книги / Теория оптико-электронных следящих систем

Из (1.4.10) и (1.4.12) видно, что подбором фильтров можно эффективно влиять на форму ВКФ изображений. Действие фильтров сказывается тем сильнее, чем ’’шире” функция ^ 12 (А ) по сравнению с ВКФ входных сиг­ налов К у в х ( А ), а в пределе, когда А^1-;в х (А ) задана 6-функцией, свойст­ ва фильтров целиком определяют взаимные спектрально-корреляционные характеристики выходных изображений. Такая закономерность хорошо известна и используется в теоретической и практической радиотехнике применительно к одномерным сигналам и цепям [24, 125]. Однако в ран­ них исследованиях корреляционных свойств изображений ролью фильтров во входных цепях коррелятора иногда пренебрегали. Это приводило к ха­ рактерной ошибке —приписыванию частотных свойств анализатора свойст­ вам изображений в области высших пространственных частот, где происхо­ дит спад передаточных функций входных каналов.

Неоднородные линейные фильтры, для которых принцип транспозиции несправедлив, в теории цепей иногда называют параметрическими в связи с тем, что в этот класс попадают одномерные фильтры с переменными пара­ метрами для сигналов-функций времени. При нахождении откликов неоднородных фильтров на входные воздействия математический аппарат обычной ’’аддитивной” свертки и сопряженный с нею аппарат классического фурье-анализа оказываются малоэффективными. Более подходящими для описания нестационарных сигналов и систем являются обобщенные свертки и обобщенный гармонический анализ, которые опираются на рас­ ширенное понятие инвариантности к обобщенным сдвигам. Глубокой раз­ работке и приложениям адекватного математического аппарата к решению линейных задач посвящены труды советского математика Я.П.Драгана и ряда других ученых украинской математической школы [41—43]. Ю.П. Пытьев с сотрудниками, специализируясь на проблемах распознавания образов, разработали математические основы морфологического анализа изображений [101—104]. Его подход допускает использование специфич­ ных для современной цифровой техники моделей и процедур в алгоритмах идентификации плоских изображений или для выявления различий между ними. Базирующийся на понятиях абстрактной алгебры математический аппарат морфологического анализа охватывает, в частности, как методы обычной, так и обобщенной корреляции двумерных финитных функций, представляющих собой реальные изображения.

В связи с тем что процедура обобщенной корреляции может использо­ ваться для корреляционного измерения масштабных, ракурсных и других сложных ’’сдвигов”, отличных от обычного сдвига-переноса изображений, в следующем параграфе эти понятия рассмотрены подробнее.

§1.5. Обобщенная корреляция изображений

иее применение

Групповые и обобщенные сдвиги в описаниях проективных преобразова­ ний плоских изображений. Понятие обобщенной корреляции как функции, зависящей от взаимной деформации коррелируемых изображений, удобно рассматривать, основываясь на определении группового сдвига, который является наиболее изученным видом обобщенного сдвига, составляющего основу современного фурье-анализа [71].

Как известно (см., например, [57 ]), группой называется такое множество матема­ тических объектов (элементов), в котором определена, одна операция, ставящая в со­ ответствие каждой паре элементов некий третий элемент того же множества по прави­ лам, именуемым групповыми аксиомами.

Если обозначить элементы через а, bf с, ..., а символом ® - определяющую опера­ цию, которую часто называют групповым умножением, то групповые аксиомы будут выражать следующие свойства:

же множества, что

а © с = Ь,

и такой элемент с' из того же множества, что

с 1 © а = Ь.

Как следует из аксиом, в группе существует элемент е (единица группы) такой,

что

е® а - а ® е = * а ,

ивсякому элементу а соответствует единственный обратный элемент а~х такой, что

Группа коммутативна, если, кроме названных, имеет место свойство

а © b = Ъ © я.

Типичная коммутативная (иначе — абелева) группа - множество Л1 1) действи­ тельных чисел с обычным сложением в качестве групповой операции. В этом случае единицу группы называют нулем, символ © заменяют на +, обратный элемент именуют противоположным ( - а ) и говорят, что такая группа действительных чисел является аддитивной. Аналогично определяют аддитивную группу комплексных чисел.

Совокупность <RQ всех действительных чисел, отличных от нуля, образует группу, если определить в ней групповую операцию как обычное умножение. Это множество называют мультипликативной группой. Единицей группы является число 1, а обрат­

В классическом гармоническом анализе одномерных сигналов-функций используется операция аддитивного сдвига-переноса на прямой. Значения сдвига берутся из множества (R1. Такой же анализ двумерных сигналов ба­ зируется на аддитивных сдвигах Аа со значениями из множества пар дейст­ вительных чисел (R2 или изоморфного ему множества комплексных

Здесь метрики пространства сдвигов А а и координат л: совпадают, так как сдвиг аддитивен и равносилен переносу начала отсчета на плоскости.

