книги / Теория оптико-электронных следящих систем

Функция е />0 в данном случае введена для того, чтобы иметь возможность записать соотношение (2.6.43) для других значений индекса / , т.е.

Для вычисления функций Р{>,■ и Qti / в формуле (2.6.44) подставим это выражение f . ._ 1 в (2.6.40) и получим

откуда следуют, рекуррентные выражения для вычисления функций Ptj

* Q i.r-

А.

I, 1+ 1

правого граничного условия в обратном направлении. В качестве начально­ го распределения можно при практических вычислениях использовать

любую функцию /(х ), удовлетворяющую условию нормировки и рав­

Возвратимся к стохастическому уравнению (2.6.24), описывающему процесс слежения ОЭСС за двойным источником. Левым граничным усло­ вием в данном случае служит условие отражения (2.6.34), правым - (2.6.35). Расстояние до правой границы задается (согласно рис. 2.20) условием L (г,*) = L t . Это несколько усложняет процедуру прогонки, так как при желании сохранить число узловых точек по координате А рав­ ным N + 2 = const следует пользоваться интерполяцией плотности распреде­ ления при переходе от временного слоя с индексом i к слою i + 1.

151

На рис. 2.20 показан результат применения программы прогонки. В качестве начального распределения использовано нормальное распределе­ ние с достаточно малой дисперсией. При отсутствии второго источника в системе, определяемой уравнениями (2.6.24), устанавливается почти ста­ ционарное распределение, так как угловые флуктуации с очень малой вероятностью достигают границ поля зрения ОЭСС. При появлении второго источника на фазовой плоскости появляется разделяющая граница и функция L (?) становится периодической, если расстояние между источни­ ками остается постоянным. При изменении этого расстояния периодичность пропадает.

Вероятность перехода процесса слежения pf с одного источника на дру­

На рис. 2.21 показан результат применения формулы (2.6.48) для слу­ чаев постоянного углового расстояния между источниками (кривая 1) и при возрастающем во времени расстоянии (кривая 2). Здесь хорошо за­ метно влияние периодичности граничного условия А = L iy наложенное на экспоненциальный в среднем закон убывания вероятности устойчивого сопровождения одного источника. При уменьшении расстояния L ,• вероят­ ность pi убывает быстрее. При L t - R (R — радиус поля зрения ОЭСС) Pi остается практически на постоянном уровне.

Если расстояние между источниками увеличивается, то, начиная с неко­ торого момента времени, величина L i min (минимальное расстояние до раз-

Рис. 2.21. Вероятность устойчивого сопро­ вождения: 1 - при Дп = const; 2 - при увеличивающемся расстоянии Дп

деляющей границы в поле коррекционных усилий) становится настолько большой, что вероятность слежения за одним источником остается неизменной (см. рис. 2.21).

Полученные результаты частично объясняют приемы постановки органи­ зованных помех, описанные в [147], а также приемы отстройки от помех, основанные на спектральной селекции, компенсационном методе и различ­ ных вариантах адаптации параметров ОЭСС. Мы не будем останавливаться здесь на технических подробностях указанных аспектов применения помех, отсылая читателя к книге [147] и ряду источников, приведенных в ее библиографии.

где Т —среднее время устойчивого сопровождения источника. Действитель­ но, обозначая среднее время через m Ti находим

ОО| оо

Параметр Т полностью определяет характер протекания зависимости p(t). Поэтому появляется возможность существенного упрощения вычислений, связанных с решением уравнения (2.6.29).

Следует обратить внимание на то, что в уравнении (2.6.25) в нашем слу­ чае коэффициенты а(т, у) и Ь(т, у) не зависят от начального момента вре­ мени t , в частности Ь(т, у) = ol = const. В этом случае плотность распреде­ ления f ( t , x ; т,у) также не будет зависеть от г, а будет зависеть от раз­ ности и —т — t , т.е., используя тот же символ / для обозначения плот­ ности, в качестве решения уравнения (2.6.25) получим функцию /(* ; и, у). Дифференцируя эту зависимость, находим

153

Обозначим через в время, в течение которого фазовая траектория сто­ хастического уравнения (2.6.24) впервые достигнет поглощающей грани­ цы. Тогда

Дифференцируя выражение (2.6.53) по г, получим плотность распределе­ ния случайной величины в

,ч Э0(х, г)

При желании вычислить среднее время достижения поглощающей грани­

После изменения порядка интегрирования и имея в виду,что f (х; °°,у) =0, получаем

пот

Поэтому вместо первого слагаемого в уравнении (2.6.51) получаем

ь 2

f s (x - y )d y = 1.

Таким образом, в результате интегрирования уравнение (2.6.51) переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение относительно среднего вре­ мени устойчивого сопровождения

154

В случае стохастического уравнения (2.6.24) соотношение (2.6.57)

о^0 О

Постоянные интегрирования Ci и С2 находятся из краевых условий. В дан­ ном случае из условия поглощения следует mQ(L) = 0.

