книги / Теория оптико-электронных следящих систем

Необходимо отметить следующее относительно входного случайного процесса. Непрерывный белый шум, т.е. случайный процесс с равномерным спектром на всех частотах, является математической абстракцией и не существует в природе, так как его дисперсия (площадь под спектром) бесконечна, а следовательно, бесконечна и мощность. Практически при реализации метода формирующего фильтра нужно подавать на вход слу­ чайный процесс с равномерным спектром только в диапазоне частот пропускания частотной характеристики W(jaS).

При цифровом моделировании на вход фильтра подаются некоррели­ рованные случайные величины с нормальным законом распределения, т.е. дискретный белый шум, ширина полосы которого зависит от шага дискретизации по времени At и определяется теоремой В.А. Котельникова:

/в 2At1 (3.5.22)

При моделировании шаг At выбирается таким образом, чтобы ширина спектра входного процесса была много больше полосы пропускания фильт­ ра. Тогда такой процесс воспринимается фильтром как белый шум, что эквивалентно условию

т.е. шаг счета должен быть существенно меньше постоянной времени фильт­ ра (это ate условие отмечалось в § 3.4).

Для облегчения нормировки дисперсия входного процесса выбирается из условия N0 = 1 . Запишем

Подставив в (3.5.24) значение сов из (3.5.22)

я

сов —2я/в = “ ,

At

получим

При N0 = 1 между дисперсией входного случайного процесса и шагом счета имеет место соотношение

обеспечивающее нормировку выражения (3.5.19).

С т а ц и о н а р н ы е с л у ч а й н ы е п р о ц е с с ы с п р о и з в о л ь ­ н ы м з а к о н о м р а с п р е д е л е н и я . Рассмотренный метод исполь­ зует свойство линейного фильтра не менять нормальность распределения случайного процесса, т.е. поданный на вход нормальный процесс на выходе также остается нормальным. Использование этого метода для генериро­ вания случайных процессов с законами, отличающимися от нормальных, в прямом виде невозможно, так как выходной процесс нормализуется и тем сильнее, чем больше инерционность фильтра [125]. Поэтому на вход фильтра нужно по-прежнему подавать нормальный случайный процесс,

а выходной процесс подвергать нелинейному преобразованию для получе­ ния требуемого закона распределения. При этом необходимо учитывать, что нелинейное преобразование изменяет корреляционную функцию (или спектр) случайного процесса, и вносить соответствующую поправку в частотную характеристику фильтра. Блок-схема генерирования случайного процесса с произвольным законом распределения и заданной корреляцион­ ной функцией приведена на рис. 3.24.

Рис. 3.24. Блок-схема генерирования случайного процесса с произвольным законом распределения

На вход фильтра Ф поступает некоррелированный нормальный случай­ ный процесс. На выходе фильтра получаем нормальный случайный процесс

вает случайный процесс с нормальным распределением в случайный процесс

спектральный состав случайного процесса. Задача состоит в том, чтобы для заданных характеристик Ку(т) , / (у) получить вид нелинейного преобра­ зования, рассчитать промежуточные характеристики S (со), К(т) и найти частотную характеристику фильтра.

Найдем необходимое нелинейное преобразование. Если на вход второго нелинейного элемента подать случайный процесс с равномерным распреде­

Задача первого нелинейного элемента —преобразовать нормальное распре­ деление после фильтра в равномерное на входе второго нелинейного эле­ мента. Амплитудная характеристика в этом случае имеет вид функции распределения нормального закона

х___t*

Теперь по известному нелинейномупреобразованию $(х) и заданным статистическим характеристикам навыходе нужноопределить статисти­ ческие характеристики на входе (спектр и корреляционную функцию). Для нормальных случайных процессов корреляционные функции на входе

242

вершины), то такую плотность распределения удобно аппроксимировать рядом по производным функции распределения нормального закона, так называемым рядом Эджворте. [125].

где Ф(>>) — функция распределения нормального закона; ух — коэффи­ циент асимметрии; 7 3 - коэффициент эксцесса.

Таблицы производных Ф^ОО приведены, например, в [125]. В этом случае оба нелинейных преобразования и у 2 задаются таблично и ап­ проксимируются подходящим аналитическим выражением.

В качестве примера рассмотрим генерирование на ЭВМ случайного процесса с корреляционной функцией вида

и законом распределения, заданным выражением (3.5.35), с параметра­

ми а = 4, 7 i = 2, 7 з = 0.

