книги / Теория оптико-электронных следящих систем

Аппроксимация нелинейной характеристики. У к о р о ч е н н ы е у р а в ­ н е н и я . Для дальнейших исследований необходимо записать функцию F(A) в аналитической форме. На рис. 2.10 представлены график функции F (А), полученный методом математического моделирования, и его аппрок­ симация полиномом четвертого порядка на интервале, поглощающем мак­ симальную ожидаемую амплитуду колебаний Дтах. Таким образом, в даль­ нейшем будем считать

где коэффициенты fo (i = 0 , 1 , 2) легко определяются методами интер­ поляции.

Записав уравнения (2.4.34) с учетом (2.4.35), в правые части которых подставлены явные выражения (2.4.23) функций Ф,- (* = 1, 2), получим следующую систему укороченных уравнений (см. приложение) :

121

Рис. 2.10. График функции F (А) (штриховая линия) и ее аппроксимация полиномом четвер­ того порядка (сплошная линия)

Последние два уравнения легко интег­ рируются, и, следовательно,

Остальные четыре уравнения позволя­ ют проанализировать устойчивость пери­ одического движения ОЭСС, описывае­ мой уравнениями (2.4.5), найти ампли­ туду автоколебаний, обнаружить грани­ цы возникновения других видов возмож­ ных движений и исследовать их. Исклю­ чая время t из системы первых четырех

уравнений (2.4.37), получим соотношения вида

Смысл обозначений Q (сг, с2; яi , а2) и Aj (с\ , с2; ах, а2) ясен из урав­ нений (2.4.35) и (2.4.37). Простые круговые колебания соответствуют

условиям с/*> (t ) = a (t ) = 0 (г, / = 1 , 2). Вопрос об их устойчивости может быть решен при качественном анализе системы (2.4.39) методами теории фазового пространства [34]. Координаты особых точек фазового пространства находятся с помощью алгебраических уравнений

Характеристическое уравнение для третьего соотношения системы (2.4.41) X2 + 2Х cos е + 1 = 0 имеет корни XXf2 - —cose ± i sin еи при cos е > 0 соот­ ветствует устойчивому фокусу в плоскости {сх, с2} , что говорит о несме­ щенности траекторий. Действительно, в окрестности начала координат

122

Рис. 2.11. Фазовые портреты движения оптико-электронной следящей системы с непре­ рывным управлением

и неустойчивым при / 0 >2£co£ose. В случае устойчивости узла мы имеем устойчивое положение равновесия в точке (0 , 0 ; 0, 0) фазового простран­ ства {сг, а\\ с2, а2} (см. рис. 2.11,д), При неустойчивости положения равновесия в системе возможны другие варианты движения, дня анализа которых следует учесть все выписанные члены разложения (2.4.36).

Другие виды возможных движений следящего координатора. Рассмот­ рим несмещенные периодические режимы, возникающие при нарушении

123

устойчивости тривиального решения системы (2.4.5). Для этого положим сг - с2 = 0 , ах = д10, а2 = а2о и ДЛЯ определения координат особой точки воспользуемся третьим и четвертым уравнениями (2.4.37). Складывая и вычитая их почленно, получаем

- 2 £ со+ [/о + / i ( 0 n + fei) + / 2(012 +/З22)] cosе = О,

/ l ( 0 1 1 — 02 l ) + / 2 ( 0 1 2 — Р2 2 ) “ О-

Подставив выражения многочленов j3zy (/,/ = 1, 2) из приложения, запишем явные выражения (2.4.43):

- 2 £o> + J/o + - /1 (01о + 020) + - / 2(010 + - a\oalo + 02o)j cose = 0,

Очевидно, что для физически наблюдаемых колебаний (ai0 Ф 0 , д20 Ф 0) должно быть / 1//2 < 0 . Подставив в первое уравнение (2.4.44) соотноше­ ние (2.4.45), получим биквадратные уравнения относительно ai0 или, ввиду симметрии квадратичной формы, относительно д2о- Решая их, нахо­ дим параметры Дю и д2 о эллиптических несмещенных колебаний:

Объединяя неравенства (2.4.46) и (2.4.47), найдем границы изменения добротности /о, при которых возможны несмещенные эллиптические колебания:

124

(см. рис. 2.11, в ). При достижении левой границы получаем а2о = 0 и

—колебания становятся плоскими (см. рис. 2 .1 1 , г ) .

Кроме круговых колебаний (2.4.49) в системе (2.4.5)- возможен еще один круговой цикл. Для определения его амплитуды положим в (2.4.44)

более сложные виды движений. Для их выявления следует рассмотреть уравнения (2.4.37) при более общих предположениях, когда ни один из корней уравнений (2.4.40) с10, с2о. Дю. «го не равен нулю. В этом случае третье и четвертое уравнения системы (2.4.37) можно записать после сокращения на ах и а2 в виде

- 2 £со + [/о +/i(/3i 1 + & 1 ) + /2(012 + fts2)] cose +

125

Соотношения (2.4.56) и (2.4.57) образуют систему относительно трех неизвестных —амплитуды а0 кругового цикла и координат (<?ь с2) смеще­ ния его центра. Мы не приводам здесь решения этой алгебраической системы.

Наиболее общим случаем периодического режима системы (2.4.5) являются смещенные эллиптические колебания. Их параметры находятся из системы алгебраических уравнений, которая состоит из (2.4.53) и соот­ ношения

вытекающего из (2.4.55) при а%Ф а2 (см. рис. 2 .1 1 , д).

