книги / Теория оптико-электронных следящих систем

Отсюда видно, что для выполнения условия нечетности ДХ в корреляцион­ ном дискриминаторе независимо от статистики и структуры входного сиг­ нала достаточно соблюсти равенство нулю первого слагаемого в правой части, а это достигается, если

# = # ( 0 0 ) = — + Л 7Г, п б / , ( 1 . 6 . 1 1 )

Напомним, что при At = 0 краевой эффект не проявляется, если нет сдвигов по другим компонентам (см. § 1.4), и, следовательно, единствен­ ным условием ’’строгого” нуля ДХ при выполнении (1.6.8) или вытекаю­ щего из него (1.6.11) является отсутствие помех.

Преобразовав по Фурье обе части (1.6.9), получим взаимный спектр энергии коррелируемых сигналов

К ^ 5 = 5вхФ?Ф2,

где в тех же условиях, что и для (1.6.9), при выполнении (1.6.11), оче­ видно, имеем

Re (Ф* Ф2) = 0.

Тогда легко прийти к результату, идентичному с (1.6.8) :

Фх *Ф2 <+gl®g2 =<Pl2(Af) = </>i2(-A ,),

а отсюда (gl9g2) =0.

Свобода выбора среди всех возможных пар взаимно ортогональных фильтров позволяет найти такую, которая обеспечит выполнение условия оптимизации КД, минимизирующего ошибку измерения в смысле метрики, назначаемой выбором матрицы Q в (1.3.3) . На практике параметры фильт­ ров определяют, сообразуясь не только с точностью оценки малых сдвигов, но учитывая требования к ширине ДХ, а также простоту конструктивного исполнения КД.

Здесь уместно заметить, что, реализуя фильтры в каналах КД с помощью цепей минимальной фазы [15], следует учитывать ограничения, вытекаю­ щие из существования однозначной связи между АЧХ и ФЧХ. Такая связь выражается дополнительным уравнением, при выводе которого исполь­ зуется (1.6.11):

к более общему типу линейных дискриминаторов с ортогональной фильт­ рацией очевидна. Убедимся, что и разностный КД относится к тому же типу. Пусть Ф(со) есть АЧХ каждого из двух одинаковых каналов разност­ ного КД. Примем условие отсутствия помех и краевых эффектов и, преоб-

71

разовав (1.6.5) с помощью (1.6.9) , получим ДХ

1 00

U(Д,) = — / SBX(со) Ф2 (со) [cos со(А* + 8t) - cos со(Af - 61)] dco =

77 О

200

=——/ SBX (со)Ф2 (со) sincoSfSin coA*dco,

7Г О

что с точностью до констант совпадает с (1.6.12) , если

Другими словами, процедуры относительного сдвига сигналов в разност­ ном КД можно исключить путем введения в каналы линейных фильтров, произведение АЧХ для которых определяется формулой (1.6.13), а раз­ ность ФЧХ —формулой (1.6.11) .

Практический выбор характеристик линейных трактов, перед корреля­ тором зависит от критериев оценки пригодности реализуемых ДХ по фор­ ме, а также по стабильности и разбросу их основных параметров. Пер­ вым, хотя и не единственным, показателем качества КД служит стабиль­ ность нуля его выходной характеристики.

Влияние неидеальности ФЧХ каналов КД на его характеристику. Соот­ ношения (1.6.9), (1.6.10) позволяют оценить, как влияют на ДХ отличия

ность ФЧХ каналов КД отличается от требуемой на величину е ( со) так, что

причем для любого со из интересующей области частот выполняется усло­ вие е(со) <п/2. Учитывая его при подстановке (1.6.14) в (1.6.10) и удер­ живая члены не выше второго порядка малости, получаем ДХ в виде

I оо оо

U(А*) « —[ / SBXФ ^ 2 sincoA,dco + / SBX ФхФ^совсоД^ dco], (1.6.15)

где опущено обозначение частоты как аргумента всех подынтегральных функций, кроме тригонометрических.

Второе слагаемое справа есть четная функция сдвига, описывающая искажение ’’идеальной” нечетной ДХ, представленной первым слагаемым.

Обозначив каждое из них соответственно через UH и U4, можем изобразить графически оба слагаемых и сумму, как показано на рис. 1.22.

