книги / Статистический анализ временных рядов
..pdf5.5. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНОК 223
Т еорема 5.5.3. Пусть выполнены условия теоремыЬ,5.2 и матрица
F положительно |
определена. Тогда |
|
(33) |
plim В = |
В, |
|
Т - У О О |
|
(34) |
plim 2 = |
S. |
Т- У О О
Доказательство. Д ля доказательства (33) заметим, что
(35) |
plim В' — В' = plim |
-=■ У |
У'-iyL i |
I |
X |
|
|
|
|||
|
Т-*оо |
Т-* 03 \ |
* |
f ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
1 |
т |
|
, |
1 |
т |
\ |
|
|
х Г- т 2 у'->у<— г 2 у- * у;-.в ') = |
|||||||||
|
|
|
/ |
1 |
т |
|
, |
\- i |
1 |
т |
|
|
|
= — plim |
-jr ^ |
У^—1У/_1 |
/ |
2 |
У<-'и<= 0 . |
|
|||
|
|
т-*°° \ |
|
,=1 |
|
|
/=1 |
|
|||
Тогда |
(34) |
вытекает из представления |
|
|
|
|
|
||||
(36)2 = -±- 2 (У, + Ву,—>) (у, + By,-,)' =
—4"2 уЖ+ в -у 2 yt-Ф + "г2 у<у,-1®'+ |
|||
<=i |
,=i |
_ |
,=i |
|
|
|
т |
|
|
|
+ в_г 2 * - * ;_ ,* . |
|
|
|
м |
и из соотношений (28) и (33). ш |
|
||
Теорема 5.5.3 показывает, |
что |
указанные оценки для В и 2 |
|
состоятельны при довольно общих условиях, в частности более общих, чем те, при которых они являются оценками максимального правдоподобия. Мы выбрали эти условия потому, что они относи тельно просты и тоже приводят к асимптотической нормальности. Предположение о том, что все характеристические корни лежат в единичном круге, не является необходимым для состоятельности оценки матрицы В. Однако оно необходимо для общей теоремы об асимптотической нормальности. (См. Т. Андерсон (1959).)
Чтобы доказать состоятельность оценок для скалярного уравне*
ния порядка /?, остается показать невырожденность матрицы F.
Л емма 5.5.5. Если а 2 > |
0, то матрица |
(37) |
F = 2 В*2В'Я, |
224 ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ Гл. 5.
положительно |
определена, |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
“ а2 0 |
0 |
.. . |
0 |
" |
|
— 1 |
|
Рз .. • Рр |
||||
|
0 |
0 |
0 |
.. . 0 |
, |
в = |
0 |
0 |
.... 0 |
|
|||
(38) S = |
0 |
0 |
0 |
.. . |
0 |
0 |
— 1 |
0 |
.... |
0 |
|
||
|
_ б |
0 |
0 |
.. • |
0 |
_ |
|
0 |
0 |
0 |
.... |
0 |
_ |
Д оказательство. Е сли для некоторого х оказывается, что
(39) |
г- |
со |
^ |
x'Fx = |
2 |
x'BsSB sx = О, |
|
|
|
s=0 |
|
то при этом должны выполняться соотношения
0 = |
х'Ёх = х2о2, |
|
(40) |
|
|
0 = |
x'BsS(x'Bs)\ |
s = 1 , 2 , , . |
Но из последних непосредственно следует, что хх = 0 и равны нулю
первые компоненты векторов |
x'Bs, s = |
1, 2, ... . Первая же ком |
|||||||||
понента |
вектора |
х'В |
равна |
—х2, |
так |
что х2 — 0. Подобным |
же |
||||
образом |
показывается, |
что |
равны |
нулю все |
компоненты вектора |
||||||
х. Итак, если x'Fx = 0, то обязательно х = |
0, что и требовалось |
||||||||||
доказать.* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т |
е о р е м а |
5 . 5 . 4 . |
Пусть yL определяется соотношением ( 1 ) |
из |
|||||||
§ 5 . 1 |
для |
t = ..., |
—1, 0, |
1, |
..., |
причем все характеристические |
|||||
корни этого уравнения лежат в единичном круге, а случайные вели-