Корреляционная функция вида (3.5.36) соответствует физически не­ реализуемому так называемому сингулярному процессу, но часто исполь­ зуется как аппроксимация корреляционной функции бесконечно диф­ ференцируемых случайных процессов. Закон распределения вида (3.5.35) описывает распределение яркости природных ландшафтов.

ложения получено уравнение для корреляционной функции

Ry (r) = 0,33 • 10"4 +0,65Л(т) + 0,17Л2(т) + 0,57 • 10"37?3(т) + . ..

Ограничиваясь только двумя членами с /?(т) и R 2(т), получаем квадрат­ ное уравнение

0,17R2(т) + 0,657? (т) - Ry (т) = 0.

Численное решение этого уравнения с шагом At дает график корреля­ ционной функции, хорошо аппроксимируемый выражением

д (Т) = *-«!** (ах = 3 ,5).

Таким образом, на выходе фильтра нужно получить также гауссов процесс. Соответствующий энергетический спектр равен

В данном случае спектр не является дробно-рациональной функцией час­ тоты, что соответствует физически нереализуемому фильтру. Частотная 244

характеристика такого фильтра находится на основании (3.5.19)

Моделирование двумерных случайных полей. М н о г о у р о в н е в ы е с л у ч а й н ы е п о л я . Генерирование на ЭВМ двумерных случайных по­ лей может быть произведено теми же методами, что и для случайных процессов. Задача усложняется тем, что формирующий фильтр в данном

где г - модуль сдвига; к - модуль пространственной частоты; и, v - пространственные частоты по координатам х,у. Тогда выражение для спектра на выходе фильтра (3.5.19) запишется в виде

т.е. спектр поля на выходе двумерного фильтра, когда на его входе по­ дается белый шум, равен квадрату частотной характеристики [посколь­ ку импульсная характеристика двумерного фильтра является четной функцией, см. (3.2.8)]. Поэтому если задан спектр изотропного поля, то частотная характеристика двумерного фильтра находится просто, без разложения на множители:

т.е. так же, как для гауссова фильтра в предыдущем примере.

Импульсная характеристика фильтра связана с частотной характеристи­ кой преобразованием Фурье (3.4.8), которая для двумерных изотропных

Моделирование случайного поля лучше всего проводить методом свертки двумерного белого шума с импульсной характеристикой фильт­ ра аналогично преобразованию оптической системой размерного источ­ ника (3.2.27)

где пределы суммирования а и (3 определяются шириной импульсной ха-

245

Здесь SI C-XQ,, ур) — матрица некоррелированных случайных чисел с нормальным законом распределения. В результате получается изотропное случайное поле с нормальным законом распределения амплитуд. Для по­ лучения анизотропного поля найденную реализацию можно растянуть по одной из осей* или у изменением масштаба.

Найдем вид импульсной характеристики формирующего фильтра для некоторых полей. Наиболее часто при математическом моделировании ис­ пользуют описание корреляционных функций изотропных полей следую­ щими выражениями:

По формуле (3.5.41) находимимпульсныехарактеристики соответствую­ щих формирующих фильтров

производится просто с использованием метода дискретной свертки. При вычислении на ЭВМ выражение (3.5.49) аппроксимируется простой за­ висимостью, чтобы не вычислять специальную функцию. Для этого

до zmax = 2. Тогда максимальная ширина импульсной характеристики при вычислении суммы (3.5.43) равна rmax =2/0.

Рассмотренный метод позволяет получить двумерное поле с нормаль­ ным законом распределения и произвольной корреляционной функцией. Генерирование полей с произвольным законом распределения амплитуд может быть осуществлено методом нелинейного преобразования, изло-

246

женным выше, учитывая, что амплитуда поля —скаляр. Существуют мето­ ды, позволяющие генерировать поля с произвольным законом распределе­ ния и экспоненциальной корреляционной функцией [20]. Эти методы осно­ ваны на описании полей двумерными марковскими процессами.

Изотропное поле при моделировании работы ОЭСС может быть преоб­ разовано в анизотропное изменением масштаба по координатам х и у. Существуют более сложные методы генерирования неизотропных двумер­ ных полей с заданными корреляционными свойствами [178].

