книги / Теория и расчет авиационных лопаточных машин

Рис. 2.4. Схемы элементарных ступеней компрессора (а) и турбины (б) и их раз­ вертки на плоскость чертежа (и — а)

скорость ротора; г — текущее значение радиуса рассматриваемой элементарной ступени.

Геометрически элементарная ступень осевой машины на плоскости чертежа является совокупностью прямых плоских и бесконечных по протяженности решеток профилей. Решетки направляющих и сопловых аппаратов рассматриваются неподвижными. Решетки рабо­ чих колес перемещаются параллельно общему фронту решеток с окружной скоростью и.

Представление элементарных ступеней в виде совокупности реше­ ток профилей позволяет использовать для анализа рабочего про­ цесса и проектирования лопаточных машин разработанный мате­ матический аппарат гидродинамической теории решеток.

Как показано на рис. 2.4, элементарная ступень осевого компрес­ сора состоит из решетки РК, перемещающейся со скоростью а и расположенной за ней неподвижной решетки НА. Необходимое на­ правление потока на входе в ступень (в общем случае для некоторой промежуточной ступени) осуществляется НА предыдущей ступени. У I ступени многоступенчатого компрессора (как и у одноступен-

31

чатого компрессора) эту функцию выполняет ВНА. Это обстоятел^- ство отмечено и в обозначениях расчетных сечений элементарно* ступени компрессора. Так, например, сечение за НА ступени — ( | является одновременно сечением на входе в РК последующей CTJ^ пени — (1). В свою очередь сечение на входе в РК изображенно ступени — 1, может рассматриваться как сечение за НА предыду­ щей ступени — (3) (см. рис. 2.4, а).

Элементарная ступень осевой турбины состоит из неподвижно! решетки СА и расположенной за ней решетки РК, перемещающейся параллельно общему фронту решеток со скоростью и.

Название «сопловой аппарат» сложилось исторически, так как у первых турбин он представлял собой совокупность отдельных

привода различных вспомогательных агрегатов. СА турбины совре­ менного ГТД практически всегда представляет собой решетку про­ филей и более правильно было бы также именовать его НА.

После РК I или промежуточной ступени газ поступает в СА последующей ступени. Однако, если за РК последней ступени имеется значительная закрутка потока, т. е. поток имеет неосевое направление, то для улучшения работы расположенных за этой ступенью устройств (форсажная камера сгорания, переходной канал или реактивное сопло) иногда целесообразна установка спрям­ ляющего аппарата.

Обозначения расчетных сечений подчеркивают, что сечение на входе в СА изображенной ступени 0, является одновременно сече­ нием за РК предыдущей ступени — (2), а сечение за РК 2 , в общем

Полезно обратить внимание (см. рис. 2.4), что и у компрессора и у турбины РК машины (ротор) всегда расположено между сече­ ниями 1 и 2. Это сделано прежде всего для идентичности обозначений и записи основных уравнений, подчеркивающей элементы общности в теории этих двух типов лопаточных машин.

Кинематику потока в ступени лопаточной машины удобно пред­ ставлять в виде так называемых треугольников или планов скоро­ стей, изображенных на рис. 2.5.

Будем обозначать (как это делалось и ранее) абсолютные ско­ рости, т. е. скорости относительно неподвижных частей машины су а относительные, т. е. относительно вращающегося рабочего колеса w.

Очевидно, во всех расчетных сечениях эти скорости связаны

соотношением с = и -f- w, где и — вектор переносной скорости, которой в этом случае будет окружная скорость данной элементар­

от оси ротора, вращающегося с угловой скоростью со.

Скорости потока в проточной части и их составляющие имеют индексы, соответствующие их расчетным сечениям, однако в наиме-

32

Рис. 2.5. Треугольники (планы) скоростей элементарных ступеней компрессора (а) п турбины (б)

новании различных скоростей отражены их особенности с точки зрения рабочего процесса в машине.

Так, например, для компрессора в сечении 1 (см. рис. 2.4, а) на входе в ступень: сх — абсолютная скорость на входе в ступень компрессора; wx — относительная скорость на входе в РК компрес­

за НА ступени компрессора, т. е. за ступенью компрессора и в общем случае для промежуточной ступени — абсолютная скорость на входе в последующую ступень.

