книги / Теория оптико-электронных следящих систем

характеризующим быстродействие ОЭСС, и минимизировать его. В качест­ ве методики, позволяющей довести вычисления до конца в общем виде, можно воспользоваться интегральной квадратической оценкой

/о = 7A2(t)dt,

о

описанной А.ДлКрасовским в [89]. Можно пойти и более непосредствен­ ным путем, если рассмотреть в качестве критерия быстродействия время окончания переходного процесса Г, удовлетворяющее условию

Однако такой критерий уже не приводит к конечным выражениям и пред­ полагает использование ЭВМ с процедурой поиска минимума, описанной в § 3.6, посвященном идентификации математических моделей.

Заметим здесь, что быстродействие (а следовательно, и полоса пропус­ кания замкнутого контура) ОЭСС ограничивается сравнительно небольшим крутящим моментом. Гораздо большими возможностями в этом смысле обладает гидравлический объемный привод. Высокое быстродействие его достигается благодаря высокому давлению рабочей жидкости (до 2000 кПа). При этом снижаются вес и габариты исполнительного элемента. Математи­ ческое описание гидропривода по форме не отличается от уравнений вида (2.3.1).

Индикаторный гиропривод. Обратимся теперь к наиболее распростра­ ненному виду исполнительных элементов —к гироскопам, работающим в режиме управления ОЭСС. Гироскопические исполнительные элементы обладают значительными преимуществами перед электрическими и гид­ равлическими: помимо малой инерционности и высокой точности работы они обладают принципиальной возможностью развязки следящего коор­ динатора по отношению к подвижному основанию и, следовательно, свой­ ством ’’запоминания” положения оптической оси прибора в инерциальном пространстве. Простейшей разновидностью исполнительных элементов это­ го типа является трехстепенный гироскоп (рис. 2.8). Конструктивно он выполняется обычно таким образом, что его ротор 1 несет на себе и один из элементов оптической части (например, рефлектор). Эллипсоид инер­ ции ротора сплюснут по оси х. Вместе с внутренней рамкой 2 ротор может поворачиваться вокруг оси Ог\. Внутренняя рамка может вращаться вмес­ те с наружной рамкой 3 вокруг оси O f, подшипники которой жестко связа­ ны с подвижным основанием.

Ввиду симметрии эллипсоида инерции все оси, проходящие через точку О и перпендикулярные к оси Ох> являются главными. Момент инерции относительно любой из этих осей равен /. Момент инерции относительно оси Ох обозначим через / р. При движении гироскопа точка О остается неподвижной в системе координат Oxyz, и поэтому любое движение его

Угловые скорости р и q будут компонентами угловой скорости трехгран-

111

Рис. 2.8. Исполнительный элемент гироскопического типа с одним ротором: 1 —ро­ тор; 2 - внутренняя рамка; 3 - наружная рамка

ника Oxyz на оси у и z. Проекщш угловой скорости трехгранника на оси Ох обозначим г'. Она необязательно равна г, т.е. трехгранник Oxyz вращает­ ся вокруг оси Ох независимо от ротора /.

Согласно теореме о кинетическом моменте [18]

в Х9 0у и 6Z мы должны учесть эффект вращения вектора Я относительно осей у и z (см. рис. 2.8), а также векторов В_у и _0Z относительно оси Ох. Таким образом, получаем систему скалярных равенств

ddz

~+ H q - r ' d y = M z ,

112

Составив определитель Гурвица четвертого порядка с коэффициентами полинома (2.3.24), получаем условие, ограничивающее добротность гиро­ скопического привода:

(2,3.25)

Так как величина %очень невелика, то для повышения добротности приво­ да ОЭСС следует увеличить отношение #//. Это достигается за счет боль­ шой скорости вращения ротора (30000 —60000 об/мин). В свою очередь это требует повышенной частоты питающего напряжения (500 — 1000 Гц).

Гиропривод с разгрузкой от внешних возмущений. Трехстепенный гиро­ скоп не способен развивать больших управляющих моментов. В то же вре­ мя в ряде конструкций ОЭСС вращающаяся часть может обладать значи­ тельной массой (например, при тяжелых телеобъективах). Внешние пере­ грузки со стороны подвижного основания при несбалансированности подвеса отклоняют ось оптической системы, в результате чего в управляю­ щем сигнале появляется ложная составляющая.

