книги / Теория оптико-электронных следящих систем

Из условия

7Г 7Г

Аппроксимация произведением косинусов четной степени. Распределение освещенности в кружке рассеяния задается формулой

В отличие от (3.2.16) сечение ФРТ в данном случае имеет вид квадрата со сглаженными углами. Величина константы А зависит от показателя степени п и для различных п приведена в [81]. Например, для п = 1 имеем А = Го2. Таким образом, аппроксимация ФРТ формулами (3.2.15), (3.2.20) и (3.2.21) дают близкий результат, что иллюстрируется рис. 3.5, где при­

ведены значения аппроксимирующих выражений g ^— , 0^.

шествует для всех значений аргументов —00 < х < °°, —00 < >> < °°. Это свойство используется в § 3.5 для моделирования случайных полей. Кроме того, сигнал на выходе временного фильтра запаздывает по отношению к входному; в пространственных фильтрах такого запаздывания (в прост­ ранстве) не происходит.

Последовательное изложение теории оптических передаточных функций содержится в монографии [81].

П о с т р о е н и е и з о б р а ж е н и я п р о т я ж е н н о г о и с т о ч и и - к а. Импульсная характеристика g (х, у) оптической системы описывает рас­ пределение освещенности в изображении изолированной точки. Такими точками можно считать малоразмерные объекты на большой дальности, например звезды в системах астроориентации. В большинстве случаев объекты приходится рассматривать как размерные и для вычисления сиг­ нала на выходе оптической системы использовать двумерный интеграл свертки

преобразования; Ви (х, у) — распределение яркости изображения в фо­ кальной плоскости оптической системы. Здесь интеграл свертки записан в общем виде для неразделимой пространственно-зависимой функции рас­ сеяния точки.

Как будет подробно рассмотрено в. § 3.3, при математическом модели­ ровании изображение задается в дискретных точках X/, у\ с шагом Ах = = Ау = А. Тогда интеграл свертки представляется двойной суммой, ко­ торая для наиболее часто встречающейся неразделимой пространственноинвариантной ФРТ запишется в виде

где пределы суммирования а и 0 определяются шириной импульсной ха­ рактеристики оптической системы, т.е. размером кружка рассеяния г0, следующим образом:

крываемых” импульсной характеристикой, с весами, пропорциональными значению ФРТ в соответствующей точке.

Представление преобразования оптического сигнала формулой (3.2.28) соответствует описанию оптической системы как двумерного нерекурсив­ ного цифрового фильтра. Преобразование изображения цифровым фильт­ ром можно записать в матричной форме [87]. Распределение яркости объ­ екта, заданное в дискретных точках, представим двумерной матрицей В0. Импульсная характеристика двумерного фильтра ^(х, у, х \ у ') , задан-

183

ная также в дискретных точках, может быть представлена матрицей G, называемой пакетным оператором. Тогда действие оптической системы можно свести к операции перемножения матриц

где В и — матрица, представляющая собой цифровое изображение объекта

ифокальной плоскости оптической системы.

Вслучае разделимой ФРТ матрица G представляется в виде кронекерова произведения матриц

где Gx , Gy —матрицы преобразования по осям х, у соответственно. При этом элементы матрицы G имеют вид

ральную симметрию: Gx = Gy = G. Тогда элементы матрицы выходного изображения можно представить в виде [9]

цы цифрового изображения В 0. Таким образом, представляется возмож­ ность использовать не сами цифровые изображения в виде матрицы В 0, а работать с собственными векторами и собствёнными числами изобра­ жения, рассматривая его как оператор. В ряде случаев такой подход может привести к повышению быстродействия программы и экономии памяти ЭВМ. Подробнее кодирование изображений путем преобразований рас­ смотрено в § 3.3.

Дискретные значения ФРТ обычно выбирают в количестве 25—30, так что общее машинное время при вычислении двумерной свертки получа­ ется довольно большим. Поэтому формулу (3.2.28) используют только при построении изображений объектов с переменной яркостью, например случайных полей, описывающих облачный или земной фон. Для объектов заданной геометрической формы и с равномерной яркостью отдельных участков изображение строят с помощью масштабного преобразования (3.2.1), не вычисляя свертки, а ФРТ учитывают только на краях изобра­ жения в виде краевого следа, т.е. размытого изображения резкой грани­ цы. В наиболее простом случае равномерной освещенности в кружке рас­

систем с высокой разрешающей способностью. В этом случае размер круж­ ка рассеяния меньше самых мелких существенных деталей изображения

иФРТ можно не моделировать (она вырождается в двумерную б-функцию)

ипроводить только масштабное преобразование.