Соответствующие индексы присвоены также и составляющим скоростей в проточной части, при этом осевые составляющие в абсо­ лютном и относительном движении са = wa, а окружные состав­ ляющие различаются на величину окружной скорости: си = и ± wu (знак «плюс» соответствует случаю, когда направление составля­ ющей совпадает с направлением окружной скорости).

Изображенный на рис. 2.5 треугольник скоростей элементарной ступени компрессора называется упрощенным, так как при его по­ строении для простоты принят ряд условностей. Условие, что с1а =

— с2а = са весьма близко к действительности, потому что в пре­ делах одной ступени дозвукового осевого компрессора изменение осевой скорости незначительно. Условие их = и2 = и принято для упрощения первичного анализа кинематики потока в ступени, хотя, как показано на рис. 2.4, в элементарной ступени, располагаемой по реальной поверхности (линии) тока, это условие может не выпол­

четах ступеней многоступенчатого компрессора эти различия будут учитываться.

На треугольнике скоростей показаны также углы, составляемые скоростями потока с фронтом решетки (направлением окружной скорости): oti (3) иаг — соответствующие абсолютным скоростям с\ щ

ления. Диффузорный процесс, как известно, сопровождается повы­ шенными потерями, поэтому величины углов поворота в решетках ступеней компрессора ограничивают значениями Ар (Да) с 20 ... 30°.

Перейдем теперь к рассмотрению треугольников скоростей эле* ментарной ступени осевой турбины, показанных на рис. 2.5. В сту­ пени турбины в сечении 1 (в межвенцовом зазоре): сх — абсолютная скорость на выходе из соплового аппарата (за СА); w1 — относи­ тельная скорость на входе в РК. В сечении 2 (за ступенью): w2 — относительная скорость на выходе из РК (за РК); с2 — абсолютная

скорость на выходе из ступени (за ступенью).

В элементарной ступени турбины осевые скорости за ступенью,

В дальнейшем при изображении упрощенного треугольника скоро­

треугольниках принимается, что скорость на входе в ступень совпа­ дает со скоростью за ступенью (т. е. скоростью на входе в следующую ступень: с^ = с2ц -\) = c2i. В детальных расчетах турбин эти различия также будут учитываться, тем более, что скорости на входе в отдельные ступени многоступенчатой турбины могут разли­ чаться значительно, существенно возрастая по тракту турбины (от входа до выхода).

Углы потока в проточной части элементарной ступени турбины:

(в абсолютном движении по с2).

Треугольник скоростей, показанный на рис. 2.5, б, характерен для ступеней, применяемых в авиационных ГТД. У этих ступеней

3 4

что удобно в расчетах. Это соответствует принятию положительного

направления составляющей с2и — против окружной скорости (слева направо на рис. 2.5). Это обстоятельство найдет свое отражение в даль­ нейшем при записи величины теоретической работы, в которой фи- 1Урирует член Аси = с1и -\- с2и, в отличие от принятого в компрес­ сорах Аси — с2и — сли. В соответствии с этим и выражения для углов поворота потока будут отличными. В РК Ар = еРК = 180° — - (Рх -f р2) в СА Да = еСЛ = 180° — (а2 + °ч).

В решетках турбины происходит процесс разгона потока — кон фузорный процесс (увеличения скорости и уменьшения давления) w2 > и сг > с 2 (о). Конфузорность потока в решетках турбины допускает существенно большие углы поворота потока без значи­ тельного увеличения потерь. В СА он может достигать значений Аа = 80 ... 90°, в РК — Ар - 100 ... 110°.

При рассмотрении треугольников скоростей элементарных сту­ пеней используются понятия о некоторых средних по шагу значе­ ниях скоростей в расчетных сечениях. Это соответствует принимае­ мому допущению о том, что, несмотря на введенную в рассмотрение

С развитием вычислительных машин на повестке дня стоит во­ прос о практическом использовании полной (трехмерной нестацио­ нарной) математической модели лопаточных машин при их расчете

ипроектировании.

2.3.Основные уравнения теории турбомашин

2.3.1. Уравнения для неподвижного жидкого объема

В основных уравнениях механики сплошной среды используются производные по времени dF от некоторых скалярных

или векторных величин F. Эти величины определены интегралами по изменяющемуся с течением времени жидкому объему V (рис. 2.6). В теории лопаточных машин удобнее рассматривать изменения ве­ личин F не в жидком, а в фиксированном контрольном объеме V0, ограниченном неизменной проницаемой контрольной поверхностью 5 , контур которой показан на рис. 2.6 штриховой линией.

