книги / Теория и расчет авиационных лопаточных машин

скоростей на профиле невозможно определить потери, рассчитать КПД решетки.

В настоящее время наиболее эффективными методами расчета течений, приспособленными для счета на ЭВМ, являются методы: кривизны линий тока [37]; интегральных уравнений [46]; установ­ ления [52] и комбинация двух последних методов. Применяя эти методы, можно рассчитать как дозвуковые, так смешанные и сверх­ звуковые течения в решетках.

Остановимся подробно на одном эффективном методе, приспособ­ ленном для ручного счета и позволяющем определить распределение скоростей в межлопаточном канале решетки [47 ]. При этом остается открытым вопрос об областях течения вблизи входных и выходных кромок лопаток. Однако для решеток с большой густотой этот ме­ тод позволяет надежно и быстро определить скорости на большей части профиля.

Рассмотрим решетку профилей в плоскости конформного отобра­ жения X, у (рис. 5.9). Ширина межлопаточного канала обозначается так: х = = ув — уА. Индексы В относятся к вогнутой, а А —

квыпуклой стороне профиля. Осредним все функции по координате

у: / (лг, у) — f (х) + f' (х, у). При линейном осреднении можно вычислить производные осредненных функций. Используя правило

С использованием этих соотношений система (5.52), в которой wx = = w cos 0 и wy = w sin 0 , будет выглядеть:

-j; (ХР® cos 0) = 0 ;

А(х^ ) = д ( _ ^ ) _ 2 йх.

Заменяя в последних уравнениях величины с индексом «~» через действительные и переходя к безразмерным параметрам X = w/aKpw; (о = (br/aKpwi получим

111

Порядок расчета распределения параметров в межлопаточном канале следующий. В каждом сечении х = const из первого уравнения (5.54) определяется средняя величина газодинамической функции

2 n r lP Kp wPкр w

По найденному значению q (Я) определяется Я = Я (q) и составляю­

для безразмерных скоростей на выпуклой и вогнутой сторонах ло­ патки:

На рис. 5.10 приведен пример расчета распределения скорости на профиле в плоском потоке указанным методом и сравнение его с точным теоретическим решением и экспериментальными данными. По оси абсцисс отложены относительные расстояния по дугам про­ филя, по оси ординат — распределение скоростей, отнесенное к ско­ рости на выходе из решетки (до2).

Из рис. 5.10 видно, что в пределах межлопаточных кана­ лов погрешность различных спо­ собов для решеток при безотрыв­ ном обтекании не превосходит разницы между эксперименталь­ ными и теоретическими величина­ ми скоростей. Этот вывод под-

П8

тверждается и другими примерами, в том числе и в неплоском потоке (в слое переменной толщины).

Для профилирования решеток и оценки потерь в них важно знать аэродинамическую нагрузку на профиль в решетке. Нагрузка на профиль, очевидно, определяется распределением давлений или скоростей по профилю решетки. На рис. 5.11 приведены типичные распределения давления по профилям турбинной и компрессорной решеток. Распределения давлений и, следовательно, скоростей существенно изменяются по длине дуги профиля и в зависимости от параметров решетки. В каждом конкретном случае для определения нагрузки на профиль необходимо рассчитывать распределение пара­ метров и затем интегрировать полученные эпюры распределения.

Для оценочных расчетов можно эту процедуру значительно упро­ стить, если ввести средние скорости wA по выпуклой и по вог­ нутой сторонам профиля. Попытаемся определить эти скорости. Для ясности изложения ограничимся случаем несжимаемой жидкости и сначала получим формулы для плоского потока. В этом случае циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, охватываю­ щему профиль, должна равняться нулю. Ранее, рассматривая кон­ тур ABCD (см. рис. 5.7), мы получили значение циркуляции по этому контуру. Исходя из условия Г = 0 по контуру, охватывающему профиль, значение по (5.45) должно равняться циркуляции по про­

филю: Г = (|) wds. Если ввести средние скорости по профилю, то ин­

Второе условие для определения wA и wB получим, если запи­ шем проекцию уравнения количества движения на направление фронта решетки: рwLt sin pLw1 cos Pi — pw2t sin p2 w2 cos P2 — P.

Рис. 5.11. Кривые распределения давлений по профилям турбинной (а) и ком­ прессорной (б) решеток

ИЗ

Сила Р, действующая на профиль в направлении фронта, Р ^ = ^ pds = (j) (р* — 1/2pw2) ds. Поскольку для невязкого плоского

Средняя скорость на вогнутой поверхности профиля (доь) сущест­ венно меньше, чем на выпуклой (шЛ). Поэтому для анализа нагрузки на профиль можно ограничиться величиной wA. Средняя скорость тем больше, чем больше угол поворота потока в решетке (Ар - - р2 — pt) и тем больше, чем больше относительный шаг (/As). В дальнейшем мы воспользуемся формулой (5.58) для оценки потерь в турбинной решетке. Для случая течения в слое переменной толщины (/г Ф const) на криволинейной поверхносли S, с изменяющимся радиусом в ра­ боте [351 формула (5.58) была обобщена:

ских решеток РК турбомашин, поверхности тока которых есть кру­ говые цилиндры, можно проводить на неподвижных моделях, в то время как для решеток, расположенных па поверхности Sx с изменя­ ющимся радиусом, такие исследования необходимо проводить только с учетом вращения.

