книги / Статистический анализ временных рядов
..pdf4.3. |
ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ |
123 |
Мы хотим оценить константу а„, коэффициент а т/2 = а 18, соот ветствующий периоду 2 (частоте 1 /2 = 6 / 12), и пары коэффициентов, соответствующих (наименьшим) периодам 12/5, 3, 4, 6 и 12 (час тотам 5/12, 1/3 = 4/12. 1/4 = 3/12, 1/6 = 2/12 и 1/12 соответст венно). Пусть
|
- 2 |
(17) |
mt = 2 yt+uj |
|
/=о |
— сумма значений наблюдений для Uго месяца за три года. В силу периодичности тригонометрических функций имеем:
36 12
ао= |
# = |
"зб" 2 ^ |
= “зб~ 2 |
т*' |
|
|
|
|
|
|||
|
|
t=\ |
|
|
t=] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
2n3kJT3^ |
, |
|
|
12 |
2nk |
|
|
|
|
|
1 |
V |
|
1 |
V |
|
|
|
|
|||
a Zk— |
18 2 d V i C0S |
36 |
t |
~~ |
18 |
2 d m t COS-~~\2 |
|
|
|
|
||
|
|
/=1 |
|
|
|
|
(=1 |
|
|
|
|
|
(18) |
|
36 |
|
|
|
|
12 |
£ = 1 , |
2, |
3,4, |
5, |
|
. |
1 |
2яЗ£ |
, |
|
|
2nk . |
|
|
|
|||
V |
— |
I V |
|
|
|
|||||||
Ьэ* — |
lg |
|
36 |
t |
lg |
|
12 |
/, |
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
12 |
|
|
* = |
1, |
2, |
3, 4, |
5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
« и = |
- w 2 ул— |
|
|
2 |
m‘( - ’ |
I>'- |
|
|
|
|
||
|
|
f=I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблицы этих тригонометрических функций имеются у Кендалла (1946b). Таблица 4.1, расположенная по периодам и включающая суммарные величины, называется таблицей Быоис-Баллота [БьюисБаллот (1847)1.
Таблица 4.2
КОЭФФИЦИЕНТЫ ЦИКЛИЧЕСКИХ ТРЕНДОВ
k |
0 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
аь |
54.65 |
— 14.82 |
6.60 |
—3.98 |
2.21 |
—0.61 |
0.15 |
bk |
|
- 2.02 |
1.23 |
0.30 |
1.73 |
0.60 |
|
Минималь |
|
12 |
6 |
|
3 |
|
2 |
ный период |
|
4 |
12/5 |
||||
Частота |
|
1/12 |
1/6 |
1/4 |
1/3 |
5/12 |
Г/2 |
Rk |
|
14.96 |
6.71 |
3.99 |
2.81 |
0.86 |
0.15 |
*2 |
223.7 |
45.1 |
15.9 |
7.88 |
0,73 |
СГ.02 |
124 |
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ |
Гл. 4. |
Значения оценок параметров, вычисленные по данным табл. 4.1, приведены в табл. 4.2. Сумма квадратов отклонений равна 474.51, s®= 19.771. Наибольшая выборочная амплитуда R3 = 14.96 в табл. 4.2 соответствует паре членов с минимальным периодом 12. Это отражает тенденцию ряда mt к наличию у него единственного колебания, близкого к сумме синусоиды и косинусоиды.
4.3.2. Периодограмма и спектрограмма
График зависимости Rl = al + b\ от периода Tlk называется периодограммой (рис. 4.1). Применение ортогональных функций, рассмотренных выше, определяет периодограмму в точках Tlk —
— 2 (если Т четное).......Т/4, 773, 772, Т.
График зависимости Rl от частоты k!T называется спектро граммой (рис. 4.2). Этот график удобнее, поскольку квадраты амплитуд, вычисленные для ортогональных слагаемых, распола гаются на этом графике с одинаковыми промежутками, величина которых не зависит от Т.
Аналогичные понятия можно ввести,, используя квадрат теоре
тической амплитуды рi Иногда этот квадрат амплитуды называют интенсивностью. С терминами периодограмма и спектрограмма в литературе обращаются весьма вольно, вплоть до замены одного
другим. В некоторых случаях при определении Rl используют различные множители.
