книги / Теория оптико-электронных следящих систем

Непрерывные представления сигналов и алгоритмов их обработки удобны при исследовании аналоговых способов преобразования входной информации, тогда как дискретные более приемлемы для цифровых систем. Возвращаясь к дискретным представлениям, остановимся на структуре нормирующего множителя в алгоритме КД.

Нормирование оценок и компенсация перекрестных связей в алгорит­ мах многомерных КД. Для уяснения физического смысла операции норми­ ровки рассмотрим пример алгоритма корреляционного дискриминатора, оценивающего вектор параметров размерностью т = 2 . Это может соответ­ ствовать измерению компонент плоского сдвига-переноса изображений в прямоугольных декартовых координатах. Считая сигналы-изображения дискретизованными на М элементов по полю зрения, находим вектор-стол­ бец оцениваемых параметров сдвига

где с учетом (1.3.13) введены новые обозначения для сигналов, подверг­ нутых фильтрации:

Из (1.3.17) видим, что Oji = а//, поэтому нормирующая матрица всегда симметрическая. Обычно в реальных изображениях сложной структуры корреляция между частными производными по разноименным компонен­ там сдвига (перекрестная корреляция) невелика. Если это так, то диаго­ нальные элементы в матрице (1.3.16) оказываются много больше недиа­ гональных. Количественную меру ожидаемого различия можно найти, если задаться условием нормальности распределения множеств двумерных функций { /} и {у } и их ковариациями, как это сделано, например, в [110 ].

Определитель 3)2 матрицыВ 2 находится, как обычно:

причем второй член много меньше первого.

41

Руководствуясь правилами обращения матриц и выражая в силу ска­ занного определитель приближенным равенством

SO2 ^ Оц°22>

получим нормирующую матрицу в виде

Обозначим компоненты ненормированного вектора оценок принятыми ранее символами:

ритма многомерного корреляционного оценивания, его отличия от одно­ мерного случая и общие с ним признаки.

Так, из (1.3.18) видно, что вектор ненормированных оценок, состоя­ щий из компонент, полученных одномерным дифференцированием (1.3.21) и ( 1 .3 .22), подвергается при умножении на матрицу В21 не только норми­ ровке по величине и размерности, но и повороту. Иными словами, как и предполагалось, оптимальный многомерный алгоритм учитывает необхо­ димость компенсации перекрестных зависимостей между результатами измерения скалярных составляющих относительного сдвига. Это и при­ водит к появлению вторых членов в скобках в (1.3.19) и (1.3.20).

В случае т = 3 третьей составляющей сдвига изображений может яв­ ляться, например, изменение масштаба или поворот. При этом нормцрую-

42

щий множитель ищется, как обратная матрица третьего порядка1)

Эти выражения упрощаются, если перекрестная корреляция производных по компонентам сдвига мала. Тогда в правой части (1.3.24) можйо сохра­ нить лишь первый член, а каждый элемент матрицы (1.3.23) округлить до большего из двух слагаемых. В результате получим

Лз упрощенного выражения хорошо видно, что диагональные элементы мат-

А

рицы нормируют каждую компоненту оценки А по величине и размерности, а недиагональные определяют регрессию на нее со стороны других компо­ нент.

Поскольку в рамках допущений, принятых при отыскании алгоритма дискриминатора, операция нормирования может быть только линейной, структуры оценок любой скалярной составляющей m-мерного сдвига однотипны и имеют вид

сии на |-ю компоненту со стороны/-й составляющей.

В принципе с ростом абсолютной величины сдвига линейная регрессион­ ная модель может стать слишком грубой. Для получения более точных оценок в области, где ДХ еще монотонно зависит от сдвига, возможен учет регрессий высших порядков, однако в корреляционных следящих измерителях целесообразнее минимизировать ошибки слежения, не прибе­ гая к дальнейшим усложнениям алгоритмов оценки.

Наличие перекрестных членов в виде вторых слагаемых в составе (1.3.25) учитывает возможную анизотропность корреляционных функций двумерных скалярных полей.

1) Здесь, как и для т = 2, предполагается, что необращенная матрица не вырождена.

43

Наряду с этими особенностями при реализации алгоритмов КД нередко приходится принимать в расчет искажения оценок взаимных корреляций из-за так называемых краевых эффектов, обусловленных ограниченностью поля зрения приемника изображений. Следующий параграф посвящен ука­ занным вопросам, а также краткому напоминанию понятий из аппарата обычного корреляционного анализа и теории фильтрации двумерных скалярных сигналов.

