книги / Теория и расчет авиационных лопаточных машин

Учитывая соотношения (5.27) и (5.28) из (5.25), разделив второе уравнение на wt и па, получим

где х -- коэффициент стеснения (% - 1 — sit, s — толщина профиля в окружном направлении, t — шаг).

Итак, для баротропной жидкости получена следующая система уравнений осесимметричного течения: движения (5.30); неразрыв­ ности (5.33); ортогональности силы F к средней поверхности тока (5.31); определения поверхности тока (5.32). Вместе с уравнением баротропности р --- р (р) они образуют замкнутую систему уравне­ ний, так как мы располагаем восемью уравнениями для стольких же неизвестных: wr>wuy wzy Fry Fu>Fzy p, p.

В инженерной практике часто используют приемы приближен­ ного учета влияния реальных свойств рабочего тела на характер движения. При этом для описания течения привлекаются уравнения движения идеального газа. Идеальный газ, лишенный трения, рас­ сматривается как модель, позволяющая определить основные черты движения.

Однако во многих случаях, когда доля энергии потерь велика, полностью пренебречь вязкостью и теплопроводностью нельзя. Эф­ фекты вязкости и теплопроводности учитываются в модели идеаль­ ного газа осредненно. В этом случае замкнутая система уравнений осесимметричного течения включает уравнения: движения, нераз­ рывности, первого начала термодинамики с энтропией, состояния идеального газа, ортогональности силы F к средней поверхности тока

В настоящее время разработаны численные методы рас­ чета осесимметричного течения в венцах турбомашины. Мы не будем на них останавливаться в полном объеме. Остановимся подробнее на упрощенном варианте этой теории, так называемой теории цилиндри­ ческой и конической ступени, которая широко внедрена в практику турбостроения. Подробно эта теория изложена в монографии [49], в которой кроме того приведены программы расчета, приспособлен­ ные как для ручного счета, так и для расчета на ЭВМ. Существо этой

101

теории сводится к следующему. Течение рассчитывается в межвенцовых зазорах, поэтому в уравнениях системы (5.30) F = 0, %= Q.. При принятом условии будем иметь:

Уравнение (5.34) называется уравнением радиального равнове­ сия. Первый член в левой части называется радиальным ускорением. Рассмотрим подробнее радиальное ускорение. Разде-

Первый член в правой части выражения (5.36) определяет кривизну линий тока, второй — определяет наклоны линий тока (рис. 5.3)* Для большей ясности изложения получим сначала основные урав­ нения теории для случая несжимаемой жидкости (р — const). Тогда

уравнение неразрывности

Если каждый член уравнения (5.37) разделить на г и провести дифференцирование с учетом (5.35), то можно получить

Если подставить это выражение в (5.36) и полученное соотношение в (5.34), то после несложных преобразований по­ лучим

102

Рассмотрим, какие факторы определяют изменение давления

меридиональных линий тока; первое из них учитывает наклон ли­

зовалось в расчетах осесимметричного течения на самых ранних стадиях развития теории пространственного течения в лопаточных машинах. Поскольку в левой части этого уравнения стоит положи­ тельная величина, давление в этом случае всегда увеличивается при увеличении радиуса лопатки.

пени. Поверхности тока —конические и поэтому радиальная ско­

с учетом кривизны меридиональных линий тока. Наконец, полагая tg у ф 0 и dy/ds Ф 0, получим уравнения конической ступени с уче­ том кривизны меридиональных линий тока.

Для того чтобы завершить вывод расчетных формул теории ци­

Уравнения (5.38) и (5.40) и есть расчетные уравнения теории цилиндрической и конической ступеней в случае несжимаемой жид­ кости. Если положить со ~ 0, w = Су получим уравнения для не­ подвижных венцов. В уравнениях (5.38) и (5.40) при заданных dH*/dr> tg у и dy/ds три неизвестных: w, ws и ф. Поэтому для ре­ шения системы надо задавать одно замыкающее соотношение. Мы рассмотрим это соотношение после того, как выпишем уравнения теории для случая сжимаемой жидкости.

• В случае сжимаемой жидкости для вывода расчетных соотношений следует идти тем же путем, только выкладки получаются более гро-

103

описывает течение за неподвижным венцом. Так же как для уравне­ ний (5.38), (5.40) в рассматриваемом случае количество неизвестных превышает число уравнений. Поэтому необходимо задавать замы­ кающее соотношение. Вид замыкающего соотношения зависит от того, какая задача решается: прямая, т. е. определение параметров потока при заданной геометрии венца (углов (3'); или обратная, т. е. определение углов лопаток при заданных параметрах потока. Для прямой задачи вид замыкающего соотношения таков: wu = w cos (У; wz -= w sin |У. Для обратной задачи вид замыкающего соотношения cvr = / (г). Это соотношение носит название «закона закрутки» лопаток.