Следует заметить, что ak и bk суть значения параметров а и Ь, минимизирующие сумму
(19)
Поэтому Rk — ]/~с&+ b\ и 0А= arctg (bk/ak) являются зна чениями величин R и 0, минимизирующими сумму
(20)2 [ ^ - * C0S( - T ^ - e)]2-
Минимальное значение последней суммы есть
(21) |
2 |
$ *— 2~ (я!+ й) = 2 ^ |
|
м |
м |
В этом смысле Rl является мерой соответствия выравнивающей тригонометрической функции с частотой k!T наблюдаемым данным.
Рис. 4.1.
Периодограмма для примера 4.1 (период T/k).
250 |
1 |
— ,— --- 1---— I— |
— I— |
|
||
|
• |
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
150 — |
|
|
|
|
— |
|
т |
|
|
|
|
|
— |
50 |
|
* |
|
|
|
- |
25 |
— |
1 .. - - |
•1 |
|
+ |
|
|
1 |
......t . ..... |
1 |
|||
|
й |
1 |
i |
£ |
5 |
|
|
7 |
4 |
<2 |
2 |
||
Рис. 4.2.
Спектрограмма для примера 4.1 (частота k/T).
126 ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ Гл. 4.
Коэффициент корреляции между двумя последовательностями,
Уъ • ••> Ут и |
гъ |
zTy определяется отношением |
|
||||
|
|
т |
(yt — У) (ъ — г) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
(22) |
I т |
t= 1 |
_ |
Чч т |
V. |
|
|
|
|
|
|||||
|
( 2 |
(у< — у %) J |
[ 2 (z<- |
z)aj |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
г/<2<— ТУ* |
|
|
|
|
|
|
t = 1 |
\*/» * |
|
|
|
|
|
|
~~ I т |
\ 7 , , Г |
|
|
|
|
|
|
( 2 # ? - n i* ) ( . § « ? - » ) |
||
тт
в котором у = 2 |
'///7'. a |
z = 2 |
z,/T. Он |
является мерой подобия |
<=! |
-- |
<=! |
- |
- |
этих последовательностей, |
не меняющейся при сдвиге и изменении |
|||
масштаба. Если zt = a cos 2nki/T + 6 sin 2nkt/T — R cos (2nkt1T—
>—0 ), то |
соответствующий коэффициент корреляции равен |
|
|||||||||
т |
|
л |
_ . |
|
|
т |
|
|
|
||
|
|
* |
_________ |
|
‘ |
|
2 |
WC0S( " T ~ <—е) |
|||
(23) |
|
|
|
/=1 |
' |
|
' |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
О '-*»’) ' ( т |
г <“’ + |
‘ ’\)'" |
|
( § < и - й * ) ’/ ,( т |
т Г |
||||
|
|
|
|
|
|
( |
т |
2)' |
-£■[ak cos |
6 + bksin 0 ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
(»<-»>■) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
<=1 |
|
/ |
|
|
|
|
Максимум |
его по |
всем |
0 достигается при значении 0* = |
arctg |
|||||||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и равен |
|
1 Т / 2 ] £ |
( y i — y ) 2 ] ll2 R |
k . |
Таким образом, |
максималь |
|||||
ный (по |
отношению к |
параметру |
0 ) |
коэффициент |
корреляции |
||||||
между последовательностями |
{yt} |
и |
{cos (2лktIT — 0)} |
пропор |
|||||||
ционален |
|
Rk. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3.3.Проверка гипотез
ипостроение доверительных областей для коэффициентов
Приведенные выше в соотношениях (10) — (13) оценки коэффи циентов являются несмещенными, т. е.
|
%а0= |
а 0, |
Лаг/2 = |
®г/2> |
|
|
(24) |
%а (kj) |
-а (k,), |
SЬ (kj) = |
§(*,), |
1 = 1 .......... |
ч’ |
4.3. |
ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ |
12? |
|
Дисперсии а о и ат/2 равны о2!Т, |
а дисперсии a (kj) и b (kj) |
равны |
|
2а2IT, j = |
1, .... q. Эти оценки |
являются взаимно некоррелиро |
|
ванными. Если величины yt нормально распределены, то указан ные оценки нормально распределены и независимы.
