книги / Теория оптико-электронных следящих систем

откуда

(2.6.13)

При Ii > /2 следует 4R 2 — A2Q > 4 R 2 — А\ 0, т.е. точка равновесия распо­ лагается ближе к более слабому источнику / 2. При 1г < / 2 имеем А г0 < Л2о • Для определения положения точки равновесия на прямой 1Х12 введем параметр к = A10/A2o и обозначение Ап = Д10 + А20.Тогда А10 =кАп/(1 + к)

иА20 = Ап/ (1 + к ), а искомый параметр

-l j ) + l \ r l A l - 4 R 2( l \ - I I )

(2.6.14)

4Л2(/? - / 1 ) + Д2/1

Покажем теперь, что точка равновесия, определяемая значением пара­ метра к (2.6.14), является неустойчивой. Для этого полезно рассматривать зависимость ах(Ах) (2.6.3) и аналогичную ей зависимость ах (Д2) как сос­ тавляющие вектора коррекционного усилия, действующего на следящий координатор. Таким образом, при ф = п суммарное коррекционное уси­ лие согласно (2.6.10) находится, как

При Ах ~ Ахо >А2 = Д20 имеем/= 0.

Положим теперь А г = А10 + б, Д2 = А2о —5. Тогда коррекционное уси­

действующее в сторону источника / 2 *и, наоборот, при б < 0 возникает уси­ лие, направленное в сторону источника 1\ . Итак, точка с координатами Ахо и А2о, определяемыми параметром к (2.6.14), является единственной точкой равновесия следящего координатора на плоскости Оху, и притом неустойчивой.

Построение поля сил коррекции. Представляется интересной общая кар­ тина коррекционных усилий по всей плоскости Оху. Для ее построения воспользуемся силовыми линиями. Силовой линией, как обычно, будем считать кривую, в каждой точке которой вектор коррекционного усилия направлен по касательной к ней. Для вывода уравнения произвольной си-

141

Рис. 2.16. Построение силовых линий в поле кор рекционных усилий

ловой линии обратимся к рис. 2.16, на кото­ ром начало координат (х, у ) помещено в точ­ ку 1Х и оси координат рассматриваются как оси управления по двум каналам ОЭСС. Те­ кущее положение оптической оси координа­ тора совпадает с точкой О' с координатами (х, у). Уравнение силовой линии у - у (х) по определению должно удовлетворять диффе­ ренциальному уравнению

где tg у = у lx, а для определения tg а рассмотрим треугольник EFО , из ко­ торого следует, что

Здесь модули векторов коррекционных усилий определяются выражениями вида (2.6.3). Таким образом, из (2.6.18) получаем

Чтобы записать зависимость (2.6.19) в явной форме как функцию двух координат фазовой плоскости, достаточно воспользоваться очевид­ ными соотношениями

\/(х2+у2)[х2 + (Ап - у ) 2]

вытекающими из рис. 2.16.

Обозначая для краткости tg ос = А (х, у ) , запишем дифференциальное уравнение силовой линии (2.6.17) в форме

Структура выражений (2.6.19) и (2.6.20) такова, что интегрирование урав­ нений (2.6.21) в конечной форме затруднительно, поэтому для получения искомой картины силового поля в фазовой плоскости следует использо­ вать численные методы интегрирования. Уравнение (2.6.21), однако, до­ пускает качественное исследование.

Наиболее интересным представляется поведение силовых линий в окре стности особых точек. Одной из таких точек является положение равнове­ сия. При выбранной системе координат с началом в точке 1Хв точке равно-

142

ности точки равновесия может быть записана с учетом (2.6.16) и (2.6.22)

у = Сх1^ 0, т.е. неустойчивую особую точку типа седла.

Кроме точки равновесия в фазовой плоскости Оху имеются еще две осо­ бых точки 1Х и / 2. Для их исследования уже нельзя пользоваться верхними оценками пеленгационных характеристик (2.6.3), так как в окрестности них точек мы попадаем в зону линейности пеленгационной характеристи­ ки. Полагая в (2.6.21) А(х, у) =0, получаем в результате интегрирования получившегося соотношения у = Сх —особую точку типа дикритическсго узла. Легко видеть, что этот узел устойчив. На рис. 2.17 показан результат численного интегрирования уравнения (2.6.21), находящийся в соответ­ ствии с изложенным качественным исследованием. Здесь видна граница, разделяющая семейство силовых линий на два класса, каждый из которых сходится к своей устойчивой особой точке.