Остается указать, что переход от предыдущего сечения zt к по­ следующему zi+1 осуществляется вдоль получаемой из расчета ме­ ридиональной линии тока. Поскольку она заранее неизвестна, не­ обходимы последовательные приближения. Этот переход для враща­

Прямая и обратная задачи решаются численно методом Рунге— Кутта (программы расчета приведены в работе [49 J).

Рассмотрим влияние закрутки потока на протекание параметров по высоте лопаточного венца и форму поверхностей тока на примере турбинной ступени, кото­ рая рассчитывалась в рамках теории цилиндрической ступени при равномерном по­ токе на входе и без учета потерь. Такие условия на расчет ставились в связи с тем, чтобы в «чистом виде» определить влияние закона закрутки потока. На выходе из

104

из которого непосредственно видно, что при законе C m ^-const (законе, постоянной

циркуляции) величина ■= 0 , т. е. осевая скорость не меняется вдоль радиуса.

Однако за РК при сиг ф const величины Я* и pw изменяются. Поэтому в сечении за РК использовалось выражение (5.42) с учетом изменения Я*. Углы р2 = / (г) за РК определялись из условия получения равномерной эпюры скоростей с2а и на­ пора Я*.

точной части. Углы а х и |32 заметно изменяются при изменении закона закрутки, а величины скоростей съ и w2 при принятых условиях сравнения не зависят от

выбора закона закрутки потока. В связи с тем, что величина работы Я* изменяется при изменении закона закрутки, несмотря на постоянство величины сг в этих усло­ виях, степень реактивности изменяется при изменении закона cur = f (г). При этом следует обратить внимание на меньшие изменения р = f (г) при законе а х = const, чем при других. Именно это обстоятельство часто принимается во внимание при профилировании лопаток турбин по радиусу.

В отличие от турбин профилирование закрученных лопаток для ступеней ком­ прессора является более сложной задачей. Связано это с тем, что в диффузорном течении через венцы компрессора, как мы увидим ниже, возможны отрыв потока и, следовательно, существенно ограничен угол поворота потока в решетке. В связи с более жесткими ограничениями на допустимый угол поворота потока в компрес­ сорной решетке и на числа М в компрессоре применяются соответствующие законы закрутки. Наиболее часто употребляются законы: 1) постоянства циркуляции по радиусу car = const; 2) постоянства изоэнтропического напора Я* и постоянства кинематической степени реактивности; 3) промежуточные между этими законами, которые особенно часто применяются для ступеней с малым относительным диа­ метром втулки d (в длинных лопатках), что позволяет получать более низкие числа М на периферии РК в относительном движении и у втулки НА аппарата в абсо­ лютном движении.

После того, как по рассмотренной методике рассчитаны поля параметров потока вдоль радиуса проточной части можно определить распределение расхода по радиусу

расход. Применительно к турбинной ступени, результаты расчета осесимметричного течения в которой мы обсуждали выше, распределения поверхностей тока в зави­ симости от закона закрутки потока представлены на рис. 5.5. Обратим внимание на то, что только при законе рса = const поверхности тока совпадают с соосными круговыми цилиндрами, при cltr = const и аг = const расстояние между соседними

105

поверхностями тока существенно изменяется. Как говорят, происходит течение на поверхности вращения в слое переменной толщины. Если расстояние между сосед­ ними поверхностями токов, т. е. поверхностями Slt достаточно мало, то можно не считаться с изменением параметров потока поперек слоя (в направлении радиуса г);, и мы приходим ко второй задаче — расчету течения на поверхности тока S v Рас­ смотренные выше прямая и обратная задача течения в межвенцовых зазорах всегда разрешимы, однако не всегда однозначно.

Для эффективной работы каждого венца ступени или многоступенчатой турбо­ машины необходимо, чтобы осесимметричный поток на входе и выходе из' венца был безотрывным, т. е. осевая скорость в любом сечении по радиусу должна быть поло­ жительной: са (г) > 0. Если это условие нарушается, то возникают обратные токи около нижней или верхней торцевой стенки и существенно увеличиваются потери Поскольку при решении обратной задачи задаются замыкающие соотношения (закон закрутки), т. е. определяется градиент изменения параметров по радиусу, то воз­ никновение осесимметричного отрыва будет тем вероятнее, чем длиннее лопатки венца и чем меньше расход рабочего тела. На рис. 5.6 приведен пример расчета параметров потока в межвенцовых зазорах турбинной ступени с цилиндрическим меридиональным обводом при отношении среднего диаметра (£>гр) к высоте лопатки

(К) D cp//i = 2,5 и при малом расходе. В рассмотренном примере, когда величина параметра ulcs больше оптимального значения, в корневой части возник отрыв осе­ симметричного потока. Определить возможность возникновения отрыва аналити­ чески в общем случае не представляется возможным и его существование можно обнаружить, производя расчеты течений по приведенной выше методике. Такая про­ цедура называется численным экспериментом. Однако в простейшем случае расчета течения несжимаемой жидкости в цилиндрической ступени, у которой угол р не меняется по радиусу венца, dH*/dr = dS/dr = 0 уравнение (5.52) существенно упрощается

Это уравнение имеет аналитическое решение:

106

где r 0 — радиус корневого сечения; w 0 — константа (скорость у корня)

tj\e rm — радиус периферийного сечения; фт = Q'2Jt; Q — объемный расход. При­ веденные формулы могут служить для приближенной оценки возможности образо­ вания отрыва осесимметричного течения.

