книги / Теория и расчет авиационных лопаточных машин

fan, например, промышленное применение паровых турбин, имеющих рабочий Процесс, близкий к рабочему процессу в газовой турбине, началось еще во второй

половине XIX века. Тогда же интенсивно развивалось и компрессоростроение. Вентиляторы, воздуходувки и компрессоры широко использовались в шахтных вентиляционных системах, для доменного дутья и в химическом машиностроении. Можно считать это первым (доавиационным) периодом развития воздушных и газо­ вых компрессоров и турбин.

Второй авиационный (но еще не газотурбинный) период развития лопаточных машин начался с основополагающих работ по аэродинамике течений проф. Н. Е. Жу­ ковского и акад. С. А. Чаплыгина, заложивших теоретические основы современ­ ной теории лопаточных машин. В авиации в это время (первая половина XX века) господствующим типом двигателя был поршневой. Но уже к середине 30-х годов стремление повысить мощность и высотность поршневого двигателя привело к по­ явлению агрегатов наддува — приводных центробежных компрессоров и турбо­ компрессоров, в которых турбина, работающая на выхлопных газах поршневого

чался в 1945 г. Этот более чем 40-летний опыт развития авиационных ГТД принято систематизировать с помощью введенного в работе [4] понятия о поколениях авиа­ ционных ГТД. Все созданные за эти годы двигатели, а следовательно, их лопаточные машины принято делить на четыре поколения.

Приведем позаимствованную в работе [4] краткую характеристику поколений

вальным осевым или центробежным компрессорами, со степенью повышения давле­ ния я* — 3 ...4 ,5 , с неохлаждаемой турбиной, имеющей на входе температуру

Т* = 1000... 1050 К.

II поколение (1950—1960 гг.) — характеризуется появлением двухвальных осевых компрессоров ТРД и ТВД и одновальных с я* = 7 ... 13, турбина по-

прежнему неохлаждаемая, хотя температура перед ней достигла значений Т* =

=1150... 1250 К.

III поколение (1960—1970 гг.) — характеризуется появлением ТРДД (и иногда

называется I поколением ТРДД). В одноили двухвальных компрессорах ТРД

зуется дальнейшим ростом всех параметров лопаточных машин. Новые еще более высокие требования к лопаточным машинам предъявляют создаваемые в настоящее время двигатели «изменяемого» цикла — адаптивные двигатели.

Современные двигатели и их лопаточные машины создаются в настоящее время усилиями больших коллективов инженеров и ученых. Важные результаты полу­ чены в ведущих институтах ЦАГИ, ВВИА им. Н. Е. Жуковского и ЦИАМ им. П. И. Баранова, в ведущих ОКБ, в авиационных институтах городов Москвы, Казани, Харькова, Куйбышева, Уфы, в МВТУ им. Баумана и других органи­ зациях.

Успехи авиационного двигателестроения оказали определенное влияние и на смежные области науки и техники, использующие лопаточные машины.

22

Г л а в а 2

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТУРБОМАШИН

2.1. Принципы построения математического аппарата и исходные уравнения

Основными уравнениями теории лопаточных машин яв­ ляются изученные ранее в механике и термодинамике универсаль­ ные уравнения механики сплошной среды. Напомним, что в механике сплошной среды с помощью методов, развитых в теоретической меха­ нике, рассматриваются движения таких материальных тел, которые заполняют пространство непрерывно, сплошным образом, и расстоя­ ния между точками которых во время движения меняются. Все тела состоят из отдельных частиц, но их много в любом существенном для рассмотрения объеме, поэтому тело можно приближенно рассматри­ вать как среду, заполняющую пространство сплошным образом. Допущение о сплошности среды справедливо, если ИL <Д 1, где I — длина свободного пробега молекул; L — характерный размер лопа­ точной машины. Если учесть, что для нормальных условий длина свободного пробега молекул в газе составляет I = 1СГ5 ... 10~6 см, а характерный размер, например, хорда профиля L ~ 1 ... 10 см,

юможно видеть, что гипотеза сплошности удовлетворяется. Помимо гипотезы сплошности при выводе универсальных урав­

нений механики сплошной среды делаются еще предположения об эвклидовости пространства, абсолютности времени, а также малости скорости среды по сравнению со скоростью света.