При использовании для пеленгационных характеристик их оценок ви­ да (2.6.3) разделительная граница имеет форму окружности, уравнение которой получается при "подстановке в (2.6.12) двух первых соотноше­ ний (2.6.20). Указанная качественная картина силового поля может быть несколько скорректирована, если при ее построении учесть угол расфази­ ровки е из уравнений (2.4.5). Наличие угла расфазировки вызывает пово­ рот вектора коррекционного усилия в каждой точке фазовой плоскости на постоянный угол е. Легко проверить, что дикритические узлы в точках / 1 и / 2 при этом переходят в устойчивые фокусы. Некоторое изменение формы претерпевает и граничная траектория, которая, в частности, теряет симметрию относительно оси Оу (см. рис. 2.17,6).

Для проверки справедливости допущений, принятых при качественном исследовании поля коррекционных усилий, следует использовать поэле-

143

Рис. 2.18. Поле коррекционных усилий, пост­ роенное с помощью поэлементной модели оптико-электронной следящей системы

ментную модель ОЭСС по методике, описанной в главе 3. При этом резуль­ тат моделирования не опирается на какие-либо допущения об условиях модуляции, неперекрывающихся во времени пачках импульсов или геометрических размерах источника. Для построения реальной картины силового поля используется разомкнутая схема (см. рис. 2.1). На вход схемы вводится рассогласование и после окончания переходных процессов в каналах обработки с выхода фазовых детекторов выводятся значения составляющих коррекционного вектора.

144

Для повышения точности построения поля в программе следует предусмотреть изменение величины шага по рассогласованию в зависимости от кривизны силовой линии. Построенное этим методом поле (рис. 2.18) служит объективным критерием для оценки качества первичной и вторич­ ной обработки информации. Следует отметить, что получение такой харак­ теристики экспериментальным путем без использования цифровой модели затруднительно. Основные трудности связаны с регистрацией угловых координат источников излучения и с фильтрацией шумов, загрязняющих сигналы в каналах управления. Большие трудности вызывает обеспечение стабильности условий проведения эксперимента.

Покажем теперь, что полученная картина силового поля играет основную роль при анализе процесса слежения ОЭСС за двойным источником излуче­ ния. При анализе периодических режимов в ОЭСС с непрерывным управле­ нием не рассматривалось действие внутренних шумов электронного тракта. Обработка результатов моделирования показывает, что влияние шумов выражается в том, что линейчатый спектр сигналов в каналах управления, соответствующий автоколебаниям, становится непрерывным. Спектр уп­ равляющего сигнала при этом несколько расширяется. Кроме того, угло­ вые флуктуации приобретают нерегулярный характер из-за сложной геомет­ рии растра анализатора (см. рис. 3.11). Совокупность этих физических факторов приводит к тому, что фазовые траектории в плоскости {Ах, Д2) образуют двумерный случайный процесс, который можно рассматривать как результат наложения некоторого шума на периодические колебания. Соотношение между случайной и регулярной составляющими зависит от конкретной геометрии растра, расфазировки и параметров электронного тракта и исполнительных элементов ОЭСС.

Обобщенная модель сопровождения двойного источника. В § 2.4 бы­

круговой предельный цикл. В соответствии со сделанными замечаниями будем рассматривать отклонения фазовых траекторий от этого цикла как результат случайного возмущения. На основании уравнений (2.4.5) соста­ вим математическую модель ОЭСС при действии случайных возмущений и слежении за двойным источником. Непосредственное использование урав­ нений вида (2.4.5) для статистического исследования ОЭСС не представ­ ляется возможным, и мы перейдем здесь к концептуальной модели слеже­ ния за двойным источником, отражающей основные особенности процесса слежения, но не повторяющей структуру уравнений (2.4.5) [143].