чины щ независимы и %tu = |
0 , |
= а 2 > |
0 . Пусть, кроме того, |
|
ut либо имеют |
одинаковые |
распределения, |
либо £ | ut | 2+ 8 < т, |
|
t — 1,2,..., для некоторых е > 0 и т. Тогда |
||||
(41) |
plimjj = |
p, |
|
|
|
|
Т- * о о |
|
|
(42) |
рНш а2 = |
а2. |
|
|
Т•+ оо
5.5.4.Асимптотическая нормальность оценок Предельное распределение матрицы
(43) у т (В' - В') = - V T 1-Х 2 |
|
Г 4 - S |
У |
\ |
1 |
I |
1 |
5.5. |
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНОК |
225 |
|
совпадаете |
предельным |
распределением матрицы—F-1 (1/ j / Т) х |
|
т |
|
|
|
X 2 |
Покажем, |
что предельное распределение |
про |
извольной линейной комбинации элементов последней матрицы, например
(44)
является |
нормальным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(45) |
|
|
|
|
У^> = |
2 ( - B ) su ^ s, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
s=0 |
|
|
|
|
|
|
(46) |
^ |
= - ^ |
2 |
а;фу^„ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
У 1 |
ы\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(47) |
*А Г==-Т=г2и;ф |
2 ( - В ) Ч - ! - , |
|
|
|
||||||||
Тогда |
|
У 1 |
t=1 |
s=k+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(48) |
%X2kT = y - |
2 |
2 |
^ |
( - В |
) Ч |
- 1- 8и ;Ф ( - В ) Ч - 1 - 0 = |
|
|||||
|
|
|
/,т=1 s,a=fe+l |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= 4 - |
2 |
2 |
8 tr ( - |
в / u,_i_sU;_i_CT( - |
в )°Ф'ихи;Ф= |
||||||
|
|
|
/,т= 1 |
s>0=fe-fl |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
“= 4 - 2 |
2 |
tr(— B)JS (— В')‘Ф '2 Ф ^ |
|
|
|||||||
|
|
|
<=1 s=ft+l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= ^ Ф 2 Ф |
2 |
(— B)sS (— B')S= MA. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
s=ft+l |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Здесь использовано соотношение |
x'x = |
trxx!.) Поскольку |
ряд |
||||||||||
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(—B)s 2 (—B')s |
сходится, |
то |
Mk |
0 при k - ^ |
oo. Для фикси- |
|||||||
s=0 |
|
k |
случайная величина |
|
|
|
|
|
|
||||
рованного |
|
|
|
|
|
|
|||||||
(49) |
|
|
|
« ;ф у ^ = «;ф 2 |
|
(—B)S |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
s = 0 |
|
|
|
|
|
|
имеет нулевое среднее и дисперсию |
|
|
|
|
|
||||||||
(50) |
8 |
2 |
и'ф ( - |
B)su,_,_su;® ( - |
В)г |
= |
|
|
|||||
|
|
s,r=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
tr (— B)s 2 (— B')s Ф'2 Ф = |
a*. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
s=0 |
|
|
|
|
|
226 ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ Гл. 5.
Ковариация |
двух таких |
величин, взятых в точках |
t и т (t Ф т), |
|
равна |
|
|
|
|
(51) |
S |
и^Ф( - B)sи |
(— B)riix—i — r = О, |
т ф и |
|
s,r= 0 |
|
|
|
Кроме того, последовательность {щФуЙ} обладает тем свой ством, что любое конечное подмножество ее элементов, соответ ствующих значениям t = tlt ... , tn tx < ... < tn, не зависит от элементов, соответствующих t< . ti — k — 1 и t > tn + k + 1. Использование теоремы 7.7.5 приводит к следующей лемме.