5.4.2. Построение решеток в плоском потоке идеального газа

Современная гидродинамическая теория решеток, кото­ рую можно рассматривать как обобщение теории крыла, приобретает все возрастающее значение при проектировании турбомашин. Ис-

114

следования плоских течений в решетках в значительной степени опираются на методы теории функций комплексного переменного. Определим связь гидродинамической теории решетки с методами те­ ории функций комплексного переменного. Рассмотрим плоский поюк идеальной несжимаемой жидкости через решетку профилей. Координаты х и у рассматриваются как действительная и мнимая части комплексного переменного z = х + iy, а физическая скорость истечения с - сх -}- icu — ceia. Дифференциальное уравнение не­ разрывности (3.6) в плоском стационарном потоке идеальной несжи­ маемой жидкости

На каждой линии тока плоского течения величина ф = const Физический смысл функции тока таков: разность значений функции тока двух соседних линий тока определяет расход жидкости, проте­ кающий между этими линиями.

Если рассмотреть безвихревое (потенциальное) плоское тече­ ние, то из условия отсутствия вихрей можно ввести потенциал скорости Ф так, что

Равенства (5.63) совпадают с условиями аналитичности функций комплексного переменного [521. На этом основании можно считать потенциал Ф и функцию тока ф действительной и мнимой частями функции W, которую называют комплексным потенциалом: =

= Ф + *Ф-

Производная W по комплексной переменной г даст значение

которая по модулю совпадает с физической скоростью течения и от­ личается от нее знаком мнимой части.

Формула (5.64) используется при решении обратных задач тео­ рии решеток, когда задано распределение скорости и надо определить координаты обтекаемого тела. В самом деле, на основании выражения (5.64) получим

115

Рис. 5.12. Годограф скорости течения (а) через решетку профилей (б)

Поскольку на контуре профиля величина ф — const, то

(5.66)

Разделяя действительную и мнимую части в выражении (5.66), по­ лучим значение координат профиля:

,Г sin а

У= г/о+ J ~Y~dO.

Фо

Обратная задача решается с использованием формул (5.67), если удастся найти значение потенциала скорости течения Ф.

Рассмотрим один из применяемых в практике проектирования турбомашин метод профилирования решеток. Зададим желаемое, гидродинамически целесообразное, распределение скорости на про­ филе решетки, т. е. такое, когда в решетке заданный поворот потока осуществляется без отрыва пограничного слоя (критерии отрыва будут обсуждены ниже). Следовательно, мы можем построить годо­ граф скорости (рис. 5.12, а). Граница области годографа соответст­ вует контуру пока неизвестных профилей и является геометриче­ ским местом концов векторов скорости па профиле. Величины ско­ ростей си с2 и углов р,, Р2 известны из расчета треугольников ско­ ростей С Для определения неизвестных координат профиля решетки согласно (5.66) необходимо знать значения потенциала скорости течения Ф. Для расчета течения, т. е. для определения потенциала Ф, область годографа (см. рис. 5.12, а) конформно отображают на круг единичного радиуса (течение в области круга рассчитывается методом особенностей).

1 Напомним, что в относительном движении скорости обозначаются w, а в аб­ солютном движении углы обозначаются а.

116

В концах векторов сх й с2 помещаются соответственно вихреисточник и сток (поскольку рассматривается струйное течение через решетку) с циркуляцией Г и обильностью Q, которые определяются заданным треугольником скоростей:

Для такого отображения используются различные методы. На­ иболее простым является электрическое моделирование. Сущность этого способа заключается в том, что уравнения (5.63) в точности описывают течение электрического тока. Электрический потенциал пропорционален потенциалу течения, а сила тока пропорциональна функции тока. Подробнее такое моделирование изложено в работе 147 ]. Поскольку при электромоделировании устанавливается соот­ ветствие точек плоскости годографа и плоскости круга, находится распределение потенциала Ф на контуре годографа. Затем прямым интегрированием по выражению (5.67) определяются координаты профиля решетки (рис. 5.12, б).

До сих пор рассматривалось течение идеальной несжимаемой жидкости. Практически важным является расчет дозвукового течения сжимаемой среды — газа. Непосредственно распространить рас­ смотренную процедуру на случай течения даже идеального газа не представляется возможным. Однако рассчитать течение идеального газа указанным способом можно, если воспользоваться так назы­

для дозвуковых течений идеального газа к уравнениям движения несжимаемой жидкости заменой модуля скорости с некоторой его функцией V (с). Приближенный характер метода заключается в том, что такое преобразование возможно при замене действительной

совпадении точной и приближенной величины относительной пло­ тности для двух значений приведенной скорости X.

