Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Статистический анализ временных рядов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

47.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 7611 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

УПРАЖНЕНИЯ

103

Докажите, что матрица коэффициентов в (13) равна

1	0
0	0

.. 0 '

... О

J + 2СС'.

	,0	о ...		о,
26.	(Разд. 3.3.1) Пусть D =		2СС', где С — матрица, определенная в упр. 25,
и пусть D00— алгебраическое дополнение элемента d^ матрицы D. Докажите, что х>
	600 =	А00		__ . doo
		D 00 +	\| D \|	1 + d o o

27.(Разд. 3.3.1) Проверьте правильность заполнения таблицы 3.3.

28.(Разд. 3.3.2) Найдите доверительный интервал для CXQ в момент t, исполь

зуя независимую оценку $2для а2, когда отношение s2/a 2имеет

х^распределени6

с к степенями свободы.

29.

(Разд. 3.3.2) Пусть ф/>2т-Н (s)

ортогональные многочлены на множестве

—т, .., т. Найдите ф^5(s)

и ф ^

(s).

30.

(Разд. 3.3.2)

Пусть ф^2т+

(я)

ортогональные

полиномы па множест-

ве**> т,

т. Докажите,

что ф^2т +1

О Для нечетных

(Указание. Пусть

с0+

Ф* (s) =

CIS +

... +

s2r+1. Докажите, что

Ф* W $

== 0, / = О,

1........г,— система г +

1однородных уравнений с/

+ ! неизвестными£0, £§,

имеющая невырожденную матрицу коэффициентов.)

31.

(Разд.

3.3.2

Проверьте

соотношение

(34).

(Указание

Положить

cos [А, (/ + s) — 0] =

-Йехр [/ (%s +

%t — 0)], где J leiy— действительная

часть

m—1

использовать

формулу

суммы

геометрической

прогрессии 2

дг5=

0 /(1 — *)>

s—О

x j t l

при

X =* О )

32. (Разд. 3.3.2)

Докажите, что

sin аде

lim — :— — = а

Х-+0

sin X

33.

(Разд. 3.3.2

Докажите, что (sin у)/у является убывающей функцией пере

менной

у (0<

у < я).

84.

(Разд.

3.3.2)

Пусть

S *н-

yi = 2m_+ ,1

' ’

=—- ЛЛ77

У1

^ + ‘

2/1 + 1

1) Здесь 600— левый верхний угловой элемент матрицы, обратной к матрице

коэффициентов в (13), а d00— левый верхний угловой элемент матрицы

Прим, перев.

104	ТРЕНДЫ И СГЛАЖИВАНИЕ			Гл. 3.
104	ТРЕНДЫ И СГЛАЖИВАНИЕ
Найдите коэффициенты cs в представлении
		т -\-п
	у\* =	2	Csyt+s'

s = —(m-f-я)

35. (Разд. 3.3.3) Покажите, что если h (t) *=* cos (Kt — 0), то

g » + ') щг + у

-zi l w g0, (Ц - e> -

cos (Ц 9).

(Указание. См. упр. 31.)

36.(Разд. 3.3.3) Проверьте соотношение (49).

37.(Разд. 3.4.2) Проверьте соотношение (5).

38.(Разд. 3.4.2) Покажите, что если (fi и ^ — линейные операторы, то и С101 + с2@2 является линейным оператором.

39.	(Разд. 3.4.2)		Покажите,	что если	Дф1 (0 в	^Фг (0 Для t =		1, 2,	где
Аф1 (t)	=** ф! (/ +	1) — <pi (t), то		разность	cpi (0 — Фг (0		постоянна.
40.	(Разд.	3.4.2)	Пусть	= 1,	х	—	1) ••• (* — г +	1),	г *== 1
2.........	Покажите, что

Д*(г) га гх^г~

где

Дх(г) = (х + 1)(л) — х(г).