Л емма 5.5.6. Пусть |
у\к) определены |
соотношением, (45), |
при |
чем случайные величины |
и, независимы и одинаково распределены |
||
с нулевыми средними и |
ковариационными |
матрицами |
= 2 . |
Тогда распределение случайной величины ZkT, определенной соотноше нием (46),
(52) |
Рг [ZkT < |
2 } = FkT.(г) |
имеет при Т -> оо предел |
|
|
(5 3 ) |
Н т ^ Й - Ф ' ^ - ) , |
|
где |
|
|
(54) |
Ф (о) = | |
~ = - e~wtl4w, |
|
■—-оо |
а а\ указаны в (50). |
|
Далее, |
|
(55) |
£ " . ® ( - Я - ) - Ф ( т ) - |
где |
|
(56) |
о2 = Нт а2 = tr 2ФРФ'. |
|
k-юо |
Здесь мы используем следствие 7.7.1. |
|
Л емма 5.5.7. |
Пусть выполнены условия леммы 5.5.6 и характе |
ристические корни матрицы —В лежат в единичном круге. Тогда случайная величина S T, определенная в (44), имеет в пределе при
Тоо нормальноераспределение снулевым средним и дисперсией а2.
Применение теоремы 7.7.7 приводит к искомому результату. Матрицу с элементами обозначим для краткости F <g) 2. Это есть кронекерово произведение матриц F и 2.
Теорема 5.5.5. Если выполнены условия лемм 5.5.6 и 5.5.7, то
— Т
(1/ ( / 7) 2 y/-iU( имеет в пределе нормальное распределение с нуле-
<=1
вым средним и ковариационной матрицей F <g> 2.
5.5. |
|
|
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНОК |
227 |
|||||
Т еорема 5.5.6. |
Пусть |
{у*} — последовательность случайных |
|||||||
векторов, |
удовлетворяющих уравнению (1), в котором x\t — незави |
||||||||
симые |
и |
одинаково |
распределенные случайные векторы с |
%wt = О |
|||||
и |
/ = |
2 , |
и пусть |
характеристические корни матрицы —В |
|||||
лежат в единичном круге, а матрица F |
положительно определена. |
||||||||
Тогда |
У Т (В' |
- В') |
имеет |
в пределе |
нормальное |
распределение |
|||
с нулевым средним и ковариационной матрйцей F_I |
0 2. |
|
|||||||
Д оказательство. Этот |
результат вытекает из теоремы |
5.5.5 и |
|||||||
(43). (См. упр. |
29.) в |
|
|
|
|
|
|||
Теорема 5.5.7. Пусть \yt) — последовательность случайных величин, удовлетворяющая уравнению (1) из § 5.1 для t = ..., —1, О, 1, ..., и пусть корни характеристического уравнения, соот ветствующего (1), лежат в единичном круге, а случайные величины щ независимы и одинаково распределены с нулевыми средними и
.--/ч
дисперсиями о2. Тогда у Т (Р — Р) имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей
ст2 р -1 .
В формулировках теорем 5.5.6 и 5.5.7 условие одинаковой рас пределенности случайных величин можно заменить условием равно мерной ограниченности их моментов порядка 2 + е или исполь зовать вместо него условие типа Линдеберга.