Статистика s2 является несмещенной оценкой для а 2. Если ве личины yt распределены нормально, то отношение s2/cr2 пропорцио
нально |
величине, имеющей |
%2-распределение, |
не |
зависящее |
от |
|||
оценок |
коэффициентов. |
Если |
/ (t) представляется |
суммой |
(1), |
|||
a s2 задается соотношением (14), то отношение |
(Т — 2q — 1)s2/a2 |
|||||||
имеет %2-распределение |
с (Т — 2q — 1) степенями |
свободы. |
Ес |
|||||
ли же |
f (t) представляется в |
виде (2), а s2 задается |
соотноше |
|||||
нием (15) (т. е. Т четное и |
присутствует |
ат/j), |
то |
отношение |
||||
(Т — 2q — 2)s2/a2 имеет |
%2-распределение с |
(Т — 2q — 2) степе |
||||||
нями свободы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Впредположении нормальности можно использовать критерии
идоверительные области, приведенные в гл. 2. При этом процедуры принимают особенно простой вид из-за ортогональности и норми ровки используемых регрессионных переменных. Одной из нуле вых гипотез, которые могут представлять для нас интерес, явля ется гипотеза об отсутствии циклического слагаемого с заданным йаименьшим периодом, скажем T/kj. Эта нулевая гипртеза имеет вид
(25) |
Н: a(kj) = $(kj) = |
0. |
Сформулированная |
гипотеза связана как |
с синусоидальной, так |
и е косинусоидальной составляющими потому, что в сумме они могут задавать сдвинутую функцию косинус. Мы здесь не затра гиваем вопроса о синхронизации, т. е. о фазе 0 (kj). Указанная выше гипотеза эквивалентна гипотезе Н: р (kj) — 0 .
Если верна нулевая гипотеза, то величины a (kj) и b (kj) неза висимы и нормально распределены с нулевыми средними и диспер сиями 2а2/Т. Поэтому статистика
/ ойч |
т |
a2 (kj) + ь2 (к/) |
Т |
R2(k,) |
W |
2 ' |
о5 |
2 ‘ |
а2 |
имеет УАраспределение с 2 степенями свободы. В противном слу чае она имеет нецентральное ^-распределение с параметром нецен тральное™ 7р2 (kj)/ (2сг2). (См. (49) ниже.) Пусть р — число оце ниваемых коэффициентов (2q -f 1 или 2q + 2). Тогда при нулевой гипотезе статистика
|
т |
R2 (kj) |
|
(27) |
2 ' |
a2 |
TR2 (kj) |
|
s2 |
4s2 |
|
|
|
имеет F-распределение c 2 и T — p степенями свободы. В общем случае (27) имеет нецентральное F-распределение с параметром
128 |
|
|
|
|
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ |
|
|
|
|
Гл. 4. |
|||||
нецентральности |
Гр2 (kj)I (2а 2). |
Нулевая |
гипотеза |
отвергается |
|||||||||||
с уровнем значимости е, если (27) |
больше, чем 100е-процентная |
||||||||||||||
точка F -распределения1). Соответствующая функция |
распределения |
||||||||||||||
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(28) |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача проверки указанной гипотезы инвариантна относитель |
||||||||||||||
но |
следующих |
преобразований |
оценок: OQ — ka0 + |
|
с0, |
а* (kj) = |
|||||||||
= |
ka (kj) + ct, |
|
b*(kt) = kb (k{) + |
dt, |
|
i Ф j, |
or/2 = kaT/2 + |
||||||||
+ |
ст/2 |
(если |
Г |
четное), |
a* (kj) |
= k [a (kj)cos 0 + |
6 |
(kj) sin 0], |
|||||||
6 * (kj) |
= k [— a (kj) sin 0 |
+ |
6 (kj) cos 0 ] |
и |
s* 2 = k2s2 |
для |
про |
||||||||
извольных k Ф 0 , |
c0, ch dit i Ф j, ст/2 и 0. |
Соответствующее |
преоб |
||||||||||||
разование переменных ylt ..., ут имеет вид |
|
|
|
|
|
||||||||||
(29) |
уJ- ky, + |
с0+ 2 |
(с, cos |
|
1+ dt sin Щ*- tj + |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
5 / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
4 |
2 |
{cos |
|
(S - |
t) - 0j - |
cos ~ L ( s - |
/)] ky, + |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (— |
1)* Ст/2, |
t — l, . . . , 7. |
||||
Если |
7 нечетное, |
то слагаемое |
(—1) cr/2 |
отсутствует. (См. ynp.l 1 |
|||||||||||
и 12.) Распределение переменных у\, ..., у \ совпадает с распре делением у1г ут с соответственно преобразованными парамет рами. Всякая функция параметров, инвариантная относительно введенных преобразований, является функцией от р2 (kj/a2. Вся кая функция от достаточных статистик, инвариантная относи тельно введенных преобразований, является функцией от R2 (kj)/s2. Поскольку семейство распределений полно, единственными инва риантными критериями, основывающимися на достаточных статис тиках и имеющими заданный уровень значимости, являются крите рии, основанные на статистике F = 77?2 (kj)/ (4s2). Поэтому рав номерно наиболее мощным инвариантным критерием уровня е будет критерий, который отвергает нулевую гипотезу, когда наб людаемое значение F превосходит 7 2,т-Р(е)+ Этот критерий явля ется равномерно наиболее мощным среди критериев, функции мощ ности которых зависят только от р2 (kj)!a2.