5.4. Двухмерный поток на поверхности тока* Плоское течение в решетках

скость, получим плоское течение. Если поверхность Sj существенно отличается от кругового цилиндра, то позже мы покажем как пе­ рейти от течения по круговой поверхности к плоскому.

Рассмотрим прежде всего силовое воздействие решетки профилей в плоском потоке. Рассмотрим решетку профилей и выделим контур ABCD (рис. 5.7). Линии АВ и CD расположим отстоящими далеко от фронта решетки, чтобы можно было считать, что параметры потока не изменяются по шагу t. Линии ВС и DA — коигруентны и от­ стоят друг от друга на величину шага. Применим для невязкого течения теорему о количестве движения в контуре A BCD. Очевидно, что из-за конгруентности линий ВС и DA потоки количества дви­ жения через эти части контура уравновешиваются.

107

Окружная Ru и осевая Ra компоненты силы, действующие нй! профиль в решетке, будут определяться потоками количеств движе­ ния через сечения А В и CD. Для осевой Ra и окружной Ru компо­

нентов силы будем иметь

единичного профиля заключается в том, что скорости на входе в ре­ шетку и на выходе из нее отличаются между собой: в компрессорной решетке скорость на выходе (w2 < wx) меньше скорости на входе (диффузорное течение), в турбинной решетке, как правило, wx < w2 (конфузорное течение). Введем понятие средней скорости wmy ком­ поненты которой для случая несжимаемой жидкости (см. рис. 5.7)

Формула (5.48) называется формулой Жуковского для силы, действующей на профиль в решетке. При t -> оо из (5.48) получается

108

классическая формула Жуковского для единичного профиля: R

=Р^ооГ.

Мы рассмотрели силу, действующую на профиль в относитель­

ном движении. Если рассмотреть абсолютное движение, то для турбинной решетки (см. рис. 5.7) окружная скорость совпадает по направлению с окружной компонентой силы RUy т. е. в турбинной решетке совершается работа. В компрессорной решетке сила Ru противоположна по направлению окружной скорости, т. е. для соз­ дания повышенного давления в компрессорной решетке необходимо затратить работу.

Отметим, что объединяя выражения для Ru и Ra в системе (5.43) Л. И. Седов и Г. Ю. Степанов получили точное обобщение

Выше отмечалось, что когда поверхности тока S x не отличаются от поверхностей соосных круговых цилиндров, то, разворачивая эти поверхности на плоскость, мы приходили к плоскому течению. Од­ нако, как мы видели, даже в осевых турбомашинах радиус поверх­ ности Sj меняется и толщина слоя h (см. рис. 5.5) также переменна. Особенно сильно изменяется радиус поверхности тока S и, следо­ вательно, толщина слоя h в радиальных турбомашинах. Рассмотрим в общем случае, как влияют изменение радиуса поверхности S и толщина слоя h на двухмерное течение в решетках турбомашины. На рис. 5.8 представлено течение в слое h в радиальной турбомашине. Координата qx направлена вдоль слоя, q2 ее ср в окружном направ­ лении и q3 поперек слоя h. Как и ранее, примем, что из-за малости h можно не считаться с изменением параметров потока поперек слоя.

109

В плоскости этого потока координаты определяются так:

(5.53)

Плоскость х, у является конформным отображением осесимметрич­ ной поверхности. Итак, в отличие от течения по цилиндрической

Как мы увидим далее, рассматривая рабочий процесс в радиальных турбомашинах, физические причины такого отличия заключаются в том, что при у "Ф^ 0 на поток в относительном движении действует кориолисова сила. При течении по цилиндрической поверхности

ной скорости w параллелен вектору угловой скорости со (см. рис. 5.8)

и величина векторного произведения 2 со X wy определяющая ко­ риолисово ускорение, равна нулю.

Начиная с работ Н. Е. Жуковского, широко развивались методы расчета плоского течения, а затем и расчеты двухмерных течений в слое переменной толщины. Основными целями этих расчетов, при­ менительно к решеткам турбомашин, являются.

1 . Рассчитывая распределение скорости на профиле, подобрать соответствующую форму профиля, которая обеспечивает заданное отклонение потока в решетке.

2.Осуществить это отклонение с максимальной эффективностью,

т.е. с минимальными потерями. Кроме того, без знания распределения

ПО