5.5.5. Случай неизвестного среднего
Предположим теперь, что векторное разностное уравнение имеет вид
(57) у, + By#—I + v = и< или, что эквивалентно,
(58) |
|
|
|
(У, —м) + |
В (y^i — ц) = |
и(, |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(59) |
|
|
|
|
v = |
— р, — Вр. |
|
|
|
Тогда уравнениями |
максимального правдоподобия |
для В, v и 2 |
|||||||
будут |
— г |
|
7 |
Л |
- т |
|
- |
||
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
2 |
У'-1 В' |
2 |
У*->У/ |
||
(60) |
/=1 |
|
t=\ |
|
t=1 |
|
|||
|
Т |
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
_ |
2 |
у« |
|
т |
V' |
1 |
|
1 |
|
*=«1 |
|
|
_ |
|
||||
(61) |
2 |
~ |
Т" 2 |
+ By/-i + v) (у, + |
Ву,„1 |
+ |
v)\ |
||
м
228 |
ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ |
Гл. 5. |
|||||||||||||
Уравнение (60) |
приводит к следующей паре уравнений: |
|
|||||||||||||
(62) |
^ |
2 |
|
|
— y(1)y;,)j в ' = |
|
- |
^ |
2 y /-iy ;— у(1)У') * |
||||||
(63) |
|
|
|
|
v = |
— у — Ву(1), |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
где у = (1 /Л 2 У , и У(1) = |
0-1Т) 2у<-1- |
Мы хотим показать, что |
|||||||||||||
|
|
(=i |
поведение |
|
<=1 |
а |
являющихся |
решениями |
|||||||
асимптотическое |
оценок |
|
В, |
||||||||||||
уравнений (62) |
и (3) |
соответственно, одинаково при р = |
0. Для |
||||||||||||
этого достаточно в свою очередь показать, что при р = |
0 величины |
||||||||||||||
У Т у щ У щ |
и 1/7у(1)У' |
сходятся по вероятности к нулю. |
|
||||||||||||
Рассмотримсначаласлучай, когда (57) выполняетсядля t =...,—1, |
|||||||||||||||
0, 1, ... . При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(64) |
|
|
|
|
У* = |
f* + |
2 |
|
B)Su'-s- |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
s—0 |
|
|
|
|
|
|
|
гак что iy I = |
р. Ковариационная |
матрица векторов |
у< и yt- для |
||||||||||||
t < |
V есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(65) |
% |
; - р)(у; . - р)'= |
2 |
(-B )sfiu,_su;-_s.(~ B ')s' = |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
s,s'=0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
s=0 |
(— B)s2 (— B')s+<,_1 = F(— |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(66) |
П |
(у* - |
р) (у* - |
р)' = |
4 г % 2 |
|
(у,* - |
р) (у* - |
р)' = |
|
|||||
|
|
= |
F + - f |
2 V |
- |
s)F( - |
B')s+ 4 - 2 |
(т - |
s) (**- B>s F |
||||||
|
|
|
|
|
S=1 |
|
|
|
|
|
|
S=1 |
|
|
|
И СХОДИТСЯ п ри Г |
oo |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(67) |
ton |
T’S (у*— P) (у* —’ p)' = F+ |
F 2 |
(— B')S+ |
2 |
(— B)s F = |
|||||||||
|
T-*-co |
|
|
|
|
|
|
|
S=J |
|
s=l |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
„ р + р н в о о + в 'г Ч |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(I + |
B)-’ (— B) F = |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= F(I + В Т 1+ (И - B)-1F — F. |
|||||||
В силу неравенства Чебышева V ? |
(У * |
— м) (у * — р)' сходится |
|||||||||||||
по вероятности к нулевой матрице. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.5. ' АСИМПТОТИЧЕСКОЕ р а с п р е д е л е н и е о ц ен о к 229
В случае когда (57) выполняется только для |
f *= 1, 2, ... и у0 — |
||
фиксированный вектор, |
|
||
(68) |
у, = |
ц + ( - В)' (у0 - (1) + S (“ B)sIW |
|
|
|
s=0 |
|
Разность |
между |
у], определяемым (64), и у(, |
определяемым (6 8 ), |
равна |
|
|
|
(69) |
|
(— В)' [уо — (у0 — |ы)1. |
|
* |
|
|
|
где уо задается_соотношением (7), так что соответствующая раз
ность между V f y * |
и У ~ Т у равна |
|
(70) |
v r |
i ( - B ) '[ y o - ( y 0 - fi)] . |
|
У 1 |
ы |
Сумма же математических ожиданий квадратов элементов матрицы (70) сходится к нулю.
_Из приведенных результатов следует, что У'Тущу'ц) и
V т У(1)У' СХОДЯТСЯ при II = 0 по вероятности к нулю и во втором
л
случае. Оценки В для обеих моделей, определяемые (62) и (3), имеют одинаковые асимптотические свойства.