Фазовый портрет на рис. 2 .1 1 , е иллюстрирует нарушение условий устой­ чивости смещенных эллиптических циклов. Наконец, рис. 2.11, лгвоспроиз­ водит результат моделирования системы по методике, описанной в главе 3, свободной от каких-либо допущений, но при высокой добротности/о» выводящей систему за пределы устойчивости периодического движения. При моделировании возможен предельный цикл, близкий к круговому. Некоторые отклонения от этого цикла объясняются неидентичностью каналов управления и действием шумов электронного тракта. Круговой предельный цикл интересен тем, что он обладает наиболее узким спектром и получающиеся при этом периодические составляющие управляющего сигнала сравнительно легко отфильтровываются без существенного ухуд­ шения динамических свойств ОЭСС с непрерывным управлением.

Мы рассмотрели условия возникновения кругового цикла (2.4.49) и (2.4.52). В связи со сделанным замечанием относительно свойств цикла важно исследовать устойчивость соответствующих решений системы (2.4.5).

центром в начале координат (Ab Д2). Запишем уравнения (2.4.37) в этих обозначениях:

Здесь сохранены обозначения коэффициентов полиномов при новУх аргу­ ментах х, у, г, s. В окрестности особой точки (0 ,0 ;0 ,0) первые два уравне­ ния системы (2.4.59) эквивалентны фазовой траектории, описываемой соотношением

В плоскости(х, у} эта точка - фокус [как мы видели из (2.4.41) ].

126

Уравнение фазовой траектории относительно приращений амплитуд г и s имеет вид

вость которой зависит от знака правых частей уравнений первого приближе­ ния для третьего и четвертого соотношений (2.4.59). Если оба корня отри­ цательны, узел устойчив и круговые колебания с амплитудой а0, определяе­ мой первым выражением (2.4.44), существуют. При Xi Х2 < 0 корни имеют разные знаки. При этом возникает особая точка типа седла, которая всегда неустойчива. В этом случае круговой предельный цикл не наблюдается.

Таким образом, вид движения ОЭСС,описываемый уравнениями (2.4.5), определяется соотношением между добротностью системы / 0 и величиной обобщенного параметра 2£co/cos е. Анализ устойчивости круговых циклов требует более точного знания формы характеристики F(A ).

§2.5. Анализ устойчивости сопровождения в ОЭСС

симпульсным управлением

I

Уравнения ОЭСС с АИМ. В §2.2 нами были получены соотношения (2.2.2), описьюающие пеленгационную характеристику ОЭСС с четырех­ площадочным фотоприемником. Таким образом, анализатор изображения не содержит элементов сканирующего устройства, что упрощает его кон­ струкцию. Обычно размеры площадок совпадают с размерами изображения бесконечно удаленного источника. В связи с этим при малом числе площа­ док добротность ОЭСС невелика и рабочий режим слежения не должен сопровождаться автоколебаниями. Поэтому в дальнейшем ограничимся выяснением условий, при которых автоколебания отсутствуют. Рассмотрим два вида модуляции, которые используются при формировании управляю­ щего сигнала: амплитудно-импульсную (АИМ) и широтно-импульсную (ШИМ). В качестве исполнительного элемента в обоих случаях рассмотрим

127

гиропривод с динамикой, описьюаемой уравнениями (2.3.21). При АИМ на исполнительный элемент поступают импульсы постоянной длительности Г, амплитуды которых пропорциональны значениям сигналов их (А х, Ду)

Здесь вместо прежних обозначений угловой скорости сопровождения

уравнения. Следуя методике, указанной в [137], запишем решение системы

Здесь С,-, Bj (/, / = 1, 2) —постоянные интегрирования, определяемые зна­ чениями, которые принимают функции Д1 Т(г) и Д2т ( t ) и их производ­

ные по t при t = п (п - целое число).

Для сокращения записей целесообразно ввести матрицы cosj3t sin]3t

(2.5.4)

sinj3t —cosj3t

128

Тогда система (2.5.3) записывается в более компактной форме:

В уравнениях (2.5.7) и (2.5.8) G0 = G (0).

Полагая t = и, найдем соотношения, определяющие постоянные интегри­ рования:

Заметим, что Л"1 = (а2 + &2)А. Поэтому из (2.5.7) - (2.5.9) следует при

7 = п + 1

Д(л + 1) = [eaG(l) - GoM d l)(n) + А(п) + {\eaG(l) - G0]A - E )G 0Au

(2.5.10)

Соотношение (2.5.10) представляет собой разностное уравнение разомк­ нутой ОЭСС с АИМ. Оно является рекуррентным соотношением и позволя­ ет осуществить последовательное вычисление значений вектора ошибки А с произвольным шагом Т по времени, что является ценным качеством при математическом моделировании, ибо приводит к экономии времени счета. Здесь мы используем соотношение (2.5.10) для решения основной задачи — исследования устойчивости работы импульсной ОЭСС. Поэтому уравнение (2.5.10) следует дополнить условием замыкания, которое мож­ но записать в форме

u ~ \ G ^ (2.5.11)

где \ - к Т 2/L

При подстановке условия (2.5.11) в (2.5.10) полезно применить тож­

в справедливости которого легко убедиться непосредственным вычисле­ нием. 1аким образом, уравнения замкнутой импульсной ОЭСС с АИМ принимают вид

Д(я + 1)= [eaG ( l) - G 0]AA(1>+

+ X

Разностное уравнение (2.5.10) является линейным и для анализа устой­ чивости его тривиального решения А (и) = 0, А^1^ = 0 можно воспользо-