41.(Разд. 3.4.2) Покажите, что

у ,(Р . (Г + 1)(г+1)		/•= 1. 2	,
г +	1

42. (Разд. 3.4.2) Покажите, что для х^г\ определенного в упр. 40,

«" = 2 ^ 1,	п = 1 , 2 ..........
Г=1

где S? — числа Стирлинга второго рода. Получйте следующую таблицу:

Таблица чисел Стирлинга второго рода S ”

						УПРАЖНЕНИЯ					105
	43.					Т
	43.	(Разд. 3.4.2)			Вычислите ф* (7) = 2 * Л» используя результаты					упр. 41 и
42,	для	k = 1....... 8.				/=1
42,	для	k = 1....... 8.
	44.	(Разд. 3.4.2)			Покажите,	что если Дф (t)	— полином степени			k — 1, то
ф (i) — полином степени k. (Указание. С помощью (13) показать,									что решение су
ществует, а			с помощью упр. 39 показать, что не существует никаких решений,
отличных от указанного.)						т
						т
	45.	(Разд	3.4.2) Покажите, чтоф* (Г) = 2				^	полином	степени		k + 1.
						&=1					у
	46.	(Разд. 3.4.2)			Используя	упр. 45, найдите выражения для			ф* (Г) »		S ' *
k =	1, ..., 8,		приведенные в упр. 7.								м
	47.	(Разд. 3.4.3)		Докажите,		что
				1	2	1

/(/ + 2 ) - — ^ 7 ( / + 2 -Н ) = - — [Д* + 5Д3 + 5Д2]/(/).

13 s= —2	5
48. (Разд. 3.4.3) Покажите, что разность yt —		между наблюдаемым рядом

ц скользящим средним, основывающимся на подборе полинома степени q = 2k + 1

по 2m +	1 точкам, можно записать в виде					[ пг—k— 1		“\|
						[ пг—k— 1		“\|
				1....... .... .... k		s= —(m—fc—1)		J
и что при этом Ps =		P _s, $ =		1....... .... .... k		— 1. Покажите, как можно вычислить
коэффициенты Рг по коэффициентам сг					^Указание. Записать
	(	m	\			(	m—k—1
	1 -	2	с* &	^ = ( ^	- i)2(ft+1) (		2
49.	s—~m		/			\/-=— (т —Аг— 1)
49.	(Разд. 3.4.3) В обозначениях упр. 48 покажите, что							<
		1
		2			1+	fyt + ty t+ l)/21 “
				= (2Д2+ 9 ^ ) ^ ,/ 2 1
для ^ =	2/г + 1 =	3 и	m =	3.

50.(Разд. 3.4.3) В обозначениях упр. 48 покажите, что

2	1	j + 115#/ +	+ 2\y tm^2) =
2	“ "OQ1 №Уг—2“Ь

s= —2

= (“Г Г A* + - Г ■д2^ + "Г

для q ~ 2k -j- 1 = 3 и m = 4.

51.(Разд. 3.4.3) Убедитесь в том, что если оператор вычисления^-й разности аннулирует тренд, то тренд является полиномом степени, не большей г — 1.

52.(Разд. 3.4.3) Покажите, что если тренд / (/) является полиномом степени q

для любых последовательных наборов из q + 2точек, то / (/) является полицо^рм

степени q на всем отрезке наблюдений-

106

ТРЕНДЫ И СГЛАЖИВАНИЕ

Гл. 3.

53. (Разд. 3.4.4) Покажите, что если тренд является полиномиальным степе ни q, а остатки независимы и нормально распределены с дисперсией а8, то величина s2, определяемая соотношением (10) § 3.2, является несмещенной оценкой для а 2 с наименьшей дисперсией.

54. (Разд. 3.4.4) Докажите, что если тренд в точности аннулируется вычисле нием разностей порядка q + 1, а остатки независимы и нормально распределены

с дисперсиями а2, то величина sa, определенная соотношением (10) § 3.2, является несмещенной оценкой для а? с наименьшей дисперсией (Указание. Свести к упр, 53.)

55. (Разд. 3.4.4) Докажите, что

-s ~	s= 1, . . . г k,
	* « = 1, . . . , г - 1,
°n-Vl,n+J+* ~ ~	Vk (г _\|_ й) ’ ' — * = 2л + 1.

56. (Разд. 3.4.4) Докажите, что величина (66) имеет в пределе нормальное рас

пределение с нулевым средним и единичной дисперсией. (Указание. Последователь

ность {(Дг«/)2} образует стационарный случайный процесс с конечной зависимо стью; применить теорему 7.7.5.)

57.(Разд. 3.4.4) Докажите лемму 3.4.5.

58.(Разд. 3.4.4) Покажите, что

lim —

T-+OQ Т

(Указание. Показать, что

-s « гч ? -

Я$,/=»!

2q \ =

k = — р \ ' т « / Н Ч

I г + Я / *

где р = min (г, q), сравнивая коэффициенты при xf+Q в альтернативных разло жениях в ряд (х — 1)2г (1 — х)2д.)