Аналогично, интегрируя по у и г условие вида (2.6.34), находим

Вычисление квадратур в равенствах (2.6.62) и (2.6.63) несравненно менее громоздкая операция, чем решение уравнения (2.6.25) методом прогонки.

Характеристика тв (х) может быть с успехом использована для иденти­ фикации концептуальной модели (2.6.24) с полной математической мо­ делью ОЭСС либо с реальной ОЭСС. На рис. 2.22 показан отрезок процес­ са сопровождения двойного источника, полученный на полной математи­ ческой модели ОЭСС, свободной от каких-либо допущений.

155

Математическое ожидание времени устойчивого сопровождения каждо­ го из источников находится как статистические оценки вида

1

= — ['i +(Гз - Га) + - + (*»«- i)]

N 1

Рис. 2.22. Процесс сопровождения двойного источника при моделирова­ нии на поэлементной модели

Эти оценки и используются при достаточно длительном цифровом экспе­ рименте при сопоставлении с результатом (2.6.62), где при заданном параметре X подбирается уровень шума OQ.

График вида, изображенного на рис. 2.22, можно получить и при полунатурном эксперименте путем регистрации угловых флуктуаций ОЭСС при фиксированном угловом расстоянии между источниками излучения.

В заключение укажем, что модель сопровождения двойного источника допускает распространение на случай нескольких источников, на случай источника излучения с повышенными угловыми размерами, а также для исследования работы ОЭСС на пороговых уровнях сигнала. Один из приме­ ров такого исследования будет рассмотрен в § 3.7, где в качестве аналога уравнения Фоккера —Планка использовано соответствующее интегро-раз- ностное соотношение.

§2.7. Анализ процесса сопровождения истсйника

сраспределенным излучением

Одной из важных прикладных проблем является анализ работы ОЭСС в условиях сопровождения источника с большими угловыми размерами, например сравнимыми с угловыми размерами поля зрения оптической сис­ темы. Такие условия слежения возникают в системах с приемником излу­ чения, очувствленным к длинноволновой части оптического спектра, пос­ кольку в этом диапазоне излучают тела со сравнительно низкой температу­ рой. Повышенной чувствительностью к низкотемпературному излучению обладают фоторезисторы с глубоким охлаждением, которое достигается дросселированием вытекающей струи газа либо с помощью термоэлектри­ ческих холодильников, работающих на основе эффекта Пельтье и Эттингсхаузена [4, 72, 76].

156

При математическом исследовании процесса сопровождения источника излучения с большими угловыми размерами необходимо конкретизировать модель источника, который представляется в виде двумерной функции £(q)(x> У) освещенности. Здесь (х, у) —координаты точки поля лучистос­ ти и символ (iq) означает совокупность параметров, характеризующих условия наблюдения. Мы будем предполагать, что функция E ^ { x t у) от­ носится к плоскости изображения, т.е. в ней учтены дифракционные свой­ ства оптики. Светимость самого объекта задается функцией R ( q)(x, у ), которую можно представить в виде совокупности точек 1)

f/8(x,y)dxdy= 1, 0е(£>).

(О)

В данном случае функция 6(х - х,-, у - yj) характеризует точечный источ­ ник с координатами (хг*, yj) и единичной интенсивностью. В фокальной плоскости он изображается в виде кружка рассеяния с функцией распреде­ ления лучистости [98]

Многие реальные протяженные источники излучения можно представить в виде совокупности выпуклых множеств эллиптической формы. В случае одного такого множества в качестве зависимости R ( qy(x> у) можно рас­ смотреть выражение

Перейдем в выражении (2.7.4) к пределу при Дх*тах -^0, Д.У/max 0.

где v(x, у) определяется выражением (2.7.3).

О Отдельные слагаемые в формуле (2.7.1) представляют светимости элементар­ ных площадок поверхности протяженного источника с размерами Дх/ X Дуу.

157

Для приближенного вычисления двойного интеграла (2.7.6) заменим зависимость (2.7.3) близкой функцией

<2ЛЛ)

Здесь параметр о равен 1/3 радиуса кружка рассеяния, который опреде­ ляется как первый нуль функции J x (р). Он равен 3,8317... и, следователь­ но, в (2.7.7) <7 = 1,2772. Выражение (2.7.7) при подстановке в формулу (2.7.6) позволяет выполнить вычисления до конца, т.е.

Е{Ч)(х, у) =

Формулы вида (2.7.8) служат для ввода информации в поэлементную мо­ дель ОЭСС по методике, описанной в [99]. Применение конечного числа этих формул позволяет описать практически любое детерминированное поле лучистости с достаточной точностью.

Проблема исследования процесса сопровождения протяженного источ­ ника излучения распадается на две части. Одна из них —анализ прохожде­ ния изображения, описываемого формулами вида (2.7.8), через анализатор изображения - встречает непреодолимые аналитические трудности и может быть решена лишь средствами цифрового моделирования. Основным результатом решения этой части проблемы является получение пеленгационных характеристик, снятых по протяженному источнику. Более общим результатом может служить поле коррекционных усилий, построенное при наличии в поле зрения ОЭСС протяженного источника при данной совокуп­ ности (q) параметров наблюдения.