§ 1.4. Двумерная корреляция и ее оценка при краевых эффектах

Краевые эффекты в оценках двумерных корреляций изображений из-за ограниченности апертуры ОЭС. Рассмотрение корреляционных функций двумерных скалярных сигналов, т.е. изображений, и соответствующих спектрально-энергетических характеристик следует начать с определения краевого эффекта, наличие которого зависит от условий применения сис­ темы, тогда как общие свойства двумерных корреляций сохраняются независимо от них.

Пусть двумерный сигнал, регистрируемый приемником изображений, описывается скалярной функцией /(х ). Ее аргумент —двухкомпонентный вектор

Х = \ \ х 1 х 2 IIх,

составляющие которого можно задать как функцию времени, если в описа­ нии сигнала надо, например, отразить процесс временной развертки. Вслучае когда фотоприемный тракт не является объектом специального изучения, его свойства идеализируют, полагая функцию / прямо пропорциональной значению наблюдаемого поля в каждой точке я:. При необходимости, дефор­ мируя шкалу уровней сигнала, нетрудно учесть нелинейную зависимость тока фотоприемника от интенсивности падающего потока излучения, а свертывая исходное поле с апертурной функцией оптико-электронной системы (ОЭС), ввести поправки на разрешающую способность ее звеньев.

Область значений х, в пределах которой регистрируемый сигнал отличен от нуля, ограничена углами зрения оптических элементов ОЭС или разме­ рами развертывающего телевизионного растра, тогда как границы исход­ ного поля произвольны. Для описания этого ограничения удобно исполь­ зовать оператор ’’пространственного стробирования”, т.е. умножать неогра­ ниченное углами зрения изображение на функцию ’’окна” hQ(х) :

(Rx —множество всех точек, попадающих в поле зрения системы; / 0 (х) — световое поле, проецируемое в плоскость приемника излучений без учета ограничений по углу зрения.

В дальнейшем будем назьюать собственно изображением функцию /, а не /о. Опираясь на (1.4.1) и учитывая физическую природу поля, убеж­

44

даемся, что функция / 0является целой и непрерывной, а функция/ —непре­ рывной интегрируемой и имеет ограниченный носитель [137].

С другой стороны, всякое непрерывное изображение / можно дискре­ тизировать по выбранным координатам и квантовать по уровням так, что новое изображение будет неотличимо от исходного с точностью до сколь угодно малых погрешностей.

Таким образом устанавливается эквивалентность представления изоб­ ражений двумерными непрерывными функциями либо двумерными матри­ цами конечного порядка из чисел ограниченной разрядности [109]. Матри­ цы, в свою очередь, можно заменять векторами, переупорядочив нумера­ цию элементов [100]. Это позволяет при анализе по необходимости поль­ зоваться дискретными либо непрерывными математическими моделями изображений и их характеристик, а названные свойства функций / освобож­ дают нас обычно от детализации вопросов сходимости и существования при интегральных преобразованиях.

Рассмотрим важную особенность оценки корреляции двух детермини­ рованных смещенных изображений в корреляционной ОЭС с ограничен­ ным полем зрения.

Пусть

/ = / ( * ) И / Д = / ( * - Д ) = / ( Д - * ) ;

Двумерная АКФ обычного или ’’аддитивного” сдвига А, по определению,

где ® — символ двумерной свертки по области (Rx, охватывающей все точки х, для которых отлично от нуля подынтегральное выражение в формуле12)

(~ci +AJ ) (-с2+ Д2)

где, учитывая финитность подынтегральных функций, можно расширить пределы интегрирования до бесконечных.

45

Раскрывая символическую запись (1.4.5), находим из (1.4.3) и (1.4.4) разность ЬК между истинной АКФ и ее оценкой:

Легко видеть, что при любой функции / 0

6АГ(0) = О,

тогда как для А Ф 0 разность ЬК Зависит от функции, описьюающей изоб­

сдвинутых окон h0 и ho . Поэтому функционал ЬК, представляющий со­ бой погрешность в оценке истинной АКФ, можно назвать краевым эффек­ том,количественная мера которого определяется разностью АКФ двух участ­ ков неограниченного исходного поля / 0, образующихся при сдвиге А,

Рис. 1.9. Происхождение краевого эффекта при оценке автокорреляционной функции

как показано штриховкой на рис. 1.9. При использовании корреляцион­ ной процедуры для оценки сдвигов, отличных от нуля, краевой эффект, очевидно, также вызывает ошибки.