Степень искажения характеристики КД из-за нарушения фазовых соот­ ношений удобно оценивать величиной Де сдвига нуля ДХ. Этот сдвиг,

f S BX$ ^ 2cjdoj

о

72

Здесь значение крутизны найдено путем дифференцирования подынтег­ ральной функции только в первом слагаемом (1.6.15) по параметру А*, поскольку вклад от второго слагаемого невелик. Выражение (1.6.16) при­ годно для вычисления моментов распределения уходов нуля ДХ, если за­ дана статистика подынтегральной функции е(со) и форма SBX(со) , Ф1 (со) и Ф2 (со).

Выбор и расчет ДХ в КД с ортогональными фильтрами первого порядка.

Другие показатели, по которым в линейном КД можно судить о качестве

Рис. 1.22. Искажение характеристики корреляционного дискриминатора из-за на­ рушения условия ортогональности каналов

Рис. 1.23. Определение полной апертуры и монотонной зоны дискриминационной характеристики

ДХ и ее пригодности для работы в составе ОЭСС, также определяются час­ тотными свойствами каналов. При инженерных расчетах, кроме парамет­ ров, необходимых при оценке помехоустойчивости (см. § 1.9), используют в роли таких показателей полную апертуру ДХ по входному воздействию 2Ашах и ширину монотонной зоны 2АМ (рабочую апертуру), показанные на рис. 1.23.

От апертуры ДХ существенно зависит реакция системы на экстремаль­ ные воздействия — быстрые сдвиги изображений, максимальные уровни помех и другие факторы, способные вызывать срывы слежения. Количест­ венные расчеты экстремальных ситуаций на ранних стадиях проектирования ОЭСС сложны и малопродуктивны. Поэтому, в частности, при выборе формы ДХ дискриминаторов руководствуются качественными требования­ ми, вытекающими из упрощенного анализа процессов срыва слежения.

Известно, например из [91], что ожидаемая вероятность срыва при про­ чих равных условиях снижается, если увеличить площадь под расчетной кривой | U(At) |, описывающей обе ветви ДХ в пределах полной апертуры. Это заставляет стремиться к увеличению последней, если, конечно, в ре­ зультате не ухудшаются иные свойства системы.

Принцип формирования характеристик КД для широкополосных, в част­ ности телевизионных, сигналов с помощью фильтров предоставляет опре­ деленные возможности в части управления формой ДХ. Предварительный выбор фильтров в каналах дискриминатора ТВ сигналов можно произво­ дить без учета помех и краевых эффектов, считая главными критериями ширину ДХ и стабильность характеристики. Последующие уточнения мож­

73

но производить в процессе отладки системы по более сложным критериям, учитывающим динамические и флуктуационные ошибки слежения, вероят­ ность его срывов, относительное влияние технических помех, их зависи­ мость от настройки КД и другие факторы, не поддающиеся априорным оценкам.

Рассмотрим формирование ДХ в случае применения в каналах КД прос­ тейших взаимно ортогональных фильтров первого порядка с характерис­ тиками

с одинаковыми постоянными времени т = 7 ”1. Произведение Ф* Ф2 явля­ ется чисто мнимым, а потому ВКФ импульсных реакций таких фильтров

у (Д г) есть нечетная функция сдвига

у 7 со

Ф1 Ф2 = -Г------Г у sign (Д*) ехр (—7 1Дг |) = (р7.

у 2 + со2

Чтобы оценить ожидаемую форму ДХ, аппроксимируем сточностью до константы используемую часть ожидаемого спектра энергии ТВ сигнала в одном поле квадратом АЧХ некоторого формирующего фильтра

Такой спектр будет формироваться в однокаскадных усилителях каждо­ го из каналов КД перед ортогональными фильтрами, если спектр входно­ го ТВ сигнала равномерен в области, превосходящей частотный интервал от нижней границы сон = а до верхней сов = /3.

Поскольку в целях снижения потерь энергии .максимум произведения АЧХ ортогональных фильтров, находящийся на критической частоте сокр =

=7 , следует размещать между частотами среза формирующих фильтров,

вдальнейшем остановимся только на случае, когда

сов > сокр > сон.

