхности по определенному закону. При расчете мы получим не эпюру распределения давлений, а только равнодействующую Fki , которая проходит через центр

шарнира, если не учитывать трение. Неизвестными остаются модуль и направление реакции, т.е. для каждой вращательной пары два неизвестных. Для поступательной кинематической пары (рис. 4.3) известно направление реакции (перпендикулярно оси поступательной пары). Неизвестными остаются модуль и точка приложения реакции, то есть тоже два неизвестных. В поступательной паре может встретиться случай, когда точка приложения реакции выходит за пределы направляющей звена k или даже за пределы звена i. Пусть реакции Fik , Fik приложены в точках d , d (рис. 4.4) и пред-

ставляют систему двух антипараллельных сил. Полученная при расчете равнодействующая Fki приложена в точке D. По правилу сложения антипа-

раллельных сил получим

равную нулю. При этом нагрузка будет выражена в виде пары сил. Для каждого звена на плоскости можно составить три уравнения равновесия типа (4.10), а для всех звеньев – 3n уравнений. Каждая пара пятого класса на плоскости дает два неизвестных параметра при определении реакции, а все

76

пары дадут 2p5 неизвестных. Если число уравнений равновесия равно числу неизвестных, то система будет статически определимой. Условие статической определимости:

Рис. 4.4. Распределение нагрузки в поступательной кинематической паре

Это условие всегда удовлетворяется для групп Л.В. Ассура, поэтому удобно силовой расчет вести погруппно.

4.1.2. Аналитическая статика групп Ассура второго класса

4.1.2.1. Группа второго класса первого вида

Группа состоит из двух звеньев и трех кинематических пар. Расчленим группу на два отдельных звена и будем рассматривать равновесие каждого звена. На рис. 4.5 через Si , Sk обозначены центры масс звеньев;

ai , ak , i , k – отрезки и углы, характеризующие положения центров масс

относительно осей звеньев (ось звена рассматривается как отрезок, проведенный из центра одной кинематической пары в центр другой пары). Инерционная нагрузка для звена i находится из выражений

77

ния центра мacc; i – угловое ускорение звена.

Рис. 4.5. Расчет группы 21

Сюда же можно отнести и нагрузку, вызванную другими внешними силами, например, если учитывать силу тяжести звена i, то проекцию Yi

следует вычислять из выражения

Эти формулы одинаковы для групп всех видов.

Реакции во внешних кинематических парах обозначим FBx , FBy , FDx , FDy . Реакцию во внутренней кинематической паре обозначим

Fik (результирующая давления звена k на звено i) или в проекциях Fxik , Fyik . Реакция со стороны звена i на звено k обозначена Fki или в проекциях Fxki , Fyki . При составлении уравнений равновесия необходимо учитывать, что

Fik Fki или Fxik Fxki ; Fyik Fyki .

78

где

aix ai (cos i cos i sin i sin i ); aiy ai (sin i cos i cos i sin i ).

В уравнении (4.18) за полюс принята точка В. Анализ уравнений показывает, что при трех уравнениях имеем четыре неизвестных: FBx , FBy , Fxik , Fyik , т.е. эти уравнения не определены.

Рассмотрим равновесие звена К:

где

akx ak (cos k cos k sin k sin k ); aky ak (sin k cos k cos k sin k ).

В уравнении (4.21) за полюс принята точка О. Теперь в шести уравнениях имеем шесть неизвестных. В уравнениях (4.18) и (4.21) обозначим:

С учетом этих обозначений имеем:

79

Далее последовательно находим:

FBx Xi Fxik ; FBy Yi Fyik ;

FDx Xk Fxik ; FDy Yk Fyik .

4.1.2.2. Группа второго класса второго вида

Расчленим группу на два звена и рассмотрим равновесие каждого звена

(рис. 4.6).

Рис. 4.6. Расчет группы 22

Выразив Fxik , Fyik из (4.26), (4.27), подставим полученные выражения в (4.28), найдем реакцию FD во внешней поступательной паре:

80