Между прочим, из (1.4.6) видно, что в случае статистической однород­ ности (стационарности в широком смысле) множества реализаций функции /о математическое ожидание краевого эффекта равно нулю при любом А,

есть несмещенная оценка АКФ, если/ 0 однородна.

Практическое значение этого вьюода не слишком велико, так как при каждом кбнкретном измерении сдвига А на вход корреляционного диск­ риминатора поступает вполне детерминированный, хотя, быть может, и, неизвестный заранее двумерный сигнал, представляющий собой реализацию из случайного ансамбля, который в большинстве реальных случаев не является стационарным и тем более эргодическим. Последнее обстоя­ тельство требует известной осмотрительности в использовании стохасти­ ческих моделей изображений для анализа корреляционных систем, пос­ кольку большинству таких моделей (часто без нужды) приписывается стационарность.

46

В связи со сделанным замечанием наиболее важными оказываются об­ щие особенности двумерной АКФ К (А) всякого финитного сигнала /(х ), сохраняющиеся независимо от того, входит ли / в ансамбль реализаций ка­ кой-то случайной функции.

Перечислим представляющие интерес известные [107, 145] свойства двумерной АКФ и ее фурье-образа —двумерной ’’энергетической” спект­ ральной плотности (СП) S (со).

Особенности двумерных спектрально-корреляционных характеристик финитных изображений. 1. Любое вертикальное центральное сечение дву­ мерной АКФизображения есть четная одномерная функция своего аргумен­ та, т.е. имеет место центральная симметрия

К(А) = К ( - А ) .

Это свойство непосредственно выводится из (1.43) путем замены пере­ менной я: на х + А.

2.Глобальный максимум двумерной АКФ достигается при А = 0, что следует из свойств вертикальных центральных сечений, представляющих собой в любом случае одномерные АКФ сдвигов по направлению сечений.

3.Любое вертикальное центральное сечение двумерной СП изображения есть четная функция своего аргумента —двумерной пространственной час­ тоты со, т.е. СП, как и АКФ любого изображения, обладает центральной симметрией

5 (со) = 5 (-со).

Центрально-симметричные двумерные функции (АКФ или СП) можно

Рис. 1.10. Типичные, сечения автокорреляцион­ ной функции или спектральной плотности скаляр­ ных финитных сигналов над плоскостью сдвигов или пространственных частот соответственно

4.СП и АКФ изображения / суть вещественные функции. Это следуе

из определения (1.4.3) и сопряженного с ним соотношения, в частности1)

1) Это выражение есть двумерный аналог (1.2.1). См. применение на с. 30.

47

ное двухстороннее фурье-преобразование, а

SFf(у) = / / ( дс) exp (j шх)й х, «X

Связь СП и АКФ в цепочке соотношений (1.4.7) устанавливается с учетом того,что

£ у (со ) # /( * ) •

5. Вертикальное сечение двумерной АКФ по одной из координатны осей связано одномерным фурье-преобразованием с одномерной спектраль­ ной плотностью ^ (c o x ), которую находят интегрированием двумер­ ной СП

Здесь индексы 1 и 2 взаимозаменяемы, так же как и в другом, сопряжен­ ном с (1.4.16), соотношении:

Если Д2 = С =£ 0, то вертикальное сечение АКФ смещается от начала коор­ динат на эту величину, оставаясь параллельным оси Дх. Связь полученной в сечении кривой с СП в этом случае имеет вид

Здесь правая часть может оказаться комплексной, в силу чего левая не бу­ дет обладать свойством четности относительно точки Дх = 0, которое присуще обычным АКФ одномерных сигналов и центральным сечениям двумерных АКФ.

Асимметрия нецентральных сечений АКФ (и, следовательно, СП) харак­ теризует степень анизотропности изображения. В корреляционных дискри­ минаторах, служащих для покоординатного слежения в ОЭСС, анизотроп­ ность может вредить нормальной работе, если смещение поля зрения вдоль одной из координат вызывает сдвиг максимума в сечении АКФ, по кото­ рому отслеживается другая координата. Этот фактор оказывается неучтенным, если при анализе принята гипотеза о круговой симмет­ рии АКФ, хорошо подтверждающаяся путем расчета статистической АКФ на достаточно большой совокупности реальных изображений [62].