х) Обозначения соответствуют принятым в [83].

52

В более общем случае изображение, например, регистрируемое приемни­ ком ОЭС, направленным на некоторую почти плоскую поверхность, можно представить как функцию, зависящую не только от координат точек (х1, х2) и их аддитивного сдвига (Ах, Д2), но также от А3 - логарифма масштаба относительно центра координат, угла поворота вокруг него Д4 и компонент ракурсной деформации (А5, Д6). В роли одного из последних параметров можно использовать приращение а угла между направлением проекции и нормалью к поверхности, участок которой находится в поле зрения системы и создает изображение, а в роли другого —угол /3, задаю­ щий в плоскости изображения ось, относительно которой меняется направ­ ление проекции. Масштабный сдвиг и поворот изображений сохраняют подобие фигур и не нуждаются в иллюстрациях. Характер геометрических искажений при чисто ракурсных сдвигах виден из рис. 1 .1 1 , где показаны исходная 1 и искаженные 2 проекции границ кадра, зарегистрированного приемником изображений с квадратным полем зрения.

Для простоты построение выполнено без учета перспективы, т.е. в пред­ положении, что угол зрения оптической системы достаточно мал, чтобы центр проекции можно было считать^ удаленным в бесконечность. Линии, ограничивающие искаженные кадры, показывают, куда смещаются в плоскости изображений точки, находившиеся в исходном состоянии на границах поля зрения. При сделанном предположении штриховая линия под углом Р к горизонтальной границе исходного кадра является осью перспективно-аффинного преобразования плоскости. С точки зрения проек­ тивной геометрии все три кадра на рис. 1 .1 1 аффинно эквивалентны.

Ход лучей, формирующих изображение на одной из границ поля зрения системы в плоскости,инцидентной с оптической осью приемника и перпен­ дикулярной к поверхности, показан сплошными линиями на рис. 1 .1 2 , где условия проекции исходного кадра для рис. 1 .1 1 определяются углом а0,

Рис. 1.11. Геометрические искажения при ракурсных сдвигах квадратного кадра без учета перспективы: 1 - исходная проекция; 2 - проекции при двух значениях ракурсного сдвига

Рис. 1.12. Ход лучей от границ исходного кадра на плоскость проекции оптико­ электронной системы с малым углом зрения при отсутствии (ось А) и наличии (ось Л') ракурсного сдвига

53

а его уменьшение до а0 —а соответствует увеличению размера в плоскости изображений от г до г + 8г.

Совместное действие на изображение всех составляющих вектора слож­

му координат плоскости (рис. 1.13). Оно сохраняет взаимно однозначное соответствие между точками и образует так называемую аффинную группу отображений плоскости, поскольку всякому оператору сдвига SF* можно противопоставить обратный ему оператор («Г*)’ 1, переводящий преобразо­ ванные точки на плоскости в исходные так, что

(ST5) ' 1Sfsf = Srs{SfsY lf = /,

и, следовательно, условие (1.5.1), определяющее групповую природу сдви­ га, выполняется. При этом единица группы есть вектор s0, все компоненты которого равны нулю.

Заметим, что размерности пространства сдвигов s и координат лг в (1.5.3) вообще не совпадают, более того —векторное пространство сдви­ гов не обязательно является метрическим. Между прочим, это обстоятель­ ство важно и для понимания обсуждавшегося в § 1.3. факта, что понятия

Рис. 1.13. Пример обобщенного аффинного сдвига изображения

’’расстояния” и ’’близости” в пространстве взаимно сдвинутых сигналов (изображений) приобретают смысл лишь после того, как назначен критерий оптимальности и таким (или иным) путем определено расстояние между точками этого пространства. При назначении метрики и критериев опти­ мальности в пространстве сдвигов допускается некоторая свобода выбора. Поэтому результаты многопараметрической оптимизации ОЭСС, как и всякой сложной системы, могут различаться, будучи каждый наилучшим

вкаком-то смысле и в рамках своих ограничений.

