книги / Механика грунтов, основания и фундаменты

я

Рис. 7.12. Изменение напряженною состояния грунтов основания при разработке котлована (а), при передаче давления от сооружения (б) и соответствующая этим изменениям компрессионная кривая (в)

природному давлению до разработки котлована, а на исходное поле напряжений, возникающее после разработки котлована.

Проследим за этими изменениями, ограничившись анализом только вертикальных сжимающих напряжений (рис. 7.12). Началь­ ное напряженное состояние основания по вертикальной оси z буду­ щего фундамента до разработки котлована может быть представ­ лено эпюрой природного давления a'zg (пунктирная линия на рис. 7.12, а). После выемки грунта произойдет упругое восстановление профиля сечения котлована и изменится начальное напряженное состояние грунтов основания. Предположим, что природное давле­ ние, соответствующее исходному напряженному состоянию, опреде­ лено и характеризуется новой эпюрой azg, показанной на рис. 7.12, а сплошной линией. Очевидно, что в уровне дна котлована, по условиям равновесия, azg=0.

После завершения строительства сооружения на основание через подошву фундамента будет передаваться нагрузка интенсивностью р, что вызовет дальнейшее изменение напряжений по оси z на величину, характеризуемую эпюрой напряжений агр (рис. 7.12, б). Тогда полные напряжения по оси г могут быть представлены эпю­ рой о2р, g>суммирующей исходные напряжения (эпюра azg) и Напря­

жения, возникшие от строительства сооружения (эпюра ozp).

Рассмотрим, как развивался процесс изменения напряженно-де­ формированного состояния грунта в процессе строительства в неко­ торой точке М, расположенной по оси фундамента на глубине г. Пусть компрессионная кривая на рис. 7.12, в отражает закономер­ ности деформирования образцов грунта, отобранных из основания вблизи этой точки.

Вначале, до разработки котлована, природное давление в точке

201

жения 2 (рис. 7.12, в). Важно отметить, что модуль деформации при доуплотнении грунта намно­ го больше, чем в соответствующем интервале изменения напряже­ ний основной ветви уплотнения компрессионной кривой 3.

Дальнейшее нагружение основания от yd до р привело к воз­ растанию полного напряжения в точке М от значения a'2g до g (рис. 7.12, б). Этому соответствует уплотнение грунта, харак­

теризуемое основной ветвью компрессионной кривой 3 в этом же интервале изменений напряжений (рис. 7.12, в).

Тогда процесс развития осадки в основании фундамента с уче­ том разуплотнения грунта при разработке котлована может быть условно разделен на два этапа: определение доли осадка sx при увеличении напряжения от исходного напряженного состояния до напряженного состояния, соответствующего природному давлению, и определение доли осадки s2при возрастании напряжения от yd до полного его значения. При этом общая осадка

Основываясь на указанных положениях, И. М. Юдина* раз­ работала следующий прием определения величин s2и s2, расчетная схема которого приведена на рис. 7.13.

9Юдина И. М. Разуплотнение грунтов основания котлованов н его учет при прогнозе осадок сооружений. Канд. дне.— М.: МЙСИ, 1989.

202

По оси проектируемого фундамента обычным способом с уче­ том неоднородности грунтов определяется эпюра природного дав­ ления 1. Затем строится эпюра изменения природного давления из-за разгрузки дна котлована на величину px=yd (кривая 2 на рис. 7.13). Любая ордината этой эпюры на глубине z может быть опреде­ лена в соответствии с формулами (5.16):

где — коэффициент, определяемый в зависимости от относитель­ ной глубины этой точки z/d, от отношения ширины котлована к его глубине Bjd и отношения размеров сторон котлована в уровне его дна ЦВ (L — длина, В — ширина котлована,). Значения коэффици­ ентов щ приведены в табл. 7.6.

