книги / Теория оптико-электронных следящих систем

для заданного параметра Дп. Это значение в дальнейшем и используется в соотношении (2.7.13) для спектра управляющего сшнала.

Динамическая ошибка при наличии автоколебаний. Перейдем теперь к определению динамической ошибки, возникающей при сопровождении перемещающегося источника излучения. Для этого вновь обратимся к моде­ ли, описываемой уравнениями (2.6.24), в которых положим : —А(Д —Д0)= = F(A) и n(t) = V. Последняя величина эквивалентна детерминированному внешнему воздействию, которое заставляет оптическую ось ОЭСС откло­ няться от равновесного положения, соответствующего нулевой ошибке. Таким образом, запишем

Положим, как обычно, х = Д c o s у = Д sin^. Дифференцируя эти соот­ ношения по t и используя (2.7.16), находим

ниям (2.7.18). Из нее виден смысл обозначений Vx и Vу: это компоненты

Рис. 2.24. Структурная схема автоколе­ бательной оптико-электронной следящей системы

внешнего воздействия, приводящего к возникновению динамической ошибки в системе с круговым предельным циклом.

При Vx = Vy = 0 можно записать решение системы в параметрической форме

0 = ^(0) + «о*>

где Д(0) и р(0) — начальные координаты изображающей точки. Решение (2.7.19) показывает, что система обладает изолированной фазовой траек­ торией Д = Д0 = const, к которой с внешней и внутренней сторон асимпто­ тически приближаются все остальные траектории. Таким образом, систе­ ма (2.7.18) обладает предельным круговым циклом. Из центра этого цикла как из особой точки начинается бесчисленное множество фазовых траекторий.

Рассмотрим теперь динамическую ошибку автоколебательной системы (2.7.18) при векторном внешнем воздействии (Vx, Vy). При малых значе­ ниях этого воздействия система (2.7.18) по-прежнему будет обладать осо­ бым решением в виде предельного цикла. Под динамической ошибкой при этом будем понимать вектор геометрического центра этого предельно­ го цикла. При симметричных каналах управления (см. рис. 2.24) доста­ точно рассмотреть случай Vx - V - const и Vy = 0. Тогда из (2.7.18) получа­ ем

здесь для большей общности анализа введена функция ^ (Д ) .

Координаты особой точки внутри предельного цикла находятся прирав­

Однако особая точка с координатами (Дь <рх) может не совпадать с гео­ метрическим центром предельного цикла при V Ф 0. Сам цикл также может потерять первоначальную форму окружности. Поэтому следует рассмотреть совокупность фазовых траекторий уравнения (2.7.21). Следу­ ет отметить, что это уравнение не интегрируется в конечном виде при произ­ вольных значениях входного воздействия V. Поэтому целесообразно про­ вести вначале численное интегрирование.

Аналитическое исследование системы (2.7.18) можно осуществить ме­ тодом малого параметра. Для удобства выкладок введем обозначения

v - F/сооДо* Кроме того, обозначим д = Х/со0. В этих обозначениях вместо

162

При v = 0 решение известно:

после подстановки (2.7.26) в исходные уравнения (2.7.24). При этом приходится так преобразовать правые части уравнений, чтобы они представ­ ляли полиномы (ряды) по степеням параметра v.

В частности, используя разложение Тейлора, имеем

позволяет свести их решение к вычислению рекуррентных соотношений. При этом затруднения вызывает лишь вопрос о том, на каком шаге вычи­ слительной процедуры следует остановиться. Выход из этого затруднения заключается в параллельном численном интегрировании системы (2.7.24).

Подставив в (2.7.24) выражение (2.7.27), находим

откуда следует первая группа рекуррентных соотношений

Аналогично, подставляя (2.7.28) во второе уравнение (2.7.27), получим вторую группу рекуррентных соотношений:

= 1

dr

Из первых двух уравнений (2.7.29) и (2.7.30) находим уже известные решения (2,7.25). Подставляя их во второе уравнение (2.7.29), получаем

d p i

dT

Решение линейного уравнения (2.7.31) не представляет затруднений:

Обратимся теперь ко второму уравнению (2.7.30), записанному в виде difi _ $in [ip(0) + т]

1 + р (0 )е -* * т

Вычисление ее в конечном виде невозможно. Однако если поставить задачу вычисления установившегося решения, то экспоненту в знаменателе подын­ тегрального выражения можно не рассматривать и тогда

164

Аналогично из третьего уравнения (2.7.30) и уравнений (2.7.34), (2.7.32)

Процесс последовательного вычисления функций рк(т) и ^ (т ), как видим, не представляет принципиальных затруднений. Подставляя полученные функции в (2.7.26) и ограничиваясь конечным числом слагаемых, можно получить приближенное решение системы (2.7.23) и, следовательно, исход­ ной системы (2.7.18).