Находя взаимный энергетический спектр S сравниваемых сигналов в при­ нятой модели, можно фурье-преобразованием определить ожидаемую ДХ

S (со) г* (а2 + со2)(/32 + со2)(7 2 + со2) ”■^7®' ^а|3 = ^(Дх). где

'Pc43=( 1 - ^ г ) [0 ехр ( - 0 1Д, |) - а ехр ( - а | Д,I )]•*>

74

При 7 = 1 результат имеет вид

Р2

*') signД(-

J 2 - 1

(1.6.19) Наращивая число фильтрующих звеньев, можно убедиться в том, что выходная характеристика КД будет представляться последовательной сверткой нечетной функции ipy с соответствующим числом четных *papi9т.е.

U(Af) = <ру ®Уа01 ® уа02 ® • • • ® ® • • • (1.6.20)

Если все фильтры, обеспечивающие ортогонализацию и формирующие ДХ, являются звеньями первого порядка, то в свертке участвуют только экспоненциальные функции с показателями, линейно зависящими от сдви­ га A t. Поэтому (1.6.20) дает в результате

где щ - частоты среза в фильтрах; bt —коэффициенты, являющиеся алгеб­ раическими функциями различных п —число свободных переменных, т.е. количество независимых фильтрующих звеньев.

Правая часть (1.6.21) позволяет построить зависимости полной аперту­ ры и монотонной зоны ДХ от параметров формирующих и ортогонализующих фильтров. Они находятся численным решением соответствующих уравнений

£(Д т ах) = 0, и'(А м) = 0.

Расчеты, выполненные на ЭВМ по второй из этих формул и уравнению (1.6.19), представлены на рис. 1.24 кривыми, которые вычислены для раз­ ных соотношений между нижней сон = 2nFH и верхней сов = 2TTF B грани­ цами полосы пропускания формирующих цепей и критической частоты оокр = 2TTF KP ортогональных фильтров в безразмерном представлении таком, что

а : р : у = шн :сош :w Kp.

Из графиков видно, что монотонную зону ДХ 2ДМ грубо можно оце­ нивать в секундах как величину, обратную критической частоте ортого-

Рис. 1.24. Обобщенные зависимости монотон­ ной зоны дискриминационной характеристики от параметров фильтров в каналах корреля­ ционного дискриминатора

нальных фильтров сокр в радианах в секунду. Такой оценке соответствует штриховая горизонтальная прямая на уровне 2ДМу = 1. При точном расче­ те на результате сказывается положение НЧ и ВЧ границ формирующих частотных характеристик или соответствующих точек на кривой, аппрок­ симирующей спектр сигнала. При 0,1 < а /7 <0,9 и 1,2 </3/7 < 10 справед­ ливо линейное приближение

Полная апертура ДХ в указанных условиях аппроксимируется уравнением

2 Дшах 7 3,3 + 0,9 7 а "1 + 2,45 7 /?"*.

Ход реальных ДХ в телевизионных КД со стандартным разложением сигна­ лов при значениях критической частоты порядка у ~~ 105 -г 106 рад/с в ок­ рестностях нуля инвариантен к смене сюжетов с точностью до крутизны, зависящей от энергии сигнала.

В монотонной зоне ДХ слабо зависит от оптической структуры изобра­ жений при наблюдении природных ландшафтов или объектов искусствен­ ного происхождения, если только в спектре регистрируемого сигнала не содержатся мощные периодические составляющие, могущие попасть в по­ ложу рабочих частот дискриминатора. За пределами указанной зоны, как правило, становятся заметными меняющиеся от изображения к изображе­ нию отклонения от расчетных ДХ, обусловленные наличием краевых эф­ фектов.

Учет статистики наблюдаемого поля позволяет оценить разбросы ДХ на множестве изображений, регистрируемых в ОЭСС при наличии крае­ вых эффектов из-за ограниченности угла зрения. Для случайной модели однородного гауссова скалярного поля с заданной корреляцией такой учет выполнен в [110].

Результаты этой работы по существу показывают, что дисперсия ДХ растет пропорционально относительной мощности краевого эффекта. Более содержательные нестационарные модели полей в указанном смысле не исследовались.

’’Предельная” выходная характеристика линейного КД. Рассмотрение характеристик линейных КД на простейших фильтрах позволяет заклю­ чить, что при многих характерных параметрах формирующих и ортогонализирующих цепей значения крутизны ДХ A t) для всех сдвигов, отлич­ ных от нуля, по модулю не превосходят крутизны в точке A t = 0.