Пусть в некоторый момент времени t = tQ жидкая поверхность совпадает с контрольной. Через элементарный промежуток времени At

каждая точка жидкой поверхности сместится на Аг — с At. Выделим на контрольной поверхности, совпадающей с жидкой при t — t0, элементарную площадку А5. За время At эта площадка, переме-

относительное движение, то проекция вектора скорости w) на внеш­

В формуле (2.11) первое слагаемое называется потоком величины F через неподвижную контрольную поверхность S, второе — скорость изменения величины F в контрольном (неподвижном) объеме V0. В случае стационарного течения этот член, очевидно, равен нулю. Ниже при выводе основных уравнений теории лопаточных машин мы воспользуемся уравнением (2 . 11) при вычислении изменений по времени: массы, момента количества движения и энергии. По­ скольку речь будет идти о стационарном движении, изменение по

36

Закон сохранения массы, записанный в виде выражения (2.15 одинаково применим для абсолютного движения через вращающиес и неподвижные венцы турбомашин.

Уравнение расхода часто записывается в так называемых газа динамических функциях. Например, для входного сечения компрес сора

Gр»я { К ) sin

”I/ П

где pi, Т1 — средние значения давления и температуры торможения

считать в общем случае только относительное движение, связанное с подвижной (неинерциальной) системой отсчета. Выведем формулу Эйлера”— основное уравнение теории лопаточных машин, справед­ ливое для установившегося движения в любой лопаточной машине.

Рассмотрим относительное установившееся движение. Будем исходить из уравнения момента количества движения (2.3) и учтем неинерциальность принятой системы отсчета. На рассматриваемый контрольный объем (см. рис. 2.7) действуют следующие моменты внешних сил:

1. Момент сопротивления вращению со стороны вала (УЦ)-Этот момент положителен в случае компрессора, когда подводится мощ­ ность, и отрицателен для турбины, когда мощность отводится.

2.Момент трения (Мтр), направленный против вращения венца. Он включает в себя внешнее трение рассматриваемого объема, на­ пример, трение ограничивающего бандажа о газ, а также трение диска.

3.Моменты сил инерции: кориолисовой силы (Мкор) и центро­ бежной. Очевидно, что момент центробежной силы инерции относи­ тельно оси вращения равен нулю.

Тогда по уравнению моментов количества движения (2.3)

-jj- j (гX w) f>dV = MIi0p -f M - M rp. r

38

Црессора и турбины. Его часто используют для машины в целом несмотря на то, что операция осреднения (переход к некоторым средним значениям скоростей) и вычисление величины Л4тр могут

уравнений (2.19). Их называют соответственно теоретическими мо­ ментами компрессора и турбины (Л1К.теор и M Tt теор). Будем также записывать их для элементарной ступени машины, тогда в урав­ нениях будут фигурировать значения скоростей и радиусов, соответ­ ствующие рассматриваемым элементарным ступеням.

Напомним также, что величина мощности, подведенной (отве­ денной) к некоторому количеству рабочего тела, равна произведению, подведенного (отведенного) момента на угловую скорость со = и/г. Тогда выражения для теоретических мощностей элементарных сту­ пеней

Как отмечалось выше, отношение мощности к секундному рас­ ходу представляет собой удельную работу (у компрессора называе­ мую также напором).

Поэтому теоретическая работа элементарной ступени компрессора (теоретический напор) и теоретическая работа элементарной ступени турбины:

также называют обычно формулами Эйлера.

Для ступени осевой турбомашины, у которой и2 ж иъ уравне­

Окружные составляющие (си и wu) в теории турбомашин назы­ вают закруткой потока (соответственно на входе в лопаточный венец и на выходе из него). В самом общем случае положительной закрут­ кой называют закрутку по направлению вращения (совпадающей

си), а отрицательной — против направления вращения. Однако у большинства турбин направление потока за ступенью,

близкое к осевому (с2и = 0), но чаще против направления вращения. Поэтому в соответствии с принятым направлением отсчета углов в треугольнике скоростей турбины положительной закруткой за степенью считают закрутку против направления вращения.

40