!) Здесь и в дальнейшем под ЮОе-процентной точкой понимается верхняя
1008-процентная |
точка (см. примечание на стр. |
23), если только не оговоре |
|||
но специально, |
что |
рассматривается |
двусторонняя ЮОе-процентная |
точка |
|
(см. примечание |
на |
стр. 48).— Прим, |
перев. |
на стр. 130.— Прим, |
|
*) Обозначение |
F2 Т_ р (е) объясняется далее |
перев. |
|||
4.3. |
|
ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ |
|
129 |
|||
Гипотезы |
относительно значений а 0 |
и ат/2 |
можно |
проверять |
|||
с помощью |
/-критериев. (См. упр. 14 и |
15.) |
Если а2 известно, |
то |
|||
F-критерии можно заменить Х2-критериями, а |
/-критерии — нор |
||||||
мальными |
критериями. |
|
предполагается, |
что |
|||
Пусть |
Т — Ы, п — четное и априори |
||||||
/ (/) = / (/ + |
п). Тогда для проверки гипотезы |
о том, |
что тренд |
||||
ряда не содержит периодического изменения, мы должны прове рить гипотезу о равенстве нулю коэффициентов при всех тригоно метрических функциях, имеющих такой период (за исключением константы 1). Для этого можно использовать статистику
|
л /2 -1 |
|
|
4- 2 [а2т + ь * т \ + та\12 |
|
(30) |
fc=i |
|
(re — l)sa |
||
|
Последняя при нулевой гипотезе, состоящей в том, что / (/) постоян на, имеет F-распределение с п — 1 и Т — п степенями свободы.
Вобщей ситуации (когда / (/) периодична с периодом п), статистика
(30)имеет нецентральное F-распределение с параметром нецентральности
гр п/2—*1
|
2 [а 2 № + р2 ( Щ + ТаТ/2 |
(31) |
ft=I |
|
здесь а (Щ и р (kh) — коэффициенты при cos 2nkht!T = cos 2nkt/n
и |
sin 2nkht/T = sin 2nktln, |
k = |
1, ..., n/2 — 1, |
в представлении |
||||||
/ |
(/), |
a kj = jh. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения можно расположить в виде таблицы Бьюис-Баллота |
|||||||||
|
|
|
Ух |
Уп+1 • • |
• У(Н—i)n+i |
Ух |
|
|||
(32) |
|
У 2 |
Уп+2 • • |
• У(Н—1) |
п+2 |
У-г |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в которой |
Уп У2п |
|
Укп |
|
Уп |
|
||||
|
ft- 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
(33) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
yt = |
-г-1i yt+nf, |
/ = |
1..........П. |
|
||||||
Положим |
п |
/= 0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
<34") |
|
|
|
(=1 |
|
|
<=1 |
|
|
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(35) |
&//+„/ = h t = |
/(/), |
* = 1 ......... «. |
/ = 0, |
. . . . h — 1. |
|||||
130 |
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ |
Гл. 4. |
Нулевая |
гипотеза состоит в том, что f (1) = / (2) = |
... = / (п). |
Это эквивалентно задаче о совпадении средних в дисперсионном анализе с равными числами наблюдений в каждом из классов оди нарной классификации. Обычно для проверки этой нулевой гипо тезы используется статистика
|
л 2 |
tet — y)* |
(36) |
<=i |
|
п h —1 |
(yt+щ-ш? |
|
2 |
2 |
|
t= 1 /=0 |
|
|
п(h — 1)
п— 1 ’
имеющая F-распределение с / г — 1 и п (h — I) = Т — п степенями свободы при нулевой гипотезе и нецентральное ^-распределение с параметром нецентральности
|
h 2 [ / « - Л 2 |
(37) |
/=1 |
|
|
п |
|
гДе / = 2 / |
в общем случае. Используя свойства тригоно |
метрических функций, приведенные в разд. 4.2.1, можно показать, что F-статистики (30) и (36) совпадают. При этом совпадают и пара метры нецентральности (31) и (37).