Выпишем [46] универсальные уравнения механики сплошной среды. Все они записываются применительно к изменяющемуся по времени жидкому объему (1/), состоящему из одних и тех частиц и

водная по времени от количества движения (pcdV) объема (К) равна с\ мме всех внешних действующих на него массовых (F) и поверхност­ ных сил {pdf):

где df — элемент поверхности /, ограничивающей объем V,

23

3. Уравнение моментов количества движения, гласящее, что’

производная по времени от момента количества движения (г X с) К X pdV жидкого объема V относительно некоторой точки равна сумме моментов внешних массовых и поверхностных сил, действую­

щих на этот объем относительно той же точки (г — радиус-вектор):

4. Уравнение энергии, гласящее, что производная по времени кинетической и внутренней энергий выделеиного объема равна сумме мощностей всех внешних массовых и поверхностных сил, сложенной

нениями для любой сплошной среды. Они справедливы и для раз­ рывных движений, когда характеристики движения и состояния сплошной среды не являются всюду в объеме V непрерывными функ­ циями координат, в том числе и для ударных процессов. В области непрерывных движений интегральные формы уравнений механики

рассматриваются как общий интеграл уравнений движения (например, уравнение Бернулли). В свою очередь уравнение равновесия может рассматриваться как одна из форм законов сохра­ нения. Особенность уравнений сохранения состоит в том, что они записываются для некоторого объема газа, ограниченного некоторой контрольной поверхностью и дают возможность судить о процес­ сах, происходящих в этом объеме, по параметрам газа на границах этой контрольной поверхности, не вскрывая механизма процессов, происходящих внутри объема. Например, в установившемся движе­ нии секундная масса рабочего тела, вошедшая в лопаточную машину через часть или части ее контрольной поверхности (вход), равна секундной массе, вышедшей через другую часть (или части) кон­ трольной поверхности (выход).

В уравнения (2.2) ... (2.4) входят массовые и поверхностные силы. Рассмотрим подробнее существо этих понятий, применительно

24

к задачам теории лопаточных машин. Если обозначить через AF главный вектор массовых сил, действующий на элемент массы Ат, к) плотность массовой силы, имеющей размерность ускорения и вхо­ дящей в уравнения (2.2) ... (2.4):

Число различных массовых сил невелико:

1. Силы тяжести F ~ g. В задачах теории лопаточных машин эта сила мала по сравнению с другими действующими силами и ее не учитывают.

2.Электромагнитные силы. Эти силы также несущественны для теории лопаточных машин, которая обычно имеет дело с непрово­ дящими средами.

3.Силы инерции (центробежная, кориолисова сила), которые приходится вводить при изучении движения в неинерциальных системах координат и которые с точки зрения самого движущегося тела являются обычными реальными внешними массовыми силами. Эти силы мы будем учитывать, когда рассмотрим относительное движение в подвижной (вращающейся вместе с ротором турбома­ шины) системе координат.

Кроме того, рассматриваются искусственно вводимые силы. Например, эти силы вводятся при изучении осесимметричного тече­ ния, когда действительное число лопаток вращающегося венца за­ меняется бесконечным числом бесконечно тонких лопаток.

Для описания конкретных движений сплошной среды в лопаточ­ ных машинах и в механике сплошной среды вообще интегральных уравнений неразрывности, движения, моментов количества движе­ ния, энергии и энтропии оказывается недостаточно. Для конкретных движений, т. е. для выбранной физической схемы явления число уравнений меньше числа входящих в них независимых переменных,

система незамкнута. Построение замкнутой системы уравнений, описывающей данное физическое явление, связано с введением до­ полнительных соотношений между параметрами. Составить замкну­ тую систему уравнений — это и значит построить математическую модель изучаемой физической схемы.

Говоря о моделях, прежде всего следует иметь в виду модель идеальной сжимаемой жидкости (идеального газа) и модель вязкой жидкости. Как известно, идеальным газом называется среда, в ко­

торой напряжения /?, входящие в формулу (2.2), ортогональны к пло­ щади. В случае идеального газа процессы обратимы и, следова­ тельно, некомпенсированное тепло dQ' = 0. С учетом указанных свойств основные уравнения механики сплошной среды в дифферен­ циальной форме для идеального газа записываются так:

1. Уравнение неразрывности

25

2. Уравнение количества движения (в данном случае уравне­ ние Эйлера)

Эти уравнения представляют собой замкнутую систему уравнений. Так как для идеального газа рассматриваются адиабатические про­ цессы (dQRн = 0), то для каждой индивидуальной частицы энтропия сохраняется. Если энтропия у всех частиц одинакова, то давле­ ние р и температура Т зависят только от плотности р. Такой про­ цесс, как известно, называется баротропным. Для баротропного процесса замкнутая система уравнений состоит из уравнений (2 .6), (2.9) и условия баротропности р = / (р). Обоснуем возможность при­ менения и пределы использования в теории турбомашин модели