59.(Разд. 3.4.4) Докажите (68).

60. (Разд. 3.4.4) Используя (68) при и4= 0, найдите с\ и с2, удовлетворяющие условию а + с2 = 1, минимизирующие дисперсию (приближенную) линейной ком

бинации ciVi + c2V2. Выпишите эту минимальную дисперсию.

Т - г

61. (Разд. 3.4.4) Покажите, что 2 (Д7УV)2равна

t=\

с точностью до крайних членов.

62.(Разд. 3.4.5) Найдите предельное совместное распределение отношений

V ? г 2 07-f-i ^r-f2)^ r -f2 и V T — г — 1 (W —. y r , j)/yr , j при Д7 (0 =

- 9 » t** 1, ?, ... .

УПРАЖНЕНИЯ

107

63.

(Разд. 3.4.5)

Пусть

«ь

...» ит — независимые

случайные

величины с

%щ = 0,

%и\ = а 2 и

%и\

х4+

За4. Пусть

Qi =

astusut HQa =

bstusut-

Покажите, что

S , t —

s ,t=si

Var («.

trA

tr В

2a 4tr (/

1TB

64.

(Разд. 3.4.5)

Пусть Ju'Aru = aa2 и gu'Bru = Pa2,

P >

Предполо

жим, что Y T (u'AjU — a a 2)

и Y T

(u'B^u — pa2) имеют предельное двумерное

нормальное распределение. Покажите,

что у Т

[и'А^и/и'В^и — a /р]

имеет пре

дельное

нормальное

распределение

дисперсией

Покажите, что дисперсия этого предельного распределения не зависит от к4, если

= ... = a fy /b fy - ^Указание. Показать, что

Var\|u'Aru —	u'Bruj = щ ^	— - у b<j j + 2о4tr \| а г - - у	Вг j .j
65. (Разд.	3.4.5) Убедитесь,	что последовательность Aryi,	Адуг+ 2>

&гУг+ д+з* ••• является последовательностью независимых случайных величин.

Используйте этот факт для построения /'’-критерия для проверки гипотезы Аг/ (f)							*=
= 0 в предположении нормальности распределения				и при условии Aqf (t)		=	0,
г < q .
66. (Разд. 3.4.5) По данным табл.		3.5	вычислите (Vr — Vr+ 1)/Vr+ l. г — 0,
1....... 4,	перейдите к нормированным величинам и решите, будет ли Аг /( 0					=	0.
67.	(Разд. 3.4.5) Найдите Ayt, A2yt	и Ahjt по данным упр. 18.			Вычислите Vv
У% и У3.
68. (§ 3.5) Выпишите уравнения		(4)	для логистической		функции	(1)	в
явном	виде.
69.	(§ 3.5) С интервалами в 30 лет население			Соединенных Штатов сос
тавляло (в млн.) соответственно
	1820		9.6
	1850	23.2
	1880	50.2
	1910	92.0
	1940	131.4

Выровняйте эти данные с помощью логистической кривой. (Указание. Испы тать,несколько предположительных троек (сц, а2, на чертеже; затем использо вать одну из таких троек в качестве исходной для одной итерации (4).)

Глава 4

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ

4.1. ВВЕДЕНИЕ

Наряду с основными долговременными изменениями, во вре менийх рядах часто проявляются более или менее регулярные

колебания. Эти	изменения значений ряда в сторону увеличения
и уменьшения	могут быть строго периодическими или близкими

к таковым, как, например, изменение времени захода солнца. С дру гой стороны, значения ряда могут колебаться и нерегулярным образом. Типичный случай последнего — экономические времен ные ряды, колебания которых отражают цикл деловой активности. В настоящей главе будут рассмотрены модели, в которых предпола гается, что наблюдаемые временные ряды являются суммой периоди ческого тренда /( 0 й случайной ошибки щ. Периодичность тренда означает, что он в точности повторяет себя через определенный промежуток времени. Если период равен <р, то

(1) /(* + Ф ) - / ( 0 .

Такое повторение абсолютно регулярно и периодично. Если функ ция задана на каком-нибудь интервале длины <р, то она определена тем самым и на всем интервале наблюдений. Поскольку тренд пред полагается равным заданной функции времени, то нерегулярные воздействия щ не влияют на него. Эта модель противоположна другим моделям, которые мы будем изучать позднее и в которых колебания не являются регулярными, а случайные воздействия объединены в последовательность.