В настоящее время разработаны схемы гиропривода со специально предусмотренными мерами защиты против внешних силовых возмущений. Рассмотрим двухгироскопную схему гиропривода, которая называется гиростабилизированной платформой (рис. 2.9). Внутренняя рамка платфор­ мы 1 жестко связана с наружными рамками 2 и 3 гироскопов Гi и Г2. Под действием коррекционного момента, развиваемого датчиком Д1э платформа прецессирует вокруг оси у к . Момент датчика Да заставляет платформу прецессировать вокруг оси zK. При этом перемещаются тяги Ту и Т2, связанные с оптическим блоком, который подвешен в собствен­ ном кардановом подвесе. Таким образом осуществляется сопровождение излучающего объекта. Возмущающие внешние моменты разворачивают

Рис. 2.9. Двухроторный гироскопический исполнительный элемент: 1 —внутренняя рамка; 2, 3 - наружные рамки; 4, 5 —внутренние рамки

114

гироплатформу. При этом гироскопы стремятся сохранить неизменным направление осей вращения в инерциальном пространстве, и на датчиках П1 и П2 углов поворота внутренних рамок 4 и 5 возникают сигналы, пос­

компенсация внешних возмущений.

Работа исполнительных элементов гироскопического типа основана на принципе прецессии. При этом, как мы видели в уравнениях (2.3.21), в каналах управления появляются обратные связи. Из-за различия в знаках эти связи называются антисимметричными [51, 63]. В многороторных гироскопических приводах эти связи значительно ослаблены. В дальней­ шем будем рассматривать общий случай гиропривода силового типа с пере­ даточной функцией вида

Здесь ipz (s) и ipy (s) — изображения углов поворота оптического блока ОЭСС (под действием тяг Т2 и Т^, см. рис. 2.9); Mz (s) и My (s) - изоб­ ражения моментов датчиков Д! и Д2 ; кт— коэффициент усиления гиро­ привода; £ — коэффициент демпфирования; Т — постоянная времени.

§2.4. Анализ периодических режимов в ОЭСС

снепрерывным управлением

Современные ОЭСС представляют собой сложные технические устрой­ ства с многочисленными связями между каналами управления. Многие элементы описываются нелинейными характеристиками. Совокупность других элементов описывается линейными дифференциальными уравне­ ниями высокого порядка. Основным методом анализа и конструирования ОЭСС служит математическое моделирование. В то же время для выявле­ ния закономерностей общего характера, определяющих динамику ОЭСС, для обзора пространства параметров элементов и возможностей выполне­ ния требований по качеству сопровождения необходимо иметь в распоря­ жении аналитические методы. Анализ проводится обычно при некоторых упрощениях математической модели ОЭСС, не вносящих существенных изменений в качественную картину процесса слежения. Разработка доста­ точно простой модели, допускающей математическое исследование, пред­ ставляет собой самостоятельную и не всегда выполнимую задачу. Поэтому часто задача исследования ограничивается созданием модели, характерис­ тики которой совпадают с характеристиками реальной ОЭСС лишь при не­ которых режимах работы.

В настоящем параграфе мы рассмотрим упрощенную модель ОЭСС с по­ вышенной точностью слежения и с силовым гироприводом, обладающим выраженными колебательными свойствами. Обозначим компоненты угло­ вого рассогласования А через Aj и Д2:

и складывая, имеем

Соотношения (2 .4 .8) и (2.4.9) образуют систему, из которой можно найти частоту и>0 и амплитуду А0 предполагаемого периодического движе­ ния. Действительно, при со0 Ф 0, поделив (2.4.8) на (2.4.9), получаем

Амплитуду А0 после этого можно найти либо из (2.4.8), либо из (2.4.9). Можно записать и общее выражение для определения F(A0), откуда при за­ данной зависимости F(А) находится амплитуда А0. Например, умно­ жая (2.4.8) на sine, а (2.4.9) на cose и складывая, получаем

Формулы (2.4.10) и (2.4.11) представляют собой искомые выражения для вычисления частоты и амплитуды автоколебаний. Остается выяснить, ка­ кие из значений этих параметров соответствуют реально наблюдаемым процессам.

Заметим, что устойчивое периодическое движение (автоколебания) может возникнуть лишь при неустойчивости положения равновесия, кото­ рому соответствует тривиальное решение системы (2.4.5) A^f) = Д2(0 = 0. Анализ устойчивости положения равновесия сводится к исследованию зна­ ков корней характеристического уравнения системы (2.4.5). Наиболее просто это уравнение записывается, если в (2.4.5) перейти к изображе­ ниям. Сохраняя символы A^s) = L{Aj(f)} и A2(s) = L {A 2(t)}9 запишем

Непосредственное применение к уравнению шестого порядка (2.4.13) процедуры Гурвица приведет к весьма громоздкой системе неравенств. Поэтому следует использовать другой прием, позволяющий понизить порядок определителя Гурвица. Запишем (2.4.13) в форме

(Г 2Х3 +2 £ГХ2 +Х)2 +,2F(0)(r2 X3 +2 £ГХ2 + X)cose + F 2(0)=0.