Это заключение носит достаточно общий характер, поскольку сделан­ ный вьюод можно получить из свойств АКФ всякого бесконечно диффе­ ренцируемого финитного сигнала и из алгоритма (1.6.8), описывающего одномерный линейный КД, приняв условие отсутствия помех и краевых эффектов и одно ограничение на свойства фильтров.

76

удовлетворяющая дифференциальному уравнению

d

ТГ V = ^12 • d At

Ограничимся фильтрами, для которых характеристику \р можно предста­ вить как АКФ некоторой функции g :

<p-g®g.

Используя ассоциативность и коммутативность свертки, определение АКФ сигнала и возможность ее дифференцирования путем взятия производной от одного из сомножителей [137], получаем для крутизны таких ДХ

Выделенные круглыми скобками результаты однократных сверток в силу дифференцируемости / и сохранения аналитичности при свертке с любой (в том числе и обобщенной) функцией можно считать новыми процессами, которые различаются лишь знаками аргументов:

s = / ' ® g = s( f )> s = / ' ® | =

Следовательно, их свертка, выражающая с точностью до знака крутиз­ ну ДХ, представима, как АКФ Ks сигнала s :

- U \ A t) = Ks(At) = (s ® 0(Д»)-

Используя общие свойства АКФ и освобождаясь от ненужных различий в знаках, можно записать

Полученный результат на практике позволяет судить о том, какие огра­ ничения на форму выходной характеристики КД накладывает линейность

Рис. 1.25. Отыскание предельной дискрими­ национной характеристики линейного кор­ реляционного Дискриминатора сигналов ко­ нечной длительности

трактов обработки сигналов в сочетании с условием обязательного гашения остатков переходных процессов от действия предшествующей строки раз­ вертки к началу очередной, если развертка происходит по строкам.

В телевидении указанное условие реализуется схемами привязки уров­ ня и, строго говоря, означает, что линейные фильтры нестационарны. Это осложнение можно учесть, если ограничить длительность реакции фильтров в каналах КД временем Т6 , а при рассмотрении ДХ помнить, что она не отличается от нуля вне интервала ± Тс ,

77

Пользуясь ограничениями на крутизну и ширину ДХ в линейном КД, несложно найти такую функцию U (A t), которая максимизирует площадь под этой характеристикой на полуинтервале значений A t > 0 при граничных условиях £7(0) - 0, U(TC) = 0 и заданном значении

к0 = U \ 0) > 0.

Этой функцией, показанной на рис. 1.25 и описьюающей предельную ДХ, является функция

Найденное решение сокращает диапазон поиска наилучших фильтров для каналов линейного КД при его проектировании.

§ 1.7. Нелинейные преобразования и стабилизация характеристик в корреляционных дискриминаторах

Назначение и разновидности нелинейных преобразований в ОЭС.

Данную выше интерпретацию алгоритма работы корреляционного дискри­ минатора можно сохранить во многих случаях, когда каналы, предшествую­ щие коррелятору, содержат нелинейные цепи. Напомним, что общие прин­ ципы построения КД были выявлены безотносительно к спектральному составу сигналов-изображений. Как следует из (1.6.7), качественный пока­ затель —нечетность одномерной ДХ —остается без изменений, если только используемые нелинейности (квантователи уровня, ограничители и т.п.) не нарушают четности ВКФ по измеряемому сдвигу при отсутствии помех и краевых эффектов. Очевидно, любые нелинейные преобразования сигна­ лов, сохраняющие сдвиг между ними, можно считать допустимыми. Множество допустимых вариантов нелинейной обработки коррелируемых сигналов весьма значительно. Это нашло отражение в технической литера­ туре по коррелометрам разного назначения [45, 55, 66, 82, 168].

Примером нелинейного преобразования из области ОЭС служит приме­ нение в телевизионном дискриминаторе операций бинарного квантова­ ния (’’бинаризации”) полезных переменных слагающих видеосигналов и дифференцирования одного из полученных колебаний перед подачей его на коррелятор. Такая знаковая обработка позволяет формировать входные сигналы коррелятора в виде последовательностей прямоугольных импуль­ сов фиксированной амплитуды, поэтому его схема получается достаточно простой. Ее недостатки применительно к ОЭСС проявляются в трудностях точного центрирования переменных слагающих перед их ограничением, а погрешности выполнения этой операции сказываются на положении нуля ДХ.

