книги / Основы автоматики

а также должны отсутствовать произведения и частные от пере­ менных. Характерной особенностью линейных систем является линейнооть зависимости между входной и выходной величинами в установившемся режиме работы, который наступает пооле завер­ шения переходных процессов, вызванных произвольным изменением входного оигнала или возмущающего воздействия. Математически это выражается в том, что уравнение

называемое статической характеристикой, для линейных элементов имеет вид

ская характеристика меняетоя без скачков и изломов, а сам диапазон мал, линеаризация не приведет к боль­

шим ошибкам. Это объясняется тем, что при сделанных допущениях между малыми приращениями входной и выходной величин в устано­ вившемся режиме справедлива линейная зависимость

где к - постоянный коэффициент, численно равный тангеноу угла наклона касательной к кривой у =у (х ) в точке X = XQ.

Рис.2.3. Статические характеристики некоторых типичных нелинейных элементов:

а) квадратичного детектора; б) линейного детектора; в) линей­ ного детектора о ограничением; г) релейного детектора о зоной

нечувствительности

Если статическая характеристика имеет разрывы и изломы в рабочем диапазоне изменения величин х и у (рис.2 .3 ), то ее линеаризовать невозможно. Элемент, обладавший такой характе­ ристикой, является оугубо нелинейным и его работа должна иссле­ доваться о помощью нелинейных уравнений.

§ 2 .2 . ОБЩИЙ МЕТОД ЛИНЕАРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Расомотриы общий порядок линеаризации дифференциальных уравнений.

Пусть, например, дифференциальное уравнение, связывавшее

Допуотим, что в -уотановивиемоя режиме работы, соответствующем заданному постоянному значению выходной величины х = Хд , у *

При малых отклонениях, которые должны иметь меото, если авто­ матическая оиотема нормально функционирует, функцию (2 .6) мож­ но разложить в ряд Тейлора около ее значения, определяемого

уравнением (2 .7 ). Ограничиваясь при атом линейными членами ряда, получим

Рис.2 .4 . Пояснение геометрического смыола линеаризации

постоянные коэффициенты при соответствующих переменных. Вычтя из выражения (2.8) соотношение установившегося ре­

жима (2 .7 ), получим искомое линеаризованное уравнение, описы­ вающее динамику работы рассматриваемого звена при малых от­ клонениях:

Эта форма аапиои дифференциальных уравнений широко приме­ няется в практике исследования и описания работы систем авто­ матического управления. Степень оператора р соответствует по­ рядку производной по времени от величины, в которой применяет­ ся этот оператор. Символ -j- означает операцию интегрирования. Степень в этом случае соответствует кратности интеграла.

§ 2 .3 . ПОНЯТИЕ О ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

В теории автоматического управления дифференциальные урав­ нения принято также записывать в символической форме. Считая

4 ^ = 7 г у - ь т - ^ / в теории автоматического управления называются передаточными

функциями по управляющей величине и по вовмущению, соответствен­ но. Формально они предотавляют собой символическую запиоь дифференциального уравнения (2 .12). Однако строго эти функ­ ции могут быть определены только с помощью преобразования ве­

Преобразованные функции X ( s ) , Y ( S ) , F;( S ) называются изображениями по Лапласу. Передаточная функция элемента и опре­ деляется как отношение изображений выходной и входной величин

при нулевых начальных уоловиях и при других воздействиях, рав­ ных нуле.

При совладении некоторых,не рассматриваемых здесь уоловий, передаточные функции, записанные о помощью комплексной пере­

Понятие передаточной функции позволяет представить любые злементы автоматической оиотемы условно в виде структурных звеньев, соединение которых образует структурную охему оиотемы (рм о.2.5). Как будет показано в дальнейшем, такие структурные охемы значительно облегчают составление дифференциального урав­ нения линейной оиотемы по нзвеотяым уравнениям ее элементов.

В заключение,уоловимоя в дальнейших запиоях линеаризован­

Пусть имеется некоторый элемент, воспроизводящий тригоно­

быть получена, например, в результате выполнения эксперимента и представлена статичеокой характеристикой (рно .2 .7).

Момент нагрузки также определяется рядом причин. Наиболее чаото он завиоит от скорооти вращения вала двигателя и от ста­ тического момента нагрузки. Следовательно,

Рис.2 .7 . Статичеокая характеристика зависимости движущего момента от перемещения заолонки

Эта статическая характеристика также может быть определена экспериментально (рис.2 .8 ). В соответствии о уравнениями

Рис.2 .8 .Статическая характе­ ристика зависимости момента нагрузки от скорооти вращения вала двигателя

(2.24)

Обычная процедура линеаризации этого уравнения дает

3. Ракета, как объем управления движением по углу тангажа

В первом приближении система сил и координат, характеризую­ щих движение ракеты вокруг центра маос по углу тангажа, может быть определена из рис.2 .10, на котором обозначено:

0 - угол между осью X инерциальной стартовой оистемы координат XYZ и вектором скорооти V движения ракеты;

-угол между продольной осью х ракеты и ооью X инер­ циальной системы (угол тангажа);

Рис.2.10. Система оил и координат, определящих угловое движение ракеты по тангажу

d - угол между продольной осью х ракеты и вектором V (угол атаки);

6 - угол отклонения руля, управляющего поворотом ракеты по тангажу;

I - расстояние между центром масс ракеты и центром аэро­ динамического давления;

Fy - сила сопротивления атмооферы от набегающего потока; Fj - оила, создаваемая рулем при его отклонении;

М^- аэродинамический момент, возникающий при вращении ра­ кеты вокруг центра маос.