(2.4.14)

Корни этого уравнения удовлетворяют условию

Г 2 Х3 + 2 £ГХ2 + Х = —F(0)cose± x/F 2(0)cos2e - F 2(0) =

117

Из (2.4.15) видно, что корни X представляют собой комплексные числа. Подставив в (2.4.15) X = а + //3 = а + /оо0 и приравнивая вещественные части, получаем

Из (2.4.17) во всяком случае видно, что при F(0) < 2£/rcose положе­ ние равновесия неустойчиво.

Рассмотрим теперь условия устойчивости в ОЭСС с непрерывным управ­ лением кругового предельного цикла, описываемого равенствами (2.4.6). Для этого введем отклонения от этого предельного цикла

и условия устойчивости кругового предельного цикла сводятся к усло­

Здесь параметры оо0 и А0 предельного цикла должны удовлетворять урав­ нениям (2.4.7).

Метод малого параметра. Б ы с т р ы е и м е д л е н н ы е д в и ж е н и я . Мы рассмотрели две разновидности возможных движений в системе (2.4.5). Для более широкого исследования возможных движений в ОЭСС с непре­ рывным управлением воспользуемся представлениями, связанными с асим­ птотическими методами теории нелинейных систем (см. [3], где приводит­ ся метод малого параметра для систем, описываемых уравнениями второ­ го порядка).

При использовании асимптотических методов существенным фактором является малая величина коэффициента демпфирования %в передаточных

где 1л —малый параметр; /(х , х) —некоторая, вообще говоря, нелиней­ ная функция своих аргументов. При ц = 0 уравнение переходит в урав­ нение гармонического осциллятора, решение которого x(t) = a cost +

118

+ bsint легко находится. При малых значениях параметра д решение нели­ нейного уравнения (2.4.21) должно мало отличаться от движения гармо­ нического осциллятора.

Следуя этому методу, запишем уравнения (2.4.5) в форме

в форме

Д(!3) + СО2 Д(,0 = цФг (Д!, Д2, Д<2)),

Д^3) + со2Д ^ = д Ф2 (Д1 , Д2, Д^2)).

При д = 0 легко находим порождающее решение уравнений (2.4.5)

А х =Су +ai cos(oof + ipw), A2 = 02 + 02 cos(oof + <p2o)>

где Ci, c2>0i, 02, ^ю» ^20 —постоянные, определяемые начальными ус­ ловиями.

При д Ф 0 эти постоянные становятся медленноменяющимися функция­ ми времени, скоростью изменения которых можно пренебречь при их диф­ ференцировании. Таким образом, полагая для краткости cot + ={Pi (0> будем иметь

А/ = Ci(t) + ai (Г) cos ^ (f),

Оценим допущенную погрешность при записи (2.4.25). Дифференцируя формально первое равенство (2.4.25), получаем точное соотношение

Ар} (г) = ср} if) + (г) cos& (f) - 0/ (Г) ^(1) (t) sin ^ (г). Приравнивая это выражение второму условию (2.4.25), находим

С,(1) (О + Я,(1) (0 cos<A-(0 - щ (0 ftp (?) sin (ft- (?) + at (?)cosing (?) = 0.

(2.4.26)

Аналогично, дифференцируя формально второе равенство (2.4.25) и при­ равнивая результат третьему условию (2.4.25), имеем

119

Наконец, дифференцируя третье равенство (2.4.25) и подставляя резуль­ тат в уравнения (2.4.24) с учетом приближенного выражения второй произ­ водной Д ^ (t ), получаем

CO

Соотношения v2.4.26) — (2.4.28) позволяют оценить скорости измене­ ния функций Cj(t), я,-(г) и Vi(t). Действительно, из (2.4.26) и (2.4.28) получаем

СО

Далее, умножая (2.4.27) на sin ^ j(r), (2.4.28) —на c o s (г) и складывая, видим, что

СО

Умножая (2.4.27) на c o s ^ f ) , (2.4.28) - на sin^/(r) и вычитая, получим оценку для <p£l) (t) :

СО

Таким образом, процессы ct (t) и я,* (г) не содержат в правых частях (2.4.29) и (2,4.30) параметра со и их следует считать медленными. Процесс ipf (t) следует считать быстрым с медленноменяющимся вторым слагаемым в (2,4.31).

Следуя далее методике Ван-дер-Поля, осредним правые части уравне­ ний (2.4.29) - (2.4.31) на периоде быстроменяющихся переменных (t) и кр2 ( 0 , равном 2 я/со:

Подставив в (2.4.32) явные выражения функций Ф,- (2.4.23), получим укороченные уравнения типа Ван-дер-Поля [3].

Исследование решений системы (2.4.24) предполагает, что составляю­ щие вектора Д углового рассогласования представляются в виде разло­ жений

120