книги / Теория механизмов и механика систем машин

таются прежними. В соответствии с вышеизложенным проводят делительную прямую, отстоящую от средней линии рейки на величину смещения х1m в направлении, соответствующем положительному или отрицательному смещению инструмента. Через точку пересечения делительной прямой с профилем зуба рейки Р проводят вертикаль, на которой от точки Р откладывают отрезок РО1, равный радиусу делительной окружности нарезанного колеса, т.е. получают его центр O1 и из него затем проводят все окружности. Построение эвольвенты производят изложенным ранее способом.

Рис. 7.10. Инструментально-реечное зацепление без смещения рейки

Переходная кривая, сопрягающая эвольвентную часть профиля зуба с окружностью впадин, образуется на станке автоматически как результат движения подачи скругленной части головки зуба инструментальной рейки относительно заготовки колеса.

Для построения относительных траекторий точек, лежащих на профиле рейки, сообщают заготовке и рейке движение с угловой скоростью –ω (угловая скорость колеса). Тогда колесо остановится, а делительная прямая рейки будет перекатываться без скольжения по делительной окружности колеса. Точки 1, 2, 3, 4 на делительной прямой рейки будут совпадать с точками 1', 2', 3', 4, 5' на делительной окружности колеса (см. рис. 7.10). Указанные точки предварительно были получены путем откладывания равных отрезков длиной 5–10 мм на делительной окружности и делительной прямой рейки. Координаты центра дуги определяются в точке скругления головки зуба рейки

171

0,38 m . Центр С0 дуги закругления головки инструмента при таком пере-

катывании опишет удлиненную эвольвенту. Ее строят так: соединяют точку С0 прямыми линиями с точками 1, 2, 3, 4, 5 и 1 , 2 , 3 , 4 , 5 и затем – названные точки между собой. В результате получают ряд треугольников (на-

пример, на рис. 7.10 показан только один C ).

055

Рис. 7.11. Инструментально-реечное зацепление со смещением рейки

Для определения, например, положения точки С5 необходимо из центра 5' провести дугу радиусом С05, а из центра О1 засечь эту дугу радиусом

C . Точно так же определяются положения точек С1, С2, …, С5, …. Соеди-

05

нив точки С0, С1, С5, получают траекторию точки С0. Если из найденных точек С0, С1, …, С5 построенной кривой провести дуги радиусом 0,38 m ,

то огибающая этого семейства дуг и будет профилем ножки зуба. Построение профиля ножки зуба при станочном зацеплении можно

провести и другими методами, в частности упрощенным. Из точки 1 определяем радиус окружности касательной к головке рейки, а затем из точки 1' проводим дугу того же радиуса. Повторяем построение соответственно для точек 2 и 2', 3 и 3' и т.д. (см. рис. 7.10, 7.11).

Огибающаявсехположенийпостроенныхдугбудетпрофилемножкизуба.

172

8. КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ МЕХАНИЗМОВ

Зубчатые передачи находят широкое применение в различных отраслях машиностроения и автомобилестроения. Они предназначены для передачи вращения от одного вала, называемого ведущим, к ведомому валу с заданным отношением угловых скоростей. Существуют понижающие передачи, которые называют редукторами, и повышающие передачи, называемые мультипликаторами. Различают передачи с неподвижными осями вращения колес, они называются рядовыми, и передачи с подвижными осями вращения колес, которые называются планетарными. Изучение кинематики зубчатых передач необходимо для решения задач их геометрического синтеза, подбора чисел зубьев колес, расчета механического коэффициента полезного действия и в других приложениях.

8.1. Передаточное отношение зубчатой передачи

Рассмотрим две схемы зубчатых передач (рис. 8.1). Передаточным отношением называется отношение угловой скорости ведущего вала к угловой скорости ведомого вала. Пусть ведущим будет вал О1. Тогда для обеих схем на рис. 8.1 получим

O1

Рис. 8.1. Рядовая зубчатая передача: à — внешнее зацепление; á — внутреннее зацепление

173

Знак минус соответствует внешнему зацеплению (см. рис. 8.1, а), знак плюс – внутреннему (см. рис. 8.1, б). Так как r1 = 0,5mz1 и r2 = 0,5mz2, где m – модуль колес, то передаточное отношение можно выразить через числа зу-

8.2. Кинематика рядовых передач

Рассмотрим рис. 8.2, на котором изображена рядовая зубчатая передача. Рассчитаем степень ее подвижности, используя формулу П.Л. Чебышева:

где n – число подвижных звеньев; р5 – число кинематических пар пятого класса; р4 – число кинематических пар четвертого класса. Учитывая, что число подвижных звеньев в зубчатых передачах равно числу пар пятого класса, упростим эту формулу:

В рассматриваемой передаче семь подвижных звеньев и шесть пар четвертого класса, поэтому подвижность

W = 7 – 6 = 1.

Зададимся угловой скоростью ω1 первого звена. Целью кинематического расчета является нахождение передаточных отношений от первого звена по всем звеньям передачи. Передача содержит шесть ступеней. Найдем передаточное отношение каждой ступени:

i12 = ω1 / ω2; i 3 = ω2 / ω3; i 34 = ω3 / ω4;

i 45 = ω4 / ω5; i 56 = ω5 / ω6; i 67 = ω6 / ω7.

174

Теперь перемножим эти передаточные отношения:

Следовательно, передаточное отношение рядовой передачи равно произведению передаточных отношений отдельных ее ступеней.

Рис. 8.2. Рядовая зубчатая передача

Определим знак передаточного отношения. Для этого выразим передаточное отношение каждой ступени через числа зубьев колес:

i12 = – z2 / z1; i23 = – z3 / z2; i34 = – z4 /z3;

i45 = z5 / z4 ; i56 = z6/ z5; i67 = – z7 / z6 .

