книги / Теория механизмов и механика систем машин

Затем для структурной группы 21 записываем векторные уравнения

где V CB – вектор относительной скорости точки С в ее движении относительно точки В; VCD – вектор относительной скорости точки С вокруг D.

Величины этих векторов неизвестны. По направлению V CB CB, VCD CD . Исходя из этого, согласно первому уравнению системы (3.43), из

точки b проводим луч соответственно перпендикулярно звену CB схемы, а согласно второму уравнению (3.43) из точки p – луч ┴ СD. Пересечение лучей дает точку С – конец вектора VC . Точку С соединяем с полюсом p

(см. рис. 3.8, а).

VC ( pc) V ; VCB (cb) V ; VCD (cd) V VC .

Положение точки S, соответствующей точке S схемы, определяем на пла-

не скоростей из пропорции BC lBC bc по свойству подобия. Соединив S с

BS lBS bs

полюсом p, получим величину и направления скорости точки S: VS ( ps) V . Угловая скорость звеньев CB, СD:

вая скорость ω2 вращает звено СВ относительно точки В против часовой стрелки, а угловая скорость ω3 вращает звено СD относительно точки D, также против часовой стрелки.

Построение плана ускорений начинаем с определения ускорения точки В при равномерном вращении aB 12l1 .

Вектор aB направлен параллельно звену АВ к центру вращения – точке А. На чертеже выбираем точку p2 – полюс. ap2 aD 0. Из точки p2 прово-

53

дим вектор p2b , изображающий aB (см. рис. 3.8). Длина отрезка (p2b) вы-

бирается произвольной, но такой, чтобы масштаб плана ускорений, мс 2 ,

мм

С учетом уравнений системы (3.44), значений (bn1),( n2 ) и их направлений достраиваем план ускорений. Соединив полученную точку С с полюсом p2, получим вектор p2c , соответствующий aC (см. рис. 3.8, б).

aC ( c) a ; aCB (n1c) a ; aCD (n2c) a .

Ускорение точки S находим, соединив точки c и b:

CBCS CBCS , aS ( p2s) a .

54

Угловые ускорения звеньев 2 и 3:

и aCDτ в точку С схемы по способу, рассмотренному выше для угловых скоростей (см. рис. 3.8).

3.8.2. Кривошипно-ползунный механизм АВС

Структурная формула: 1→22. Исходные данные: lAB = l1; lBC = l2; n1.

AB n1 1 const . 30

Скорость точки В: VB 1l1. Вектор скорости VB перпендикулярен звену АВ схемы и направлен в сторону вращения кривошипа АВ.

По аналогии с примером (см. рис. 3.8, а) строим вектор pb . мс 1 :

мм

V (VpBb) .

Далее для структурной группы 22 составляем векторные уравнения скоростей.

где V CB – вектор относительной скорости точки С вокруг точки В, V CB CB ; VC0 – скорость неподвижной точки направляющей х–х, совпадающей в данный момент с точкой С, VC0 0 ; V CC0 – вектор относительной

скорости точки С в движении ее относительно направляющей, V CC0 – параллельный х–х, поэтому в соответствии с 1-м уравнением (3.45), из точки b проводим луч перпендикулярно звену CB схемы, а в соответствии со 2-м уравнением (3.45) из СХ проводим луч, параллельный х–х. На пересечении

55

получается точка С, которая соединяется с полюсом р (рис. 3.8, а). В результате получают

V C ( pc) V ; V CB (cb) V ; 2 VCB (cb) V .

lCB lCB

Направление 2 определяется по правилу, рассмотренному в примере (см. рис. 3.8, а). Скорость точки S находим, используя подобие из пропор-

ции (bs) BS lBC . Соединив полюс p с S, получим абсолютную скорость

(bc) BC lBS

точки S: VS ( ps) V (см. рис. 3.8, а).

Подробнее остановимся на определении скорости точки К (рис. 3.9). Для этого на плане скоростей строим треугольник ∆bkc ~∆BKC схемы.

При этом должна соблюдаться идентичность направлений обхода контура вkс как на плане, так и на схеме механизма:

VK ( pk V ) .