Степень вредного влияния ошибок центрирования в знаковых коррело­ метрах изучалась в [56] для случая стационарных гауссовых процессов, однако из-за отличия распределений ТВ сигналов от стационарных и нор­

78

мальных достоверный расчет уходов нуля в КД такого типа затруднителен. Анализ нелинейных корреляционных дискриминаторов часто приводит к тому, что ОЭСС, построенные на их основе, приходится исследовать методом ’’черного ящика”, подбирая адекватные математические модели лишь после обширных экспериментов с действующими макетами.

Поиск ’’хороших” методов нелинейного преобразования сигналов для ОЭС преследует обычно две противоположные цели: упрощение аппа­ ратуры и улучшение изображений в смысле, зависящем от назначения системы. В примере с бинарным квантованием достигается первая цель. Она характерна для полностью автоматических ОЭСС, которые должны быть инвариантными к смене сюжетов и не решают иных задач, кроме сле­ жения за предъявленным изображением.

Вторая цель преследуется, например, в устройствах нелинейной частот­ ной (так называемой гомоморфной) фильтрации изображений [31], обычно используемой для улучшения их детальности и ослабления НЧ помех за счет подчеркивания высших частот в спектре логарифма входного сигнала. Этот прием помогает при распознавании образов и в случае визуа­ лизации видеосигналов в ОЭС, взаимодействующей с человеком.

Тому же назначению служат различные нелинейные устройства для улучшения гистограммы (распределения) мгновенных значений видеосиг­ нала, в конечном счете повышающие различимость малоконтрастных дета­ лей. В ТВ технике такие устройства называют контрастерами. Число приме­ ров возможных преобразований видеосигналов перед их корреляционным сравнением можно было бы продолжить, пользуясь обилием описанных в литературе алгоритмов и методов ’’препарирования” изображений с целью подчеркивания или выделения определенных свойств [100, 148].

О применимости алгоритмов КД в системах с морфологическими прео разователями изображений. Одной из характеристик, инвариантных к коле­ баниям яркости элементов или освещенности объектов, составляющих изображение, служит его ’’форма”. Сравнение ’’формы” изображений при­ нято считать предметом морфологического анализа [44, 60, 101—104].

Понятие ’’формы” связано со ступенчатой аппроксимацией непрерывно­ го изображения f ( x ) некоторой конечной суммой <р(х) из п взвешенных бинарных функций Xi(x), служащих индикаторами непересекающихся под­ множеств Jli поля зрения 30. При этом имеют место соотношения мно­ жеств и функций:

п

SC= U A it Л { n Л / - ф при i Ф /, <= 1

П

¥>(*) - # / ( дг) = 2 aiXi(x), I = 1

79

Если в изображении ^(дг) все коэффициенты разложения at различны, то его формой будет система А (у ) из 2п непересекающихся подмножеств поля зрения 30, в которую входят всевозможные объединения A t и пустое

множеств. Число множеств, образующих систему А (<£), может служить мерой сложности формы.

С каждым из N изображений f a и аппроксимирующих их функций можно связать свое разбиение поля зрения 30 на подмножества A ai так, что будут иметь место соответствия (гомоморфизмы)

Это делают, например, при разработке и исследовании алгоритмов для чи­ тающих автоматов [44].

В других случаях, когда целью морфологического анализа изображений является оценка отличий от некоторого единственного эталона [104], разбиение целесообразно выполнять один раз, обрабатывая эталон / 0 и используя для этого хотя бы процедуру нелинейного квантования уровней. Применение оператора проектирования ЗР0 к любому изображению / а , предъявленному для сравнения, приводит к разложению его по функ­ циям {Хго}> характеризующим форму эталона, и аппроксимации проекцией

<Ра(х) = ? 0 /OW ,

которую и используют для сравнения с аппроксимированным эталонным изображением

¥>0О ) = 9>ofo(x).

Линейность морфологического оператора проектирования 3* позволяет применить многие результаты линейной теории сигналов и теории оценок к решению задач анализа изображений по их ступенчатым аппроксимациям, характерным, в частности, для современной цифровой техники. Строгое обоснование применимости аппарата обычного и обобщенного корреля­ ционного сравнения к изображениям, подвергнутым такой аппроксимации, дано в упоминавшихся фундаментальных работах Ю.П.Пытьева [101, 102].

80