Впрактике встречаются ситуации, когда совокупность сдвигов опреде­ ленного типа нельзя рассматривать как группу, поскольку не выполняется какая-либо из групповых аксиом. При этом тем не менее операторы сдвига обладают набором свойств (ассоциативность, линейность, существование

54

нейтрального элемента —аналога ’’единицы” в группе и т.д.), позволяющих построить аппарат алгебры свертки и обобщенных спектральных преобразо­ ваний [42, 71, 163]. Такие операторы, следуя [163], называют оператора­ ми обобщенного сдвига (ООС), а соответствующие множества сдвигов — гипергруппами и включают в это понятие группу как частный случай. Примером ООС служат перспективно-аффинные преобразования плоско­ сти, которые деформируют изображения при изменении ракурсных углов, т.е. направлений параллельной проекции. Эти преобразования являются элементами группы аффинных отображений, но не составляют в ней замкнутой подгруппы, ибо последовательный ракурсный сдвиг относитель­ но двух различных осей перспективно-аффинного преобразования приводит к результату, который вообще не достигается однократным параллельным проектированием.

Аффинные преобразования составляют подгруппу в проективной группе отображений. Последние позволяют учесть перспективные искажения изо­ бражений плоскости, возникающие в реальной ОЭС при изменении точки наблюдения в пространстве, конечных значениях фокусных расстояний

воптике и дистанции между ОЭС и наблюдаемой поверхностью. Аналитическое описание проективных преобразований несколько слож­

нее, чем аффинных, однако число скалярных компонент, характеризующих проективный сдвиг и смещение плоскости при постоянстве параметров оптической системы, сохраняется равным шести.

В пользу применения упрощенной аффинной модели проективных сдви­ гов говорит то, что в замкнутой следящей ОЭС допустимые изменения наблюдаемых изображений по необходимости малы. Эти изменения почти всегда представимы функциями, дифференцируемыми по компонентам сдвига, с якобианом, отличным от нуля. В силу этого можно утверждать, что малые проективные сдвиги всегда являются ”локально аффинными”, а потому первым приближением в описании характерного для ОЭС много­ мерного сдвига и служит именно аффинное преобразование координат.

Представления ракурсного и ’’масштабно-кренового” сдвигов изображе­ ний в ОЭС. Представление обобщенного сдвига зависит от выбранного спо­ соба описания координат, являющихся аргументами ’’сдвигаемых” функ­ ций. Например, двумерный ракурсный сдвиг можно описать матрицей R мультипликативного преобразования координатных векторов дг в х ' :

где

55

Сокращенная запись имеет вид

( Л . ^ '/ а ) = ( ^ S/ b / 2).

Входящая в (1.5.10) функция д(х) может рассматриваться как мера на множестве { х}, инвариантная к действию ООС, такая, что

Представляя (1.5.11) в виде

djd(x) = Cf(x)dx9

можно свести (1.5.10) к обычным интегралам (в смысле Римана), описы­ вающим скалярное умножение взаимно сдвинутых функций / х, / 2 с весо­ вой (интегрирующей) функцией J [58].

Замена переменной лг z с использованием взаимно обратных соот­ ношений

обеспечивает нелинейное преобразование координат, а вместе с ним — отображение обобщенного сдвига s в аддитивный сдвиг Да преобразован­ ных функций F такой, что

жений / и аддитивными сдвигами {До} на другом множестве^/? изобра­ жений F, получаемых специально подобранным преобразованием коорди­ нат, в которых заданы все / m jttf . Такой подбор возможен по крайней мере при условии, что множества сдвигов {$} и {Да} ’’равномохцньг”, другими словами, размерности сдвигов одинаковы.

Если это условие выполнено, то s и Да - векторы й двумерных прост­ ранствах, а 3 (я:) —квадратная матрица Якоби

описывающая в дифференциальной форме нелинейное преобразование

в пространстве обобщенных сдвигов (ОВКФ) для двух детерминированных вещественных сигналов-изображений Л и / 2 определяют, как

57

а также установить связь с сопряженной ОВКФ1**:

K i2(r,s)= f & rS'sfi{x)f-1{x)dii{x) =

Если сдвиги г и s заданы как аддитивные, то ОВКФ обращается в обыч­ ную, например, двумерную ВКФ, вычисляемую через интеграл простой свертки при с1ц(х) = dx:

Обобщенная автокорреляционная функция (ОАКФ) действительных сигналов-изображений в отличие от ОВКФ обладает центральной симмет­ рией, что прямо вытекает из (1.5.14):

Kj(r,s)= f £ r iT*f(x)f(x)dn(x) =

1я X

=/ f ( x ) 3 s3 rf(x)dn(x) = K°f (s,r).

ях

Модернизация понятия относительного сдвига влечет за собой реконст­ рукцию спектральных представлений. Установлено, что каждый тип опе­ ратора обобщенного сдвига З 5 связан с определенным дифференциальным оператором £х, которому присущ набор собственных функций ip(x, со), где со —собственные значения. Функции у таковы, что

£ х ч>= С0 <р.