Доверительные области для параметров могут быть найдены
обычным |
путем. |
Например, |
доверительная область для |
а (kj) |
|
и Р (kj) с коэффициентом доверия 1 — е образуется парами |
чисел |
||||
(а*, р*), |
удовлетворяющими |
неравенству |
|
||
(38) |
[а* - |
а (k,)\* + |
[р*~Ь (kj)]2 < - у - F2(r_P(в), |
|
|
в котором F 2,T - P |
(е) есть |
ЮОе-процентная точка F -распределения |
|||
с 2 и Г — р степенями свободы. Эта доверительная область состоит из границы и внутренности круга с центром [a (kj), b (kj) ] и ра
диусом Y 4s2F2,r-P (е)/7\ Точки граничной окружности и внутрен-
ности этого круга в полярной системе координат, р* = |
\ га*2 + р*2, |
6 * = arctg (Р*/а*), образуют доверительную область |
для ампли |
туды р (kj) и фазы 0 (kj). Минимумом и максимумом р* в круге явля ются граничные точки интервала
(39) (* (kj) - У Щг F2.T- P (е) , R (kj) + У Ц - F2J_P(г)) .
Этот интервал является доверительным для р (kj) с коэффициентом доверия, большим 1 — е. (Если нижняя граница интервала (39) отрицательна, ее можно заменить нулем.) Используя нецентраль ное F -распределение статистики (27), можно построить доверитель-
4.3. |
ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ |
131 |
|
ный |
интервал |
для параметра нецентральное™ |
Тр2 (kj)l (2а2), |
но это не приносит особой пользы, поскольку а2 неизвестно. |
|||
Если R(kj) < |
Y 4s2E2,т—р (в)IT, то начало координат попадает |
||
в доверительный круг и гипотеза р* = 0 входит в число допусти мых. Каждому значению угла 0* соответствуют некоторые точки доверительного круга. При этом полезной является только верхняя граница (39). Нулевая гипотеза р (kj) = 0 принимается с уровнем значимости е. Если начало координат не принадлежит доверитель
ному |
кругу, то можно определить |
доверительный интервал для |
0 (kj), |
включая в него все углы 0 *, |
соответствующие этому кругу. |
Точнее говоря, в этот доверительный интервал включаются все
углы |
0 *, |
обладающие |
тем свойством, |
что луч, |
направленный из |
||||||
начала координат под углом 0 * к оси |
абсцисс, |
пересекает довери |
|||||||||
тельный круг, и не включаются |
углы, не обладающие этим свойст |
||||||||||
вом. При этом длина доверительного интервала для |
0 меньше я, |
||||||||||
а коэффициент доверия больше |
1 — е. |
|
|
|
a (kj) tg 0 — |
||||||
Другой подход использует тот факт, что величина |
|||||||||||
— b (kj) распределена |
нормально |
со |
средним |
|
a (kj) tg 0 |
— ($ (kj) |
|||||
и дисперсией 2<r2 (1 + |
tg20 )/T = |
2о2 sec2 0/Т. |
Если |
0 = |
0 (kj), то |
||||||
указанное среднее равно нулю. Поэтому |
|
|
|
|
|||||||
(40) |
|
Pr I |
,[a (* /)tg e -» (*/)]* |
< Рит_р(8)| |
= |
1 _ |
е. |
|
|||
|
|
} |
-у * 2(l + tg2 0) |
|
|
( |
|
|
|
|
|
Событие, |
заключенное |
в скобки, |
иначе можно |
записать в виде |
|||||||
(41) |
[я2 (kj) '— j r s*Fi'T-р (е) |
|
|
a (kj) b (kj) |
|
12 |
|||||
tg 0 |
|
< |
|||||||||
a2 (kj)-----(e) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
j r |
s* F lT -p (e) [*2 (*/) - j r |
s2f1, T-p (8)] |
|||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
a%(ki) — - j r ^ F l J - p (8)
Из (41) получим следующее неравенство относительно tg 0:
a (kj) b (kj) - Y - j r |
s2FUT_ p (e) [tf* (kj) - |
j - s2Fl T _ p (e)l |
(42) — --------------------------- |
g---------------------------------- |
< tg 0 < |
ai (kj)— — si Fl/r_ p (e)
* (kj) b (kj) + Y |
j r s*Fl T_p (e) |
{k j) - - j r s 4 UT_ p (8)] |
|
^ - |
_ |
|
|
|
a2 (kj) — — |
s2FhT_ p (e) |
|
132 ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ Гл. 4.