При анализе уравнений автоколебательной ОЭСС вида (2.4.5) было уста­

новлено, что они допускают формальное решение у/ А\ + = А0 = const. В качестве простейшей модели, допускающей аналогичное решение, рассмотрим систему

переходе к прямоугольным координатам, —решением вида (2.4.6).

В уравнениях (2.6.24) А и ip —полярные координаты изображающей точ­ ки в фазовой плоскости, поэтому А > 0 — неотрицательная величина.

10. Ю.М. Астапов

ного апериодического фильтра). Спектр процесса A (t) равен

и если из экспериментальных исследований известна соответствующая ха­ рактеристика при слежении за одним источником, то параметр X можно подобрать либо по критерию ширины спектра, либо по другой процедуре идентификации динамических систем [5, 143].

Нашей ближайшей задачей является решение уравнения (2.6.25) относи­ тельно плотности распределения процесса А (О- При этом также ставится задача об определении времени устойчивого сопровождения каждого из источников излучения.

откуда, пользуясь теоремой о среднем значении и переходя к пределу при At =т — t ->0, получаем

При вычислении коэффициента Ь(т,у) будем предполагать, что n(t) — белый шум с корреляционной функцией old (t ). Имеем

Полученное стационарное решение может служить также признаком для идентификации концептуальной модели (2.6.24) с полной моделью (2.4.5)-, а также с результатами экспериментального исследования реальной ОЭСС при сопровождении одного источника. При этом подбираются параметр А0, характеризующий положение максимума плотности / 0 0 , и параметр ol, определяющий дисперсию найденной плотности.

Нестационарное решение и оценка помехозащищенности. Перейдем те­ перь к поиску нестационарного решения уравнения (2.6.29). Это уравнение записано без учета краевых условий. Одно из этих условий является условием отражения фазовых траекторий от границы Д = 0. Формально оно записывается в виде

и выражает отсутствие потока фазовых траекторий через отражающую гра­ ницу А = 0. В нашем случае это условие имеет вид

Второе краевое условие заключается в поглощении фазовых траекторий на границе области, содержащей источник излучения (рис. 2.20).

148

Рис. 2.20. Нестационарная плотность распре­ деления ошибки

Граница состоит из двух участков: участка, ограничивающего поде зре­ ния ОЭСС, и участка, разделяющего поле сил коррекции. Формально усло­ вие поглощения записывается в виде

ми условиями (2.6.34) и (2.6.35) аналитическими методами в настоя­ щее время не разработано. В связи с этим воспользуемся методами вы­

числительной математики решения краевых задач для уравнений в частных производных [12].

Основная идея применения численных методов состоит в разбиении об­ ласти [t, х.} прямыми tf = il, Xj = jh (i = 0, 1, ...; j = 0, ± 1, ± 2, ...). Точки пересечения этих прямых называются узлами. Узлы, все четыре со­ седних узла которых принадлежат области { Г, х), называются внутренними. Если хотя бы один из узлов в ближайшей окрестности данного узла не при­ надлежит { t, х), то такой узел называется граничным. Для каждого внут­ реннего узла составим разностное уравнение вместо соответствующего дифференциального: либо прямого уравнения (2.6.25), либо обратного уравнения Колмогорова. Об использовании последнего будет сказано в дальнейшем. Производные заменяются конечными разностными соотно­ шениями

Что касается производных по времени, то для них можно записать раз­

возникает возможность потери точности из-за возрастающих погрешностей, которые в свою очередь связаны с приближенным характером соотноше­ ний (2.6.37) и с округлением при вычислениях. Неявная разностная схема

149

не страдает этим недостатком, но приводит к необходимости решения боль­ ших систем линейных алгебраических уравнений.

Мы рассмотрим здесь метод прогонки [12], хорошо зарекомендовав­ ший себя при решении краевых задач. Для решения уравнения (2.6.25) кроме краевых условий вида (2.6.33) и (2.6.35) должно быть задано также

начальное распределение /(0 , х) = / ( х ) . Для большей общности рассмот­ рим краевые условия в форме

Группируя значения плотности f ( t , х) с одинаковыми индексами, находим

где

150