направлен по звену АВ от В к А. Отрезок (р1b) по аналогии с предыдущим примером (см. рис. 3.8, а) откладываем от полюса р1 (см. рис. 3.8, б). Мас-

неподвижной направляющей, совпадающей в данный момент с точкой С, aCX 0 ; aCCk 0 – ускорение Кориолиса в движении точки С относительно

точки СХ и вместе с ней, aCCk 0 2VCC0 xx 2VCC0 0 0 . Вращательное дви-

56

жение направляющей х–х отсутствует ( x x 0) ; aCCz 0 – относительное (релятивное) ускорение в движении точки CX , направлено вдоль направляющей х–х. aCBn соответствует отрезок bn1 , длина которого (bn1) aCBn / a .

Рис. 3.9. Планы скоростей (à) и ускорений (á) для кривошипно-ползунного механизма

С учетом 1-го уравнения системы (3.46) из точки b плана проводим bn1 // ВС (от С к В), затем из точки n1 проводится луч, перпендикулярный

57

BC (направление aCB ). По 2-му уравнению системы (3.46) aC0 0 aCCk 0 , из точки p2 проводим луч, параллельный х–х (направление aCCz 0 ). На пересечении лучей получается точка С, которая соответствует концу вектора p1c , характеризующего aC . По величине aC ( p1c) a далее:

Направление углового ускорения звена CB 2 устанавливается по

правилу, приведенному на рис. 3.9, а.

Ускорения точек S и К определяется из подобия по пропорции

по тому же принципу, что и при построении плана скоростей: aS ( p1s) a , ak ( p1k) a .

3.9. Алгоритмы кинематического анализа рычажных механизмов

Основные положения

Развитие математических методов и компьютерных технологий привело к широкому использованию аналитических методов исследования кинематики механизмов.

Сущность таких методов заключается в получении для кинематических характеристик аналитических выражений, содержащих алгебраические и тригонометрические операции. Аналитические методы, в отличие от графических и графоаналитических, позволяют провести исследования кинематики эффективно, с высокой степенью точности.

Для исследования кинематики рычажных механизмов наиболее широко используется метод векторных контуров, разработанный В.А. Зиновьевым. Согласно этому методу звенья механизма представляют в виде векторов, образующих замкнутый контур. Векторные уравнения замкнутых контуров проецируют на оси координат и получают системы алгебраических уравнений для определения параметров положения звеньев механизма: пе-

58

ремещений и углов поворота (задача о положениях). Последовательно дифференцируя эти зависимости, составляют уравнения для определения скоростей точек и угловых скоростей звеньев (задача о скоростях), а затем и ускорений точек и угловых ускорений звеньев (задача об ускорениях), в общем случае для рычажных механизмов алгоритм кинематического анализа для всего цикла движения представлен блок-схемой на рис. 3.10.

звена от нулевого

Ðèñ. 3.10 Áëîê-схема алгоритма кинематического анализа

Блок-схема может быть дополнена блоком проверки существования механизма, выводами полученных результатов, печатью графиков и т.п. При проведении кинематического анализа систем известны схема рычажного механизма, размеры звеньев и закон движения входного звена. Для удобства дальнейшего изложения введем ряд допущений и обозначений:

59

1.Углы, образованные звеньями механизма с осью X системы координат, отсчитываются от положительного направления оси X против часовой стрелки, обозначаются через φК.

2.Входное звено механизма обозначается индексом 1, и, например, в случае его вращательного движения оно имеет известные угловую скорость φ1 и угловое ускорение ε1.

3.Угловая скорость и угловое ускорение К-го звена обозначаются как ωk

иεk, а скорость и ускорение точки этого звена как VSK и aSK.

4.Значения угловой скорости и углового ускорения звена К выражают-

ся через аналоги угловой скорости этого звена U k d k и аналог угло-1 d 1

вого ускорения Uk' dUk1 следующим образом: d 1

5. Отношение длины К-го звена к длине входящего звена обозначается через λ с соответствующим индексом.

Например,

6. Так как угол поворота К-го звена является функцией времени, то верны соотношения

dtd (cos k ) (cos k ) sin k k k sin k ,

60