Использование метода дискретной свертки для генерирования двумер­ ных полей означает, по существу, представление формирующего фильтра в виде нерекурсивного двумерного фильтра. Недостатком нерекурсивных фильтров, как уже отмечалось в § 3.4, является большой объем вычисле­ ния. В принципе для генерации полей возможно использование рекурсив­ ных двумерных фильтров [87], но при этом возникает проблема обеспе­ чения устойчивости, которая решается гораздо сложнее, чем для одно­ мерных рекурсивных фильтров. Отметим, что вычисление двумерной дискретной свертки может быть произведено с использованием алгоритмов двумерного быстрого преобразования Фурье [148], но при этом значитель­ но усложняется программа генерации поля и требуется большой объем оперативной памяти ЭВМ.

Д в у х у р о в н е в ы е с л у ч а й н ы е п о л я . В ряде случаев на пред­ варительных этапах исследования оптико-электронных систем можно огра­ ничиться описанием входных сигналов более простыми полями, например двухуровневыми, принимающими значения 0 и 1 или -1 и +1 . Метод генери­ рования двумерных случайных полей с корреляционной функцией вида

впервые был предложен в работе [37].

Рассмотрим случайную функцию £ (х ), образованную сечением поля по координате х. Эта функция принимает только два значения + 1 и —1 , а моменты перемены знака случайные (так называемый телеграфный сигнал [68]). Пусть случайное число перемен знака на интервале Ах = х 2 - Х\ распределено по закону Пуассона

ат

Р т = - — е~а, (3.5.54) ml

где а - среднее число перемен знака на этом интервале, зависящее от его длины, т.е. а = а(Дх).

Найдем корреляционную функцию £ (х) как среднее значение произве­ дения

Первое равенство означает, что на интервале Ах произошло четное число

247

Второе равенство (3.5.56) означает, что на интервале Дх произошло нечет­ ное число перемен знаков, т.е. т = 1 , 3 , . . . Вероятность этого события равна

так дсак в общем случае поле может иметь разные свойства в направле­ ниях х и у.

В данном случае получается неизотропное случайное поле даже при Pi = Р2 = Руа заданные статистические свойства получаются лишь в направ­ лении координатных осей.

Генерирование случайного поля производится следующим образом. С датчика случайных чисел получают числа и£2, распределенные по зако­ ну Пуассона с параметром а. Эти случайные величины показывают, на ка­ кое количество интервалов разбивается каждая сторона поля в направлении координат х и у (т.е. количество перемен знака по каждой координате).

Для определения координат смены знаков используется свойство закона Пуассона, по которому вероятность попадания числа точек на отрезок / за­ висит только от длины этого отрезка, но не от его положения на числовой оси. Иными словами, точки располагаются с одинаковой средней плотно­

на размер поля по каждой стороне А хи Ау, дают координаты точек смены знака в направлении х и у.

248

Через полученные точки проводятся линии, параллельные координатным осям; таким образом производится разбивка поля на прямоугольники, которые закрашиваются в шахматном порядке. При этом четным интерва­ лам присваивается значение +1, нечетным —1. Прямоугольники, соответ­ ствующие интервалам одного знака, считают с яркостью, равной единице, с разными знаками —с яркостью, равной нулю.

Такое двухуровневое поле, конечно, беднее многоуровневого, но может быть использовано при решении ряда задач. Его преимущество состоит в быстром методе генерирования и небольшой памяти для хранения, так как здесь не нужно помнить яркости всех точек поля, достаточно записать координаты точек смены знака на каждой из осей.

В и з у а л и з а ц и я д в у м е р н ы х п о л е й . В практике математиче­ ского моделирования часто требуется наглядное представление полученной реализации случайного поля, т.е. его визуализация. Такая необходимость возникает при трактовке результатов моделирования, для наглядного представления работы ОЭС, для оформления отчетных материалов. Существуют специализированные вычислительные комплексы обработки изображений, позволяющие выводить двумерные поля на дисплеи или представлять их в графической форме. Однако универсальные ЭВМ, наибо­ лее приспособленные для математического моделирования, такими устройствами не оснащаются. Поэтому приходится пользоваться штатными устройствами вывода информации. При этом используются разные методы.

Двухуровневое поле просто рисуют по известным координатам точек перемены знака, для чего достаточно вывести на печать случайные числа по осям х и у.

Многоуровневое поле может быть распечатано на АЦПУ символами раз­ личной степени черноты. При этом полный размах амплитуд поля разбивает­ ся на несколько градаций по яркости и каждая градация печатается опреде­ ленным символом. Проведенное фотометрирование символов АЦПУ дает значения, приведенные в табл. 3.5. Можно использовать и другие симво-

249

Рис. 3.25. Вывод поля яркости на алфавитно-цифровое печатающее устройство

Рис. 3.26. Вьгоод поля яркости на перфокарту