На рис. 2.25 показаны решения системы (2.7.18) при возрастающих значениях параметра v. Из графиков предельных циклов видно, что при малых значениях v циклы мало отличаются от окружностей. Это позволяет оценить модуль ошибки как смещение центра окружности. Если радиус окружности равен Аср, то

Атах = AQ + с, Amin = До —е,

1

откуда е = “ (Дтах - Amin). Обращаясь к соотношениям (2.7.26) и

удерживая в них слагаемые до порядка v включительно, найдем

<2 -7 3 8 )

Подставляя сюда значения параметров v и д , принятые при выводе уравне­ ний (2.7.24), запишем окончательно для малых значений параметра v

V

(2.7.39)

До \ ^ 2 + COQ

Динамическая ошибка при подавлении автоколебаний. Рассмотрим поведение решения системы (2.7.18) при больших значениях возмущающе­ го воздействия. Для этого снова обратимся к уравнению фазовых траекто­ рий (2.7.20). Из этого уравнения можно найти установившиеся значения координат А и <р, не зависящие от времени Г. Нас в первую очередь будут интересовать значения А = const, отличные от нуля. Поэтому достаточно рассмотреть систему равенства

165

необходимо, чтобы они соответствовали устойчивым особым_точкам. Для анализа устойчивости их введем безразмерную координату Д = Д/Д0.

Координаты особой точки находятся приравниванием нулю числителя и знаменателя (2.7.44):

определяющие поведение фазовых траекторий в малой окрестности особых точек. Могут представиться следующие случаи.

1. (А *)2 < д2 /4 —оба корня вещественны. При этом если

д2 / 4 - ( Д *)2 < i / ( k * - ^ ,

го корни одного знака й мы имеем особую точку типа узла. Узел устойчив

и возникает особая точка типа седла, которое всегда неустойчиво.

167

2. (А* )2 > д2/4 —особая точка типа фокуса, устойчивого при А* > 1/2 и неустойчивого при А* <1/2.

Рассмотрим некоторые конкретные примеры. Пусть д = 1. Тогда из (2.7.45) находим

Д * = -

2 2 4*

При v < \ j\fl вещественных значений А * не наблюдается и особых точек внутри предельного цикла не содержится. Впервые появляется единственная особая точка при v = \j\Jl. Ее координата А* * 1/2. Согласно (2.7.45)

в некоторой окрестности точки А* = 1/2, ip* =Зтг/4. При подстановке этих значений

Рис. 2.26. Фазовые траектории в окрестности неустойчивой особой точки

168

н (2.7.47) получаем уравнение фазовой траектории в виде

Ф

2*

Сувеличением v особая точка ’’раздваивается”, так как получаются два значения

5*. Например, при v - 0,75 получаем А*С1) = 0,6768 и А* (2) =0,3232. Соответствую-

■0,5583, 4 2)= -0,2047, т.е. вторая точка оказалась седлом, которое характеризуется двумя особыми решениями вида г = кф, где к - постоянный коэффициент. Значения этого коэффициента определяются подстановкой особых решений в (2.7.47) :

—к —А*

к ~ А* = ------------------= А * --------------— .

в координатах (х, у ) . Для их построения можно воспользоваться формулами (2.7.46)

влияние на форму предельного цикла в окрестности этой точки благодаря характер­ ному течению интегральных кривых (рис. 2.27).

Помимо выявленных точек типа устойчивого фокуса и седла существует еще

точка не принадлежит к линеаризованному виду 0:0 и для ее качественного анализа

169

Рис. 2.27. Влияние неустойчивой особой точки на форму предельного цикла

Рис. 2.28. Поведение фазовых траекторий, выходящих из неустойчивого узла (0,0)

Рис. 2.29. Фрагмент рис. 2.28 в окрестности начала координат

При v < д (2.7.54) описывает поведение фазовых траекторий в окрестности узла* При v - 0 узел становится дикритическим. На рис. 2.28 видны траектории, выходящие из точки х = 0, у = 0 и стремящиеся к устойчивому фокусу. Явная форма траекторий в окрестности седла находится интегрированием уравнения (2.7.47). Полагая г = иф,

170