Рассмотрим теперь на примере турбинной решетки сопловой или рабочей (в последнем случае, очевидно, скоростью надо заменить на w) как построить профиль с гидродинамически целесообразным распре­ делением скорости на профиле 147 ]. При заданном треугольнике

117

скоростей годограф скорости выбирается так, чтобы на участках а между точками / и 2, см. рис. 5.12) и б (между точками 3 и 4} приведенные скорости са и сб были бы постоянными, а участок ме­ жду точками 2 \\ 5 — диффузорный. Затем по рассмотренной про­ цедуре строятся профили решетки. Полученные профили имеют плав-, ное распределение скорости при отсутствии местных сверхзвуковых скоростей. Уменьшение потерь обеспечивается расчетом погранич* ного слоя и проверкой диффузорного участка 2—5 на безотрывность обтекания. Для каждого заданного треугольника скоростей полу­ чается двухпараметрическое семейство решеток профилей (с парамет­ рами са и cf) с гидродинамически целесообразным распределением скорости, из которых выбирается наилучшая решетка с учетом кон­ структивных требований.

Для турбинной решетки при угле заострения выходной кромки у > 0 (см. рис. 5.12) в конце выпуклой части профиля обязательно получается диффузорный участок, так как всегда са > с2 при у < О, возможно построить турбинную решетку, не имеющую диффузорных участков, но выходная кромка при этом получается утолщенной, что может обусловить увеличение потерь.

Мы рассмотрели решение обратной задачи на примере турбинной решетки. Очевидно, что указанным методом может быть построена и решетка компрессора. Однако, задавая годограф скорости, отметим, что при общей диффузорности течения участки торможения скорости не носят, как в случае турбинной решетки, местный характер, и обеспечить безотрывное течение пограничного слоя представляет определенные трудности.

5.4.3. Особенности сверхзвуковых течений в решетках и выравнивание потока

Стремление увеличить степень повышения полного дав­ ления в ступени компрессора и степень понижения полного давления в турбине приводят к тому, что увеличиваются аэродинамическая нагрузка на профиле и скорости потока в решетках. При этом в связи с диффузорным характером течения в компрессорных решетках по­ вышенные, в том числе сверхзвуковые, скорости возникают прежде всего во входном сечении. Для турбинных решеток, в которых поток ускоряется (конфузорное течение), большие Скорости возникают

ввыходных сечениях в зоне так называемого косого среза. В 50-х годах особенности таких течений были выяснены Г. Ю. Степановым 147 J в задаче о выравнивании невязкого потока при сверхзвуковом течении в косом срезе решетки и независимо от него Г. И. Тагановым

ввиде решения о выравнивании потока при обтекании решетки полубесконечных пластин с углом атаки.

Рассмотрим эти задачи подробно. Схема течения в косом срезе приведена па рис. 5.13. Отметим прежде всего, что хотя мы не будем учитывать трения о пластины, течение не является изоэнтропическим

всвязи с тем, что возникают потери в скачках уплотнения и потери смешения в потоке струй. Поэтому связь между давлением, плот-

118

Рис. 5.13. Схемы течения в косом срезе решетки (а) и нерасчетное обтекание ре­ шетки пластин (б)

ностью и скоростью не выражается уравнениями Бернулли и изоэнтропы. Вместо их надо использовать уравнение сохранения энергии.

Для контура k — k — 1 — 1 (см. рис. 5.13) запишем уравнения неразрывности, количества движения (в проекции на направление кромок) и энергии:

ркск/ sin ак = piCit sin (ак + б);

при котором произошло полное выравнивание параметров потока.

Далее, определяются безразмерная скорость и отношение полных

Ha рис. 5.14 приведены результаты расчета расширения газа в ко­ сом срезе при k ~ 1,4. При уменьшении р (увеличении скорости с^)

119

Рис. 5.14. Зависимость углов выхода потока и скорости от уменьшения давления при разгоне потока (а) и диаграмма скоростей при расширении в косом срезе ре­ шетки (б)

угол отклонения потока увеличивается и вследствие возникновения потерь в скачках уплотнения и потерь смешения неравномерного потока коэффициент скорости ср уменьшается. Расширение потока до р = 0 (вакуум) происходить не может. При увеличении скорости Ci до такого значения, когда осевая компонента скорости c ia стано­ вится равной скорости звука (см. рис. 5.14), режим является предель­ ным. Начиная с этого момента значения коэффициента скорости ф (см. рис. 5.13, пунктир) увеличивается, что соответствовало бы воз­ никновению скачков разрежения и уменьшению энтропии системы,

называется пределом расширительной способности косого среза решетки.

Обращение рассмотренного течения дает решение задачи обтека­ ния решетки пластин потоком газа, направление которого отлича­ ется от направления пластин ак. Считаются известными угол уста­ новки пластин ак, скорость на входе в решетку и ее направление Pi = рк + б. При Pi Ф рк и кромки решетки обтекаются с отрывом. Возникшая отрывная зона в силу внутреннего трения перемешива­ ется с основным потоком и в сечении k—k, параметры потока вырав­ ниваются. Трением о пластины пренебрегают, поскольку трение о пластины мало по сравнению с потерями выравнивания. Если ско­ рость потока превосходит скорость звука, обтекание сопровождается

системы (5.72) с заменой индексов «/г» на «1» сводятся к квадратному

120