идеального газа. Как известно, в модели вязкой жидкости компо-

■*>

ненты напряжений /?, входящие в формулу (2 .2), обычно связаны с компонентами скоростей деформаций законом Навье—Стокса. Если воспользоваться этим законом и уравнением (2 .2), которое записы­ вается в дифференциальной форме, то получаются дифференциальные уравнения движения вязкого газа—уравнения Навье—Стокса. Для вязкого газа уравнение (2 .8) позволяет установить формулу для некомпенсированного тепла dQ'. В теории турбомашин обычно вводят так называемый коэффициент изоэнтропичности

или связанные с ним коэффициенты потерь, которые определяются из опыта, а иногда и расчетным путем. Интегрируя выражение (2.8) с учетом уравнения состояния (2.9) и формулы (2.10), можно полу­

чить

п

Для идеального газа в изоэнтропическом процессе а = 1.

В общем случае параметры потока (скорость, давление, темпе­ ратура) зависят от трех пространственных координат и времени. Если выбрать наиболее удобную для исследования течения в лопа­ точной машине цилиндрическую систему координат, то, как пока-

зано на рис. 2 .1, радиус-вектор г точки А есть функция трех пере­ менных, т. е. г = / (г, 0, z) г. Таким образом, течение в лопаточной

1 В теории лопаточных машин, как и показано на рис. 2.1, координату вдоль оси машины z чаще обозначают через а.

26

машине достаточно сложный процесс (надо еще иметь в виду, что уравнения движения для газа являются нелинейными многомер­ ными уравнениями) и приходится прибегать к различным упрощен­ ным математическим моделям, связанным с уменьшением числа не­ зависимых переменных. Прежде всего различаются установившиеся и неустановившиеся течения.

Турбомашины (компрессоры, турбины) состоят из чередующихся вращающихся и неподвижных лопаточных венцов. Рассмотрим сна­ чала движение во вращающихся венцах. Как известно из гидромеха­

ники различают траектории и линии тока. Вектор скорости частицы с

зависит от радиус-вектора г и времени t: с — f (г, t). Пути отдельных частиц с течением времени называют траекториями.

Если провести кривые, направление которых в каждой точке совпадает с направлением скорости в рассматриваемой точке, то такие кривые, дающие наглядное представление о направлении скорости разных частиц в данный момент времени, называются

линиями тока. Если движение установившееся, то скорость w

27

и — вектор скорости переносного (вращательного движения)

w — вектор скорости в относительном движении. Очевидно, что

с — и w - со х г -\-w, где о) — вектор угловой скорости. На

рис. 2.2 показаны линии тока и траектории в абсолютном движении

—V

через вращающийся с окружной скоростью и лопаточный венец. Скорость в межлопаточном канале неравномерна по окружности, поэтому при вращении венца скорость в данной точке зависит от времени. Такое абсолютное движение является неустановившимся

сf (г, t ) . Радиус-вектор г зависит от трех пространственных

координат. Таким образом, если рассматривать течение через вращающийся венец в абсолютном движении, то получается сложная зависимость параметров от трех координат и времени. Если перейти к рассмотрению относительного движения (наблюдатель находится в системе отсчета, которая вращается вместе с венцом), то линии тока и траектории будут совпадать, движение будет установившимся 1* и параметры потока будут зависеть только от трех координат и не зависеть от времени.

2.2. Модели течений в турбомашинах

Рассмотрим прежде всего модели, связанные с сокраще­ нием числа пространственных координат. Многие задачи теории лопаточных машин могут быть решены, если воспользоваться мо­ делью, в которой нет явной зависимости параметров от координат. Параметры компрессора или турбины определяются в дискретном числе точек по оси машины, например, только во входном и выходном сечениях. Такую простейшую модель можно условно считать «нуль­ мерной» (рис. 2.3).

При этом подвод мощности к рабочему телу N K в компрессоре (см. рис. 2.3, а) осуществляется в некотором сечении между расчет­ ным сечением на входе в и на выходе к . В турбине (см. рис. 2.3, б)

1 Строго говоря, при неравномерной в абсолютном движении скорости на входе во вращающийся лопаточный венец (такая неравномерность создается, например, предыдущим рядом неподвижных лопаток) положение рабочих лопаток относительно неподвижных все время меняется, поэтому в относительном движении при и = = const движение будет периодически неустановившимся. При большой скорости вращения соответствующий период будет мал.