Другая часть проблемы состоит из собственно анализа процесса сопро­ вождения протяженного источника при заданной пеленгапцонной характе­ ристике. Эта часть проблемы поддается ис­ следованию чисто аналитическими приема­ ми и в определенной степени опирается на представления, развитые в предыдущем

параграфе настоящей главы.

Искажение формы пеленгационной характеристики. На рис. 2.23 показана пеленгационная характеристика, полученная при математическом моделировании ана­ лизатора изображения и протяженного источника, линии уровня Е(х9у) = const которого помещены в верхней части рисун­ ка. Из приведенной характеристики видно,

Рис. 2.23. Пеленгационная характеристика при слежении за протяженным источником

158

что при данных угловых размерах источника помимо точки О устойчивого сопровождения имеются еще одна точка 0 2 и две неустойчивые точки 0\ и 0 3. Значения пеленгационной характеристики полезно рассматривать в данном случае как предельные значения угловой скорости вращения ис­ полнительного элемента при сопровождении перемещающегося в простран­ стве источника.

Действительно, в установившемся движении скорость вращения испол­ нительного элемента пропорциональна напряжению, поступающему с вы­ хода электронно-усилительного тракта, которое в свою очередь зависит от углового рассогласования по каждому из каналов управления. Если протяженный источник перемещается влево с угловой скоростью враще­ ния линии визирования £21 , то возникает динамическая ошибка сопро­ вождения, равная Ах (см. рис. 2.23). Так как привод следящего коорди­ натора не может развить скорость, большую чем £2 х, то эта скорость назы­ вается располагаемой. Моделирование показывает, что величина £2 х зависит от угловых размеров источника и обычно уменьшается с ростом угловых размеров сопровождаемого источника. Главным фактором, влияющим на уменьшение располагаемой скорости, служит уменьшение глубины лу­ чистого потока.

После того как ошибка сопровождения достигнет величины А 1у проис­ ходит срыв сопровождения, так как остальные пики пеленгационной харак­ теристики не превышают величины £2i . Если по каким-либо причинам на­ чальное значение ошибки таково, что осуществляется устойчивое сопро­ вождение точки 0 2, то для срыва этого сопровождения достаточной являет­ ся скорость £23.

При неподвижном в пространстве распределенном источнике процесс сопровождения характеризуется уже рассмотренными в предыдущем па­ раграфе случайными переходами с одной точки устойчивого сопровожде­ ния на другую и обратно. Отметим, что при допущении об идеальных усло­ виях модуляции и неперекрывающихся пачках импульсов дополнительных устойчивых точек не возникало. Появление этих точек при отсутствии допущений объясняется изрезанностью пеленгационных характеристик.

Спектральная плотность управляющего сигнала. При слежении за протя­ женным источником в управляющем сигнале появляется низкочастотная составляющая, спектр которой можно оценить следующим образом. Угло­ вые флуктуации при случайных переходах с точки О на точку 0 2 (см.

Функция X(t) связана с угловым расстоянием Дп между точками О и 0 2. При медленном изменении Дп во времени функция \(t) также медленно меняется и вместо соотношения (2.7.9) можно записать приближенное выражение

где T = t 2 ~ t i .

159

В соответствии с (2.7.10) энергетический спектр колебаний находится преобразованием Фурье

В действительности процесс перехода между точками О и 0 2 происходит не мгновенно, а сопровождается переходным процессом в следящем коор­ динаторе. При этом происходит сглаживание телеграфного сигнала — его фильтрация с некоторой постоянной времени 7ф. Кроме того, на угловые флуктуации 77(f) с амплитудой Ап/2 наложены автоколебания f (f), загряз­ ненные шумом (см. рис. 2.22). Таким образом, угловые флуктуации \ (г) представляются в виде суммы

Н0 = т?(0 + Г(0

сэнергетическим спектром

Часть спектра Sz (со) является широкополосной, часть Sy (co) имеет выра­ женный экстремум на частоте со = 0. Если считать первую производную £'(f) с точностью до постоянного коэффициента управляющим сигналом, снимаемым с ОЭСС, то его спектр

Дисперсия управляющего сигнала получается интегрированием (2.7.13)

В выражении (2.7.14) первое слагаемое возникает только при сопровож­ дении протяженного источника. Если размеры источника достаточно малы, то дополнительных точек устойчивого сопровождения нет и X = 0. Второе слагаемое (2.7.14) получается как результат интегрирования

и не связано с наличием протяженного источника. Оно характеризует среднеквадратическую ошибку ОЭСС при слежении за неподвижным точеч­ ным источником и может служить критерием качества управляющего сигнала.

Таким образом, для получения текущего спектра управляющего сиг­ нала необходимо методом математического моделирования получить пос­ ледовательность пеленгационных характеристик для изменяющегося во времени протяженного источника. Затем с помощью соотношений вида (2.6.62) определить среднее время устойчивого сопровождения. Согласно определению интенсивности [68]

160