Используя эти функции в качестве ядер интегральных преобразований, можно построить систему правил для обобщенного спектрального разло­ жения сигналов или характеристик реальных систем по таким функциям. Эти правила повторяют известные свойства обычных фурье-преобразова­ ний [40] и выводятся из соответствующих теорем при помощи

1 более общем случае комплекснозначных функций / , и/ 2 одна из них входит под знаки интегралов в (1.5.13) и (1.5.14) как комплексно-сопряженная.

58

Формулы справедливы для всех интегрируемых с квадратом по ме­ ре д(дг) или v(co) функций.

Практически важно,что функции <р инвариантны («Г-вариантны) по от­ ношению к оператору сдвига Sfs9 порожденному дифференциальным опе­ ратором <£*,

&sv(x9со) = ^(s, со)<р(лг, со),

так же, как инвариантны к обычному сдвигу s = Аа комплексные экспонен­ ты, служащие собственными функциями оператора

3’sefux _ ejmsei&x

Несмотря на то, что теоретический фундамент для обобщенного гармо­ нического анализа заложен достаточно давно, области его практического применения до настоящего времени остаются ограниченными. Одна из при­ чин кроется в том, что основное внимание чаще обращалось на задачи о детерминированных неоднородных системах с произвольным воздей­ ствием на входе. Их решение основывается на выборе простого описания, системы с помощью адекватного ей оператора £х [46] и последующем поиске достаточно корректного обхода трудностей, которые возникают при представлении сигналов в необычном спектральном базисе.

Отсутствие детерминированной характеристики системы, типичное для задач синтеза, делает более целесообразным согласование математи­ ческих моделей сигналов с характерными для них показателями неодно­ родности или, как в нашем случае, непосредственно со структурой типич­ ных сдвигов, Серия работ Я.П. Драгана [41—43], очевидно, расширит сферу применения аппарата обобщенного гармонического анализа, так как ими, в частности, создана необходимая основа для распространения результатов корреляционной теории случайных функций на «Г-вариант­ ные стохастические процессы. Последние могут служить более точными моделями недетерминированных сигналов, нежели стационарные и так называемые квазистационарные шумы.

Обобщения теоремы отсчетов, необходимые для измерения неаддитив­ ных сдвигов изображений. Одним из важных результатов прикладной тео­ рии ^-вариантных процессов является обобщение теоремы отсчетов, раз­ вивающее известный подход Котельникова— Шэннона к дискретному представлению сигнала с финитным X -спектром. Применение обобщенной теоремы отсчетов в технике корреляционного сравнения изображений поз-

59

воляет производить наиболее экономную разбивку рабочей площади фото­ приемника на разрешаемые элементы выбором сетки дискретных рецепто­ ров либо разбиением сравниваемых полей в процессе дискретизации сигна­ лов при их обработке.

Не вдаваясь в изложение вопроса в целом, остановимся на простых примерах построения одномерных и двумерных координатных сеток, с помощью которых можно производить корреляционное измерение ха­ рактерных для ОЭС сдвигов изображений.

Как известно, теоремы отсчетов устанавливают возможность дискрет­ ного представления непрерывных функций функциональными рядами, коэффициенты которых выражаются через значения разлагаемых функций. Пусть f a ( x ) —детерминированная одномерная функция такая, что носи­ тель ее JC-спектра ограничен интервалом [О, Л], т.е.

характерные для,данного ООС и соответствующего ему дифференциального оператора. Если этот оператор соответствует групповому сдвигу, то он — несамосопряженный первого порядка, причем х к —точки взятия отсчётов, являющиеся корнями уравнения

В случаях, когда сдвиг не является групповым, а подходит лишь под категорию обобщенного, оператор £х —самосопряженный второго поряд­ ка, а точки отсчетов находятся из уравнения

ф(х912) = 0.

Так, в частности, одномерному аддитивному сдвигу соответствуют функ­ ции отсчетов вида

sin(12x - кж) ак(х) = ----------------- ,

12х —кж

а точки взятия отсчетов можно найти, решая уравнение 1ше(е+/П)*=0.

Размещение точек х к вдоль оси координат х служит решением задачи выбора наименее плотной (и реализуемой без запаса лишь теоретически) сетки отсчетов при одномерных аддитивных сдвигах.

В случае измерения двумерных аддитивных сдвигов отсчеты располага­ ют в узлах координатной сетки, получаемой раздельной дискретизацией по двум независимым координатам. Наиболее употребительна прямоуголь­ ная декартова система (рис. 1.14,я), для которой сетку отсчетов строят, задав ограничения по частотам 12 х и 122 во взаимно ортогональных направ­ лениях. Возможно также использование гексагональной сетки отсчетов

60