Для передаточных отношений i45, i56 знаки не учитываем, так как векторы угловых скоростей валов четвертого и пятого, пятого и шестого не параллельны, их нельзя сравнивать по знаку. Здесь удобно применять правило стрелок, которое заключается в следующем. Наносим стрелку произвольно на ведущем колесе z1. Для внешнего зацепления стрелки должны встречаться одноименными элементами (начало или конец), для внутреннего зацепления – разноименными элементами.

По этим стрелкам видно, что передаточное отношение i13 имеет знак плюс, отношение i17 тоже положительно.

Найдем передаточное отношение i17, выраженное через числа зубьев:

i17 = i14 i46' i67,

где i14 i12i23i34 = (– z2/z1)(– z3/z2)(– z4/ z3 ); i4'6 = – (z5 / z4' )(z6 / z5); i6'7 = z7 / z6' .

175

Числа зубьев колес z2 и z5 сокращаются, такие колеса называются паразитными, они не влияют на величину передаточного отношения, а изменяют только его знак. Блоки z3, z3 , z4, z4 , z6, z6 называются кратными, поэтому

вся передача будет с кратным зацеплением. Окончательно для i17 получим i17 = (z3 z4 z6 z7) / (z1 z3 z4 z6 ). (8.9)

Если требуется найти передаточное отношение от седьмого колеса к первому, в выражении (8.9) следует поменять местами числитель и знаменатель:

8.3. Кинематика планетарных передач

Рассмотрим передачу, изображённую на рис. 8.3.

Рис. 8.3. Дифференциальная передача

Звено 1 называется центральным колесом, звено 2 – сателлитом, звено Н – водилом. Передача содержит три звена и одну пару четвёртого класса. По формуле (8.7) получим

W = n – p = 3 – 1 = 2.

Такая передача называется дифференциальной, так как в ней можно вычитать или складывать движения двух звеньев. Термин «планетарная» передача используется потому, что движение сателлита напоминает движение планет солнечной системы.

176

С центральным колесом и сателлитом жёстко свяжем отрезки, при помощи которых зададим углы φ1, φ2. Углы φ1, φН будут обобщёнными координатами, угол φ2 – функция положения сателлита. Для этого угла можно записать

Величины 1 , H – это обобщённые скорости, они должны быть за-

данными, 1 = ω1; H = ωН.

Величина φ2 – угловая скорость сателлита, φ2 = ω2, она является искомой. Найдем частную производную φ2/ φ1. При этом обобщенная координата φН должна быть постоянной, т.е. водило окажется остановленным

(рис. 8.4, а).

Рис. 8.4. Обращенные механизмы: à — при остановке вала; á — при остановке колеса 1

177

Какими будут угловые скорости колес после остановки водила, выясним позже, а сейчас найдем вторую частную производную 2 / H . Обобщенная

координата 1 будет постоянной, и колесо 1 окажется остановленным (см. рис. 8.4, б). Линейная скорость центра сателлита будет равной

После остановки водила получаем механизм, который называется обращенным. В обращенном механизме из угловых скоростей колес нужно вычитать угловую скорость водила. Выражение (8.18) называется формулой Виллиса, имеющей большое значение в кинематике планетарных передач.

Рассмотрим ряд примеров

Пример 1

На рис. 8.5 приведена схема простого планетарного редуктора Джеймса в двух вариантах. В первом варианте (рис. 8.5, а) центральное колесо 1 неподвижно, во втором варианте (рис. 8.5, в) неподвижным является центральное колесо 3. Подвижность механизмов, изображенных на рис. 8.5, равна единице:

W = n – p4 = 3 – 2 = 1.

178

отсюда

Аналогично для схемы на рис. 8.5, в:

Исследуем допустимые пределы изменения передаточных отношений для обеих схем. Положим, что z1= z2. Тогда z3= z1+ 2z2, так как все колеса одного модуля. По формуле (8.20) получим

i3Н = 1 + z1 / z3 = 1 + z1 / 3z1 = 4/3; iН3 = 3/4.

При ведущем водиле угловая скорость ω3 = (4/3) ωН. При ведущем колесе 3 угловая скорость ωН = (3/4) ω3. В первом случае получается повышающая передача (мультипликатор). Во втором случае – понижающая передача (редуктор). В обоих случаях передаточное отношение мало отличается от единицы. По формуле (8.22) найдем

i1Н = 1 + z3 / z1 = 1 + 3z1 / z1 = 4; iН–1 = 1/4.

При ведущем водиле угловая скорость ω1 – повышающая передача, ω1 = 4ωН. При ведущем колесе 1 угловая скорость водила ωН – понижающая передача, ωН = 0,25ω1. Здесь достигается значительно больший кинематический эффект по сравнению с передачей на рис. 8.5, а.

Возьмем как можно большее соотношение чисел зубьев колес. Для одной ступени рядовой зубчатой передачи не рекомендуется назначать передаточное отношение больше пяти.

Выберем z5= 5z1, тогда z3 = z1 + 10z1 = 11z1. По формуле (8.20)

i3Н = 1 + z1 / z3 = 1 + z1 / 11z1 = 12/11; iН3 = 11/12.

По формуле (8.22)

i1Н = 1 + z3 / z1 = 1 + 11z1 / z1 = 12; iН1 = 1/12.

Для схемы на рис. 8.5, а передаточное отношение опять мало отличается от единицы. Для схемы на рис. 8.5, в при ведущем водиле ω1 = 12 ωН повышающая передача. При ведущем колесе 1 угловая скорость водила ωН – понижающая передача; ωН = 1/12 ω1.

180