Т еорема 5.5.8. Пусть yt определяется соотношениями (64) или (6 8 ), в которых ut независимы и одинаково распределены с Ли* =
= 0 , |
%upit = |
2 , и |
все |
характеристические |
корни |
матрицы |
|||
—В лежат |
в единичном |
круге. |
|
Тогда предельное распределение |
|||||
случайной величины У~Т (у — JA ) |
нормальное, имеет нулевое среднее |
||||||||
и ковариационную матрицу (67). |
|
|
|
|
|||||
Д оказательство. |
Пусть S T = |
V~Tq>' (у — щ), |
y<ft> равно правой |
||||||
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
части (45) плюс р, ZkT = |
(1/J/T) 2<р' (у\к) — М-). Хкт= S T — ZkT. |
||||||||
Тогда, если yt определяется соотношением (64), то |
|
||||||||
(71) |
%Х\т = |
ф' (— В)',*+i |
F + 4 - |
г — 1 |
|
|
|||
2 ( T - s ) F ( - B ') ‘ + |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
S=1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
т |
1 |
T~l |
|
( - в ')*+1ф |
|
|
|
|
|
- 2 > ( T - s ) ( - B ) sF |
||||
Правая часть (71) сходится к нулю, когда k -*■ о о . |
Используя теоре |
||||||||
му 7.7.5, находим, что ZkT имеет в пределе при Т -*■ о о |
нормальное |
||||||||
распределение с нулевым средним и дисперсией, сходящейся при оо к некоторой постоянной. Применение следствия 7.7.1 при водит к заключению о том, что S T имеет в пределе нормальное
230 |
ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ |
Гл. |
5. |
||||
распределение. Поскольку вектор |
ср был произвольным, то |
послед |
|||||
нее |
означает |
нормальность |
в |
пределе |
случайного |
вектора |
|
У Т (у — ji). |
Если у, определяется соотношением (6 8 ), |
то надо |
|||||
использовать (70) и еще раз применить следствие 7.7.1. в |
|
|
|||||
|
Скалярное |
стохастическое |
разностное |
уравнение порядка |
р |
||
можно записать в векторной форме, беря в качестве v вектор v,
укоторого отлична от нуля и равна v только первая компонента. Действительно, уравнения (60) для модели (57), в которой В
заменяется на В, у, на у, и и, на и„ показывают, что при этом
необходимо должны равняться нулю последние р — 1 компонент
А
V , Тогда из (59) будет
р
следовать, что Есе компоненты вектора ц
равны |
u = v/(l Н- 2 Р/)- Применяя полученные |
результаты для |
|
/=i |
|
этого |
случая, находим, что У Т (у — р) имеет в |
пределе распре |
деление, совпадающее с предельным распределением У Т (у — р) е,
где е = (1, |
1)', |
|
|
5.5.6. Случай фиксированных |
переменных |
|
|
Оценки |
максимального правдоподобия |
были получены у нас |
|
для модели |
|
|
|
(72) |
2 pjjt-s + 2 Уfit = |
Щ- |
|
|
s=0 |
/=1 |
|
Она может рассматриваться как частный случай р-компонентной
векторной |
модели |
|
(73) |
|
у, -f By<_i +Гг( = и, |
в которой |
Г — матрица размера р х q, состоящая из констант, и |
|
zt = |
(z\t........ zqt)'. Оценки максимального правдоподобия для |
|
В, Г |
и 2 |
определяются из соотношений |
Ч*1 |
7 £ |
- |
|
1 |
т |
у |
2 |
_ |
/==1 |
475) |
2 = 4 |
7 £
2
м
1т
у2
1т
у2
1
(У< +
|
1 |
1 |
ytlZt |
|
Q0< |
|
|
А |
ztzi |
|
Г' |
|
|
|
+ |
Г**) (У( + |
|
-1 т
у2 у*->у<
/=1
~Т~2 |
_ |
|
_ |
м |
|
+ |
* V - |
|
5.5. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНОК 231
Асимптотическая |
теория, |
развитая для В и |
Е, |
определяемых |
|
уравнениями (3) и (4), может быть распространена |
А |
А А |
|||
и на В, |
Г, Е, |
||||
определяемые из |
(74) и |
(75). Однако подробно |
изложить |
такую |
|
теорию довольно сложно. Поэтому мы наметим ее лишь в общих чертах. (См. Т. Андерсон и Рубин (1950), а также Купменс, Рубин и Лейпник (1950).)