В настоящей главе анализ ряда производится с помощью линей ных комбинаций функций времени — синусов и косинусов, причем коэффициенты линейных комбинаций рассматриваются как пара метры. Позднее, в моделях стационарных случайных процессов, линейные комбинации синусов и косинусов будут рассмотрены

4.2.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

109

снова, но коэффициенты этих линейных комбинаций будут уже случайными величинами. Некоторые аспекты математической тео рии и многие вычислительные процедуры будут общими для обоих подходов.

4.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

4.2.1. Ортогональные периодические			функции
Тригонометрические функции			cos t и sin t	являются пери
одическими	с периодом 2 л, т. е.
(1)	cos (t + 2 л) =	cos t,	sin (t + 2 л) =	sin t.
Отсюда следует, что
(2 ) cos (t +	2nk) = cos t,	sin (t -f 2nk) = sin t,
			k = ± 1, ± 2 , . . . .

Мы можем линейно преобразовать аргументы, сохранив свойство

периодичности.		Функции	cos (Xt — 0)		и sin (Xt — 0 ) периодичны
с периодом 2 яА,		т. е.
	cos [A, (t +	2я/А,) — 0] =		cos [Ai +	2л — 0] =	cos [Xt — 0 ],
^	sin (A, (t +	2п/Х) — 0] =		sin [A,f 4 - 2л — 0] =		sin (А,< — 0].
Обратная величина А/(2л)			называется частотой. Она равна числу

периодов (не обязательно целому), содержащемуся в единичном интервале. Иными словами, именно такое число раз функция пов торяет свои значения. Умножение на X соответствует растяжению

или сжатию масштаба времени, а вычитание 0 — сдвигу						графика
косинуса или синуса. Функция			cos (Xt — 0) достигает максимума
в точках Xt = 0 + 2л&, k =		0, ± 1, ..., т. е. при		t = (0	+	2nk)!X.
Угол 0 называется фазой. Обычно 0 выбирается				так,	чтобы пер
вый	максимум достигался	в	точке t = Q/X.	В таком		случае
0 <	0 < 2л. При t — 0 указанные тригонометрические функции
равны, соответственно cos 0		и —sin 0 .

Сдвинутые косинусоида и синусоида являются линейными ком бинациями обычной косинусоиды и обычной синусоиды и наоборот.

Из	тригонометрической	формулы	cos (а — b) = cos a cos b +
+	sin a sin b имеем
(4)	р cos (Xt — 0) = р (cos Xt cos 0 + sin Xt sin 0) =
	=	a cos Xt +	p sin Xt,

n o ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ Гл. '4.

где
(5)	а =		р cos 0 ,	Р = р sin 0 ,
или, что эквивалентно,-
	p	=	K < x 2 +	р*.
(6)	t g 0	^	1 Г ’	0 = arctg	.
	t g 0	^	1 Г ’	0 = arctg	.
Коэффициент р,	являющийся			максимумом функции р cos (kt — 0),

называется амплитудой этой функции. Выражение (4) можно запи сать также в виде р sin (kt + ф), где tg ф = а /p, но обычно пред почитают использовать функцию косинус.

С тригонометрическими функциями довольно удобно работать вследствие того, что они обладают определенными свойствами орто гональности. Мы рассмотрим здесь свойства ортогональности сумм на множестве 1, ..., Т. Они соответствуют свойству ортогональности

полиномов, разбиравшемуся ранее в разд.		3.2.1. Рассмотрим
частоты	к/(2п) — j/T, j — 0, 1, .... [7721, где	[7721 =	772 для
четных	Т и [772] = ( Т — 1)72 для нечетных Т.	Период	при этом

равен 2nfk—T/j. На протяжении всего отрезка наблюдений Т уклады вается ровно / таких периодов. Функции косинус и синус с такими частотами являются ортогональными. Чтобы показать это, удобно

воспользоваться	соотношениями
	еР ~	cos к -f i sin к,
(7)	cos к =	(еа + е~л)/2 ,

sin к = (d%— e~a)/2i.

При этом

2nk

4.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 111

1 12я (к+п/тГ		1 — el2n(ft+/)			1	,	1 J 2n (*-■ШЦ		x_	ei2n(k-j) -j
7	[	! _	e i23t ( k + i)/T		J +		2 e	,	_	J2 n (k~j)/T I ,
								0 < * = £ / < [T/2],
J_ . г г л	( f t +	/ ) / r	Г	l	-	e	' 2 "	( W	)	=	1
2	[	j _j2n (*+/)//■			J			0 < *		=	/ < T / 2 ,
T,								£ =	/ =		О, T/2,
								0	^	j <C [71/2]i
								0 < & =			/ < T / 2 ,

k = j = 0, T/2.