Таблица 7.6. Значения коэффициента ад

203

После этого также по оси фундамента строится эпюра сжима­ ющих напряжений 3 от полного давления р под подошвой фун­ дамента. Любая ордината этой эпюры определяется по формуле

Нижняя граница сжимаемой толщи грунтов основания опреде­ ляется из общего условия на той глубине, где azp= 0,2trzg для плот­ ных грунтов и azp—0,lazg для слабых.

Определение составляющих осадок s2 и s2 производится мето­ дом послойного суммирования. Для этого, как и прежде, сжима­ емая толща разделяется на горизонтальные слои с постоянными для каждого слоя характеристиками грунта. Величина осадки st находится из условия

где Д=0,8; п — количество слоев; hi — толщина г-го слоя; azPiU—

значение напряжения azp>\ в середине г-го слоя; Е ц — модуль дефор­

мации грунта г-го слоя, определяемый по ветви вторичного нагру­ жения (2 на рис. 7.12, в).

При отсутствии опытных данных величина Е ц может быть

принята как

°z p ,li

где kn — коэффициент, равный отношению модулей деформации

при полной разгрузке и нагрузке; определяемый в соответствии с данными табл. 7.7 и 7.8; Е ц — модуль деформации, определяемый

для того же слоя грунта при расчете составляющей осадки s2 (см. ниже); crZPiu и aZPi ц — соответственно ординаты эпюр 1 и 2 на рис.

7.13.

Осадка s2 определяется от разности между полным давлением р под подошвой сооружения и давлением от нагрузки, равной ри по формуле

л Ощ 2(А/

204

где GzP,2i=Gzp,i-vzp, и в середине /-го слоя (при а2Р: i<azPM значение

<т2рд; принимается равным нулю); Е%— модуль деформации, харак­

теризующий сжимаемость грунта /-го слоя. Остальные обозначения те же, что и в формуле (7.52). '

Модуль деформации Ем определяется по основной ветви комп­

рессионной кривой 3 в интервале изменения напряжений от в'ч до azPig (см. рис. 7.12, в).

Расчеты показывают, что найденная таким образом полная осадка s=st +s2 оказывается меньше, чем рассчитанная по методу послойного суммирования без учета разуплотнения грунта при разработке котлована, и в большей степени соответствует измерен­ ным в натуре осадкам в случае залегания относительно плотных грунтов в основании фундамента.

Еще более точных результатов можно добиться, если использо­ вать расчетную схему сжатия слоя грунта с возможностью бокового расширения, т. е. учитывать не только вертикальные, но и горизон­ тальные составляющие сжимающих напряжений (см. § 7.3). Однако в этом случае значительно осложняются как проведение расчета, так и техника определения характеристик деформируемости грунта.

205

Учет нелинейной деформируемости грунта. Все приведенные выше методы расчета осадок основаны на положениях теории линейной деформируемости грунтов и справедливы при условии, что полное давление под подошвой фундамента не превышает расчетного со­ противления грунта (р<2?). Иногда бывает так, особенно при стро­ ительстве на достаточно плотных грунтах, что рассчитанная при этих условиях осадка оказывается намного меньше предельной ее величины, т. е. s*z:su[см. формулу (7.2)]. Следовательно, для полу­ чения более экономичных размеров фундамента можно было бы несколько увеличить давление под его подошвой. Однако при этом оценить ожидаемую осадку методами, основанными на положениях теории линейной деформируемости, уже не представляется возмож­ ным.

Расчет осадок за пределами линейной деформируемости грунтов (при p>R) очень сложен и в настоящее время возможен только численными методами с использованием ЭВМ (см. гл. 8). Вместе с тем при определенных допущениях можно разработать прибли­ женные методы расчета осадок при нагрузках, находящихся за пределами прямой пропорциональности. Ниже излагается такой метод, предложенный М. В. Малышевым и включенный в «Посо­ бие» к СНиП 2.02.01 — 83.

Суть метода заключается в том, что используется аналогия между кривыми «осадка — нагрузка» и «деформация — напряже­ ние». Принимается, что при p ^ R зависимость между осадкой и на­ грузкой практически линейна. Прир —ри(ри— предельная критичес­ кая нагрузка) осадка считается равной бесконечности (см., напри­ мер, рис. 6.1, а). Следовательно, если найти некоторую функцию, описывающую криволинейный участок зависимости осадки от на­ грузки в интервале от p=R до р=ри, то задача может быть решена.