184

Это можно показать на примере преобразования оптической системой двумерного случайного поля яркости. Пусть весовая функция объектива задана выражением

g(x, у) = g(z) = А е ~ 2у(х2 *у2 * - A e ~lyz2,

где z = у х 2 + у 2 —модуль смещения. Соответствующая частотная харак­ теристика определяется преобразованием Ганкеля [81]

G(k) = 2 n / g(z)J0(kz)zdz =

Здесь к = ум 2 + v2 —модуль пространственной частоты; и, v — простран­ ственные частоты по координатам х ,у .

Зададим корреляционную функцию изотропного случайного поля выра­ жением

Яо(2) = е -* * \

при этом двумерный спектр будет

S0(k) = 2TTfR0(z) J0(kz) zdz =

о

Как известно, спектр случайного сигнала на выходе линейной системы определяется квадратом модуля ее частотной характеристики, т.е. спектр изображения в фокальной плоскости будет

S„(k) = S0(k)G2(k) =

Соответствующая корреляционная функция равна

Сравним ширину корреляционной функции исходного сигнала и преоб­ разованного изображения в зависимости от качества оптической системы.

185

При 7 > 5, что соответствует хорошо сфокусированной системе, получим & « а и (z) = / ? 0 (z). В этом случае влияние оптической системы на изоб­ ражение несущественно и ее учет при моделировании производится только масштабным преобразованием. При у ^ ос, что соответствует сильно рас­ фокусированной системе, 5 « 7 , корреляционная функция изображения не зависит от входного сигнала и имеет место полное размытие изображения.

Необходимо отметить следующее. Если плоскость объекта и плоскость изображения не параллельны друг другу, т.е. объект визируется под уг­ лом, то в изображении возникают ракурсные искажения, которые долж­ ны обязательно учитываться. При этом наряду с масштабным преобразо­ ванием нужно провести преобразования, связанные с переходом в повер­ нутую систему координат. Эти преобразования широко известны (см., на­ пример, [34]) и здесь не рассматриваются.

ления координат объекта изображение, создаваемое оптической систе­ мой, подвергается анализу с помощью специальных устройств, называе­ мых, как известно, анализаторами изображения. Анализаторы изображе­ ния (АИ) располагаются в фокальной плоскости оптической системы и соответствующим образрм перемещаются относительно изображения (или изображение относительно их). При этом световой поток модулирует­ ся или развертывается во времени. Часто анализатор изображения одно­ временно является и фотоприемником.

Анализаторы изображения решают три основные задачи.

1.Преобразование пространственного распределения светового пото­ ка в функцию времени (электрический сигнал) для дальнейшего усиле­ ния и преобразования средствами электроники.

2.Выделение полезного сигнала от объекта из фоновых помех, т.е. осуществление пространственной фильтрации, в результате чего повы­ шается отношение сигнал/шум,

3.Определение координат объекта в системе координат оптико-элект­ ронной системы, т.е. внесение в электрический сигнал определенным об­ разом закодированной информации о положении. Это дает возможность осуществить автоматическое слежение за объектом.

Рис. 3.6. Преобразование сигнала анализатором изображения

В общем виде преобразование сигнала анализатором изображения и фо­ топриемником показано на рис. 3.6.

Различные типы анализаторов изображения рассмотрены в [14, 67, 121]. В соответствии с табл. 3.1 по степени разложения оптического изображе­ ния на отдельные элементы анализаторы изображения можно разделить на следующие группы.

1. Модулирующие АИ без разложения изображения с интегральным фотоприемником.

186

2.Матричные АИ, простейшим примером которых является четырех­ площадочный анализатор изображения.

3.Растровые АИ, производящие развертку изображения, частным слу­ чаем которых является телевизионный анализатор изображения.

В дальнейшем будут рассмотрены методы моделирования анализаторов

каждой группы.