Если (73) выполняется для |
t = 1, |
2, |
и у в— фиксирован |
|||||||||
ный вектор, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(76) |
|
у, = |
2 |
(“ |
в)‘ и'-ь + * < + ( — B)Vn, |
|
|
|||||
|
|
|
|
s = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(77) |
|
wt « |
— 2 |
(— B)Tz,_s. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
s = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Если (73) выполняется для всех |
I — .„, —1, 0 , 1, |
и г( ** 0 для |
||||||||||
t = 0, —1, |
то решение (73) будет иметь вид |
|
|
|||||||||
(78) |
|
|
|
y; = |
2 ( - B |
) su,~b+ w ,. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
s = 0 |
|
|
|
|
|
|
Разность у< — у( равна при этом |
(—В)' (уо — у0), где |
уо определено |
||||||||||
в (7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т еорема |
5.5.9. |
Пусть |
у, |
определяется соотношением (73) для |
||||||||
t = 1, |
2 , ... |
при фиксированном векторе у0, а |
у] определяется тем |
|||||||||
же соотношением (73) |
для всех t = .„, |
—1, |
0, 1, |
, |
Пусть при |
|||||||
этом |
случайные |
величины |
и, |
независимы, |
Ни, — 0 , |
8 и,и) = 2 , |
||||||
а характеристические |
корни |
матрицы |
—В лежат в |
единичном |
||||||||
круге. Тогда, если z, = 0 для t = |
0, —1, .,. и z<z, < |
(V, |
/ = 1, 2, ... |
|||||||||
для некоторого N, |
то |
справедливы соотношения (18), |
(19), (20) и |
|||||||||
(79) |
|
plim |
• |
|
| |
у'-'г' |
1 |
|
J : |
|
|
|
|
|
~ Y f 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
Г-»ое[ у г |
|
|
|
|||||||
(80) |
|
plim [ , V g w - |
i |
|
|
|
|
|||||
|
y f | , Ч = |
|
|
|||||||||
|
|
Г-*-ОО |
|
|
|
|
|
|
||||
Д оказательство. Мы имеем
232 ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ Гл. 5.
+ |
2 |
(— в )'(уо— у0) « Ч |
|
t= |
1 |
+ |
i |
+ ( - « ) ' у» (Уо-УоГ(--В')Ч |
*= 1 [ _ s = 0
+2 w/(Уо —Уо/ (-В')Ч
*=]
+ i ( - В)' (Уо -Уо)(Уо — Уо)'( - В '/.
Первый, третий и пятый члены в правой части, деленные на 1/~Т, сходятся по вероятности к нулю в силу доказательства теоремы 5.5.1. Сумма математических ожиданий квадратов компонент вто рого члена равна
(82)trS 2 (-B^yS-yoJw.'wHyS-yo/C-Bf -
=2 wiw/«tr(— B)'(F + y0yo)(— B 'f. tf-=1
Поскольку |
] ЩУ/t’l < |
V W/W( V W/'W/', |
(83) |
w 4 = |
2 4 r ' ( - B ' ) s( - B f rz/_S' |
s, s ' = 0
икаждый элемент вектора z, меньше ]/Л), то сумма (82) равномер но ограничена (по лемме 5.5.1). Из этого следует, что разность (81),
деленная на / Г , сходится по вероятности к нулю. Рассмотрим теперь
(84) |
2 |
~ S У ' Ч = I ( ~ В /-1 (Уо - у » ) х / . |
|
t = \ |
< = i |
Сумма математических ожиданий квадратов компонент (84) огра ничена по тем же причинам, что и выше (надо только w( заменить на zt). Это доказывает (79).
Далее,
(85) i у ;_ ,у г - |
i y *-iy ;= |
- |
Гi у ; - . у ; : . |
- i |
1 в' - |
ы |
t=\ |
L/=i |
<=>i |
J |
|
- |
[ i у ; . . * - |
i |
y * - i* ;lr ' + |
i <#_, - |
* - o «;• |
|
L<=.i |
м |
J |
<=.i |
|