если знаменатель в правой части (41) положителен (при этом под коренное выражение неотрицательно), и
а ( Ц b(kj) + |
Y |
s2FitT_ p (8) {R* (kj) - |
~ |
s2F l T _ p (е) |
tg e : |
|
|
|
|
(43) или |
|
я2 (fy) — -jr s%F \ , T-p (®) |
|
|
|
|
|
|
|
а (*/) b (kj) - |
Y |
j r s % tT_ p (e) | R* (kj) - |
J L |
s*FUT_ p (e)] |
tge < — |
|
a2 (*/) — ~7f s2p i, T-p (e) |
|
|
|
|
|
|
если этот знаменатель отрицателен, а подкоренное выражение неот рицательно. Если же подкоренное выражение отрицательно, то оба отношения являются мнимыми. В таком случае неравенство
(41) выполняется при |
всех |
значениях |
0, поскольку |
при |
этом |
|
a2 ( kj) < |
2s2Fi,r_p (е)/7\ |
Доверительное |
множество для |
tg 0 |
за |
|
дается |
соотношением (42), |
если знаменатель правой части |
(41) |
|||
положителен, или соотношением (43), если указанный знаменатель отрицателен, а подкоренное выражение неотрицательно. Это дове рительное множество совпадает со всей действительной прямой, если указанное подкоренное выражение отрицательно. Вероятность того, что доверительный интервал совпадает со всей прямой, равна вероятности события
(44) I i | i L < | f u - P(®).
Левая часть (44) имеет нецентральное /•’-распределение с 2 и Т — р степенями свободы и параметром нецентральности Гр2 (kj)/ (2а2). Вероятность события (44) мала, если Гр2 (kj)!(2a2) велико. Отме тим, что доверительный интервал, основанный на (38), является
тривиальным, если левая часть (44) |
меньше |
Ег,г-р (е), равного |
|
приблизительно 3/2 правой части (44). |
[Шеффе |
(1970) |
предложил |
процедуру построения доверительного |
множества (38) |
для a (kj) |
|
$.(kj) в случае, когда это множество содержит начало координат,
и |
построения |
интервалов, |
подобных |
(42) и (43), использующую |
||||||||||
вместо Ei.r-p (е) |
надлежащим |
образом выбранную |
монотонно |
|||||||||||
убывающую функцию |
от |
F2,r-p(e).l |
|
|
|
(42), |
если |
|||||||
|
Итак, имеется три типа доверительных множеств: |
|||||||||||||
2s2Fi,r-p |
(в)/Т < a2 (kj), |
|
(43), |
если |
а2 (kj) |
< 2s2F\,T~P (в)IT |
||||||||
< |
а2 (kj) |
-f b2 (kj), |
|
и |
вся |
прямая, |
если |
a2 (kj) |
-f |
b2 |
(kj) < |
|||
< |
2s2F\,T-p (в)IT. |
Они |
встречаются соответственно, |
когда |
а2 (kj) |
|||||||||
велико, |
когда |
a2(kj) |
мало, |
a b2 (kj) |
велико, |
и когда обе эти ве |
||||||||
личины малы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Процедуры проверки гипотез и построения доверительных |
|||||||||||||
множеств, приведенные |
в |
этой |
главе, |
основываются |
на |
том, что |
||||||||