Моделирование анализаторов изображения является центральным мо­ ментом в модели оптико-электронной системы. Отметим, что этот вопрос

Рис. 3.7. Оценка точности модели­ рования анализатора изображения

практически не освещен в литературе, за исключением небольшого раз­ дела в [99]. Основная трудность заключается в вычислении доли сигна­ ла, прошедшего через анализатор изображения сложной формы на фотоприемник.

Электрический сигнал на выходе фотоприемника при условии постоян­ ства его чувствительности S по полю зрения равен

(х, у); D — площадь засвеченной части фотоприемника или прозрачной части анализатора изображения.

При сложной форме анализатора изображения интеграл (3.2.36) анали­ тически не вычисляется, поэтому его приходится находить численным ме­ тодом, записав выражение (3.2.36) в виде двойной суммы

пI

Здесь ЕИ(Х(, yj) — изображение объекта в дискретной форме с шагом

Ах = Ау = А, т.е. цифровое изображение.

Вэтом случае для каждой точки изображения с координатами (*,-, уу) производится проверка попадания ее в область D и суммирование выпол­ няется только для значений изображений Eu (Xj, yj), попавших в эту об­ ласть. Границы области D задаются аналитическими выражениями, вид которых зависит от конструкции анализатора изображения.

Очевидно, что точность выражения (3.2.37) возрастает с увеличением л и / , т.е. с уменьшением шага дискретизации А. Однако при этом сущест­ венно возрастают вычислительные затраты. Оценим точность этого мето­ да в зависимости от шага дискретизации. Рассмотрим простейший анализа­ тор изображения в виде вращающегося полудиска, приведенный на рис. 3.7, а. Изображение точечного объекта примем в виде кружка рассея-

187

ния радиуса г0 с равномерным распределением освещенности. На рис. 3.7, б в более крупном масштабе показан момент прохождения края

ная ошибка получается, когда элементарная полоса шириной Ах распо­ ложена параллельно краю модулятора. Эта ошибка пропорциональна пло­ щади полосы

Амплитуда сигнала на выходе модулятора пропорциональна площади пятна рассеяния

Минимальная ошибка, очевидно, равна нулю.

Поскольку ориентация изображения объекта относительно края модуля­ тора произвольная, примем распределение ошибки равномерным. Тогда среднее значение ошибки равно

4 у/Ъ 'о

Выразив радиус пятна в относительных единицах г0/А, найдем количест­ во точек изображения в кружке рассеяния

Таким образом, при количестве точек в кружке рассеяния около 30 получаем среднюю ошибку порядка 10%. Повышение точности вычислений достигается увеличением отношения г0/А, однако при этом, как видно из (3.2.43) и (3.2.44), точность вычислений повышается пропорционально

188

первой степени этого отношения, а количество точек, т.е. объем вычисле­ ний, пропорционально квадрату отношения. Следовательно, повышение точ­ ности вычислений влечет за собой резкое возрастание вычислительных затрат. Поэтому при математическом моделировании всегда нужно нахо­ дить разумный компромисс между точностью и объемом вычислений.

Рассмотрим алгоритмы моделирования некоторых наиболее распростра­ ненных анализаторов изображения.

В р а щ а ю щ и й с я п о л у д н е к. На рис. 3.8 приведен анализатор изображения в виде вращающегося непрозрачного полудиска. Такой анали­ затор изображения определяет координаты объекта в поле зрения оптико­ электронной системы по сравнению фазы модулированного сигнала с фазой опорного [67].

Введем системы координат: О к хк у к — система координат, связанная с оптической системой (система координатора), оптическая ось перпенди­ кулярна к плоскости рисунка; Ок хму м — подвижная система координат, связанная с вращающимся модулятором; Оху —система координат, свя­ занная с центром изображения объекта. Для определенности будем рас­ сматривать в качестве объекта точечный источник, тогда его изображение

с угловой скоростью сом .

При моделировании прохождения оптического сигнала через АИ нужно для каждого момента времени t определить положение модулятора и затем определить точки изображения, попавшие на прозрачную часть. В этом случае алгоритм выглядит следующим образом.

Для известных координат центра хц(г), у ц (t ), вычисляемых по отдель­

189