Приравнивая действительные и мнимые части в соотношении (8 ), получаем

(9)	V*	2я/ ,		2Tik	,
		COS —7f~ t cos —=— t =
	T	2JT/	, .	2nk ,	л
(10 )	47
	^ cos —		/ sin	1=	0,
	*=1			1

0,	9		k =^= /		[T/2],
T/2,		о <	£ =	/ <	7 7 2 ,
T,		k =	/ =	0 ,	T/2,
k, j = 0,		1,	. . . .	[Т/2].

Подобным же образом можно показать, что
	т	2я/	, .	2я£ ,	{ 0 ,	0 <	[Г/2 ],
(П)	V* •				Т/2,	0 < &— / <	Т/2,
	^ s i n - y -		*sm-^=— t =
	*=1			7	0 ,	k = j = 0,	Т/2.
Кроме того,		полагая j		= 0 в (9)	и (Ю),	получаем

(12)	М * 0 0 со	g.	*■>+. II о
	Е
(13)	со 3*	На	*■>+. II о
(13)

f=i

* = 1, . . . . [Т/2],

* = 0 , 1, • • •, [Т/2].

Если Т — нечетное, то cos 2n0t/T — 1. При этом cos 2nkt/T и sin 2nktlT, k = 1, ..., (Г — l)/2, образуют множество из Т после довательностей по Т чисел, любые две из которых ортогональны. Если Т—четное, то таким множеством является совокупность функ

ций 1, cos 2nktlT, sin 2лЫ1Т, k= \, ...,			TI2 — 1 и cos 2л (T/2) t/T =
= cos л t = (—1)'. Сумма	квадратов		членов каждой	после
довательности равна 772,	за	исключением последовательностей
] И (—1)*, у которых она	равна	Т,

112

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ

Гл. 4.

4.2.2.Представление конечной последовательности с помощью ее частот

Рассмотрим	последовательность Т чисел	уъ	ут (которая
не обязательно	является наблюдаемым	временным рядом).

Эту последовательность можно рассматривать как совокупность координат некоторой точки в пространстве Т измерений. Указан ная точка может быть отнесена и к другим координатным системам. Иногда координаты относительно другой системы будут более осмысленными. Мы используем надлежащим образом нормирован ные ортогональные тригонометрические функции для того, чтобы определить ортогональную матрицу, посредством которой будут

преобразованы координаты уъ ..., ут. Если

Т четное,

то матрицу

М размера Т X Т определим равенством

(14)

M = /

2л

4л

2л (Г/2 — 1)

1 "

/ 2

COS

~T~

sin^—

COS—

...

sin

/ 1

cos

4л

COS

8л

. . . sin

4я (Г/2 — 1)

V~2

sin —

V~2

Из соотношений ортогональности (9) — (13) выводим, что

(15)

М'М =

Таким образом, матрица М ортогональна. Положим, далее,

(16)

У = (Ун

. Ут)'

(17)

х = (х1г

• • •, ХгУ =

м'у,

т. е.

т г

* •

(18)

X2k =

/4 2t=\ yt cos ■2nk

t, 6 = 1 , 7 7 2 —1,

V \

2nk .

6=1, .... 772-1,

2 &

S in —jz—

/=1

Х т = у г ^ уЛ~ ^ -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 7611 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202310.29 Mб4Статистические методы анализа и обработки наблюдений..pdf
#
12.11.202318.02 Mб6Статистические методы в строительной механике..pdf
#
12.11.20232.4 Mб1Статистические методы интеллектуального анализа данных..pdf
#
12.11.2023410.65 Кб3Статистические методы исследования качества объектов производства..pdf
#
12.11.20231.76 Mб0Статистические методы принятия решений с элементами конфлюентного анализа..pdf
#
19.11.202347.02 Mб2Статистический анализ временных рядов..pdf
#
12.11.202314.8 Mб1Статистический анализ геофизических полей..pdf
#
12.11.202314.63 Mб6Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1.pdf
#
12.11.202319.38 Mб0Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2.pdf
#
12.11.20236.88 Mб2Статистическое управление качеством технологических процессов..pdf
#
12.11.20239.13 Mб3Статическая выносливость элементов авиационных конструкций..pdf