Используя положения теории предельного равновесия, М. В. Ма­ лышев предложил следующее выражение для осадки sp за преде­ лами линейной зависимости, т. е. при p>R:

(7.55)

где sR— осадка основания при p=R; ри— предельное сопротивле­ ние грунта основания, определяемое как отношение вертикальной составляющей силы предельного сопротивления [формула (6.25)] к приведенной площади фундамента [формулы (6.26)], т. е. Pu=NJ(bT); azgt о — вертикальное напряжение от собственного ве­

са грунта в уровне подошвы фундамента.

Анализируя вид формулы (7.55), можно заметить, что при p —R

SP — SR > а при P= PUV*"00’ т- е- выражение соответствует принятым выше граничным условиям.

Формула (7.55) справедлива для однородного напластования грунтов в пределах сжимаемой толщи основания. При неоднород­

206

ном напластовании следует определить толщу грунтов zu, в преде­ лах которой необходимо провести осреднение расчетных харак­ теристик грунтов:

где sR— то же, что и в формуле (7.55); Ё = /?/шк — среднее значение модуля деформации грунтов основания в пределах сжимаемой тол­ щи [ту определяется по формуле (7.22)]; /1=0,8 — безразмерный коэффициент; p0= p -y d — дополнительное вертикальное давление на основание под подошвой фундамента. Если zu, определенное по формуле (7.56), меньше Ь, то принимается zu=b(b — ширина подо­ швы фундамента).

Средние расчетные характеристики (у — удельный вес грунта, с — сцепление грунта, q>— угол внутреннего трения грунта), необ­ ходимые для определения величины Nu по формуле (7.55), для неоднородных напластований допускается находить из условия

где г,- — соответственно уи с,-или (р{каждого /-го слоя; hi — толщина этого слоя в пределах толщи основания, равной zu.

Расчеты осадок за пределом прямой пропорциональности в со­ ответствии с изложенным методом удобно выполнять в такой последовательности. Сначала обычным образом, например мето­ дом послойного суммирования, рассчитывают осадку фундамента при p=R. Если при этом оказывается, что s c s u, то назначают новую, меньшую, ширину фундамента и для нее определяют новое

теристик у, с, ер. Для нового размера фундамента с учетом этих характеристик определяют значение ри и по формуле (7.55) рас­ считывают осадку sp. При этом необходимо выполнение условия

Яр^ яи.

Глава 8 ПРИЛОЖЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА

К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ ГРУНТОВ

8.1. Общие положения

В гл. 3 и 4 было показано, что деформирование грунтов под нагрузками представляет собой очень сложный процесс. Это обус­ ловлено в первую очередь самой природой грунтов, свойства кото­ рых по своему многообразию резко отличаются от свойств конст-

2 0 7

рукционных материалов. Грунтам даже при умеренных нагрузках свойственна нелинейная зависимость между напряжениями и дефор­ мациями (физическая нелинейность), причем значительную до­ лю деформаций представляет пластическая составляющая. Особен­ ностью напряженно-деформированного состояния грунтовых мас­ сивов является часто одновременное существование областей, нахо­ дящихся в допредельном и предельном по прочности состояниях. Очевидно, что свойства грунтов в этих областях должны описывать­ ся различными уравнениями состояния. В подавляющем боль­ шинстве случаев массивы грунтов неоднородны, т. е. включают грунты, различные по составу и механическим свойствам. Внешние границы грунтовых массивов, границы, разделяющие пласты грун­ та, контуры подземной части сооружений имеют подчас очень сложные геометрические конфигурации, отражение которых в рам­ ках строгих решений невозможно.