28

шбор мощности от потока происходит в некотором сечении между расчетными сечениями на входе (горячее сечение) г и на выходе из него т. В расчетных сечениях принимаются некоторые средние значения всех газодинамических параметров: давления, темпера- I уры, плотности, скорости и т. д. Очевидно, и в этом случае будут использоваться основные уравнения. Несмотря на свою простоту, ага модель дает возможность получить ряд важных расчетных соот­ ношений, необходимых для проектирования компрессора и турбины.

Так, например, удельная мощность или работа, затрачиваемая компрессором на сжатие единицы массы воздуха, называемая просто работой компрессора (или ступени 1}) или затраченной работой, определяется по формуле

или

где GB— секундная масса (секундный расход воздуха) компрессора. Аналогично работа, совершаемая единицей массы газа при его расширении в турбине (или ступени) ГТД с учетом всех газодинами­

ческих потерь, называемая работой турбины,

где Gr — секундная масса (секундный расход газа) турбины в кг/с. По определению секундная масса компрессора — расход воздуха

отбирается от промежуточных ступеней для нужд самолетных си­ стем кондиционирования, системы охлаждения турбины, для при­ вода вспомогательных агрегатов и для целей регулирования компрес­ сора (перепуск воздуха). Соответственно в проточную часть турбины может вводиться воздух из системы охлаждения. Поэтому расход воздуха (газа) за машиной может отличаться от расхода во входном сечении. Это обстоятельство (см. рис. 2.3) в каждом случае будет оговариваться особо.

Для этой модели в дальнейшем будут использоваться следующие уравнения:

в) уравнения энергии в механической форме; г) уравнение количества движения (уравнение осевых сил, дей­

ствующих на ротор лопаточной машины.

Рассмотренная модель существенно ограничена. Она не позво­ ляет, в частности, определить изменение параметров потока по длине г, шагу (координате 0) и по радиусу г венца. В связи со слож­ ностью полной трехмерной модели помимо простейшей «нульмерной»1

1 В соответствии с ГОСТ 23851—79 затраченная работа одной ступени обозна­ чается также Нг.

29

и полной широко распространены одномерная и двухмерные модели лопаточных машин.

В одномерной (струйной) модели параметры потока зависят только от одной координаты г (а). Двухмерных моделей три: осесим­ метричного течения, когда параметры потока зависят только от координат г и г и не зависят от угловой координаты; течения на осе­ симметричных поверхностях тока в слое переменной толщины (в част­ ном случае плоского течения на цилиндрической поверхности тока), когда параметры потока зависят от координат г, ф и не зависят от координаты г; и модель вторичных течений в поперечных сечениях двухмерного потока.

Главные применения основных теорем в теории лопаточных ма­ шин касаются установившегося двухмерного течения через неподвиж­ ные и вращающиеся с постоянной угловой скоростью лопаточные венцы.

Рассмотрим две основные модели:

1) установившегося осесимметричного течения через турбома­ шину, ее ступень или один лопаточный аппарат;

2) установившегося двухмерного течения через решетку в слое переменной (или постоянной) толщины на поверхности тока.

В осесимметричной модели пренебрегают пульсациями параметров потока в окружном направлении ф и по координате г (эти пульсации возникают из-за конечного числа взаимодвижущихся лопаток) и изображают поток в меридиональной плоскости, проходящей через ось вращения г. Отметим, что рассмотрение осесимметричной модели означает замену реальных лопаточных аппаратов идеализирован­ ными с бесконечным числом лопаток. Для строгого перехода к такому потоку производится осреднение дифференциальных уравнений дви­ жения по ф и /, причем в получающиеся уравнения осесимметрич­ ного течения входят дополнительные члены порядка квадрата пуль­ саций осредняемых параметров и их производных [52]. Как пока­ зывают расчеты, эти члены малы и ими практически пренебрегают, хотя они могут быть вычислены и учтены.

В осесимметричной модели поток можно разделить поверхно­ стями тока на осесимметричные слои переменной толщины Аг и в каждом слое рассматривать двухмерное обтекание решеток с пара­ метрами, зависящими только от угла ф и координаты г. Такой элемент полной ступени получил название элементарной сту­ пени.

Элементарную ступень естественно располагать между соседними поверхностями тока, хотя в дальнейшем для простоты элементарная ступень осевой машины часто будет рассматриваться образованной двумя бесконечно близкими соосными прямыми цилиндрами, так что ее проекция в меридиональной плоскости будет параллельна оси машины (рис. 2.4).

Элементарную ступень удобно развернуть на плоскость чертежа. Течение рабочего тела в элементарной ступени в этом случае будет рассматриваться как плоское течение в плоскости и—а. Здесь и = = озг — текущее значение окружной скорости, где со — угловая

30