48

6 . Учет возможных структурных различий между изображениями дости гается введением взаимных спектрально-корреляционных характеристик двух различных финитных функций (х) и fj (х) и соответственно их фурье-образов f'i(co) и ^} ( со). Взаимная спектральная плотность (ВСП) есть в общем случае комплексная функция частоты

Si, ( С0 ) = #7 (с о )^ (с о ),

а взаимно корреляционная функция связана с ВСП двумерным преобразо­ ванием Фурье и представляет собой, как и (1.4,5), свертку изображений, первое из которых повернуто на 180° инверсией аргумента:

Заметим, что ВКФ как свертка действительных изображений всегда будет вещественной функцией сдвига А, легче поддающейся непосредственному измерению, нежели ВСП, которую в силу ее комплексного характера труднее регистрировать. Этим, вероятно, можно объяснить, почему изобре­ татели ОЭС по крайней мере до появления быстродействующих микропро­ цессоров предпочитали корреляционные методы спектральным способам сравнения изображений [45, 55,82,108].

Среди других свойств ВКФ и ВСП отметим, что взаимная корреляция двумерных функций, аргументы которых инвертированы по отношению к (1.4.9), дает ВКФ в обращенных координатах

Ыа ) = к п {А ,, Д2) - f f ® fi = К „ ( - А ,, - Д 2) = К{,■(—А).

Соответственно для ВСП имеем

■ $ /,(« ) = 5 ,} ( с о ) .

Эти формулы представляют собой обобщение аналогичных одномерных зависимостей.

Центральные сечения двумерной ВКФ (равно, как и ВСП) в общем слу­ чае подобно одномерным ВКФ несимметричны, т.е.

Кц( А ) Ф К ц { - Д).

Поэтому глобальный максимум ВКФ не совпадает с точкой А = 0. Именно здесь видно, что внесение отличий в одно изображение относительно друго­ го может вызывать смещение максимума ВКФ от начала координат и порождать ошибки в работе следящей ОЭС с КД сдвигов.

Так как результаты корреляционного сравнения зависят от фильтрую­ щих свойств звеньев, через которые оба изображения поступают на корре­ лятор, t напомним, как действуют линейные фильтры на двумерные сигналы.

Действие линейных фильтров на двумерные спектрально-корреляцион­ ные характеристики. Линейные фильтры можно разделить на два класса по признаку однородности. Однородным называют линейный преобразова­ тель, для которого справедлив принцип транспозиции, означающий инва­ риантность отклика /вых(*) такой системы к аддитивному сдвигу х0

входного воздействия / вх (х). Это означает выполнение при любом Хо операторного равенства

^ ° / ВЬ1Х(х) = £x <Ux°fBX(*),

где «С* - оператор системы; %XQ —оператор аддитивного сдвига.

В радиотехнике и автоматике однородные линейные системы называют стационарными и чаще всего имеют в виду фильтры электрических сигна­ лов как функций времени. В ОЭС роль линейных преобразователей могут играть и электрические цепи, и оптические (радиооптические) элементы — линзы, зеркала и т.п. Ни один из последних не бывает строго инвариантным к аддитивному сдвигу хотя бы потому, что всегда можно указать такой сдвиг x0i при котором изображение выйдет из ’’поля зрения” элемента. Это не мешает применять стационарные математические модели оптических систем в той же степени, в какой можно использовать понятие установившегося режима в анализе цепей.

Пределы применимости однородной (стационарной, инвариантной) мо­ дели оптического фильтра определяются границами области, в которой его свойства практически не зависят от сдвига относительно фильтруемого изображения.

где g = g(x) - функция рассеяния точки (ФРТ), т.е. отклик элемента на двумерную 6-функцию (на однородном фоне). В математике и математиче­ ской физике такой отклик называют функцией Грина, а в электротех­ нике —импульсной характеристикой системы. В инвариантных фильтрах, заданных откликами g x(х) и g 2 (х) , ВКФ входных изображений Кувх (А) преобразуется в выходную ВКФ К у( А) посредством обычной двумерной свертки

где

a

^ 1,2 = ,2 ( ^ ) S £ I ,2 (*)-

Из (1.4.11) видно, что ip12 (А ) есть ВКФ импульсных откликов.

В области двумерных пространственных частот эквивалентом для

50