Уже из этого перечня, далеко не полного, следует, что прогноз поведения грунтового массива под нагрузками связан с большими трудностями, поэтому в инженерной практике используются мето­ ды, основанные на введении упрощающих предпосылок. Таким образом получены многочисленные аналитические решения и раз­ работаны приближенные методы расчета (см. гл. 5 — 7). Как пока­ зывает опыт строительства, в большинстве случаев подобные мето­ ды оказываются достаточными для надежного и экономичного проектирования основания и фундаментов зданий и сооружений. В то же время более полный учет особенностей деформирования грунтов открывает возможности дальнейшего совершенствования проектирования сооружений.

Развитие математического аппарата механики сплошной дефор­ мируемой среды, прикладной математики и вычислительной тех­ ники заложило основы для создания так называемых численных м етодов решения краевых задач. Идеи, заложенные в эти методы, в значительной мере исключают необходимость использования упрощающих предпосылок, свойственных традиционным подхо­ дам. Пока численные методы используются на практике лишь в отдельных, наиболее сложных и ответственных случаях. Однако круг практических задач, решаемых ими, все более расширяется. Этому способствуют интенсивная разработка программного обес­ печения и внедрение высокопроизводительной вычислительной тех­ ники в научных и проектных организациях.

Среди численных методов наибольшее применение в механике грунтов получили метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Разработанные первоначально для решения упругих задач, эти методы в дальнейшем были развиты

вобласть решения упругопластических задач механики грунтов.

Внастоящее время численными методами решаются также задачи консолидации, ползучести, динамики грунтов, гидродинамики и т. д. Базовые концепции численных методов позволяют математи-

208

чески моделировать поведение грунтовых массивов во взаимодейст­ вии с сооружениями с учетом практически всех присущих грунтам особенностей.

Для реализации численных методов разрабатываются вычис­ лительные программы или программные комплексы, ориентиро­ ванные на решение определенных классов задач. Такие программы имеют достаточно универсальный характер и позволяют решать множество задач данного класса. Особенности конкретной задачи (конфигурация расчетной области, неоднородность по физико-меха­ ническим свойствам, граничные условия и т. п.) отражаются в ис­ ходной информации и не требуют изменения алгоритма решения. В этом заключается одно из важнейших преимуществ численных методов и способов их реализации перед аналитическими решени­ ями, каждое из которых справедливо в рамках конкретной задачи.

При изложении материала настоящей главы авторы исходили из того, что в курсах теории упругости и пластичности, строительной механики, прикладной математики и вычислительной техники сту­ денты познакомились с основными положениями МКР и МКЭ, получили навыки программирования и работы с современными ЭВМ, поэтому основное внимание здесь уделяется приложению этих методов к решению задач механики грунтов.

8.2. Основные положения МКР и МКЭ

Метод конечных разностей. МКР, который исторически предше­ ствовал развитию других численных методов, ориентирован на решение задач, описываемых уравнениями в частных производных. Применительно к решению задач теории предельного равновесия он широко использовался В. В. Соколовским, В. А. Флориным и др. Для расчетов напряженно-деформированного состояния оснований в нелинейной постановке он впервые у нас в стране был исполь­ зован, по-видимому, в работе Е. Ф. Винокурова (1972).

Идея МКР заключается в замене частных производных в диф­ ференциальных уравнениях решаемой задачи отношениями разно­ стей переменных, называемых конечными разностями.

Поясним сказанное на примере. Пусть имеется некоторая функ­ ция (р от аргумента х (рис. 8.1, а). Производная dcpjdx в некоторой точке А равна тангенсу угла наклона касательной в точке А к кривой (р(х), т. е. d(pjdx=tga. Выделим в окрестности точки А интервал Ах достаточно малых, но конечных размеров. Этому интервалу соот­ ветствует приращение функции Аср. Тогда можно записать прибли­ женное выражение для производной:

209

Индексация при обозначении функции соответствует нумерации узлов конечно-разностной сетки.

Поскольку определяющие дифференциальные уравнения содер­ жат все необходимые константы (например, упругие характеристи­ ки К и G в задачах теории упругости), то эти константы входят и в конечно-разностные соотношения.

210