Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Статистический анализ временных рядов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

47.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 7616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>


4 .3 .		ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ								153
Вид таких областей зависит от				р0, pi,	ри,	т? и т2ц.		Отметим,		что
не существует процедуры, оптимальной равномерно по т\|									и т».
Указанные симметричные процедуры могут быть охарактеризо-
ваны вероятностями правильного решения Pr {R0 \| //„}, Рг									\| т? =
- г?, т\ =	0,	i > 2} и	Рг {Rn 1т? = Т2			=	ти, т? = 0,		t >	3}.
Альтернативная постановка				состоит	в	задании		вероятностей
Pr [R0 1#о}	и	Pr {/?i\|x? = TI,		т? = 0,	i >	2}	для	некоторого		за
данного значения xf и максимизации					третьей вероятности					для
другого заданного значения тц.
Если а 2	неизвестно,		можно потребовать,				чтобы вероятность

Pr {R0 | Н0}не зависела от а 2. Это требование приводит, как

и ра-

нее, к процедурам, связанным

^ R 2 (kj). При каждом значении

/=1

Z/соответствующие

области

будут зависеть

от р0, pi,

ри,

т? и

/=1

1961) использовал такой подход в задаче,

тп. Бирнбаум (1959,

частично

совпадающей с

нашей.

Другой подход [Уиттл (1952))

состоит в следующем. Гипотеза

Н0 принимается,

если R2 {kj) <

R2(£,),

/ = 1 ,

<7,

где g

таково, что (92) равно

i= 1

е. В противном случае принимается решение

том, что р (kj) >

где R2 (kj) > g ^ R 2 (kj) и R 2 (kj) >

R 2 (kj),

/= 1

исследуются

как бы

i¥=j- Затем остальные г — 1 значений R 2(kj)

новой

задаче того

же

рода,

которой только q заменяется на

q — 1, а

г н а г — 1.

Эта

процедура может

выполняться

шаг за

шагом, пока не будет решено, что остающиеся амплитуды р (kj) равны нулю. (Геометрическое представление о такой процедуре для q — г = 3 можно получить из упр. 28.)

С теоретической точки зрения указанная процедура не вполне

удовлетворительна.	Выбор	определенного значения вероятности
Pr {Rolft0} = 1 — в	дает	возможность контролировать вероят

ность одной из ошибок. Если только одна из амплитуд р (kj) > 0, то вероятность правильного решения возрастает с ростом величины р (kj) (и это является удовлетворительным). Однако здесь допуска ется также решение о том, что положительными являются две или более амплитуд. При этом если положительны ровно две ампли туды и одна из них много больше другой, то вероятность решения о том, что эти две амплитуды положительны, в свою очередь может быть высокой. Если же две амплитуды положительны и близки друг Другу, то вероятность того, что большая выборочная амплитуда будет столь велика по сравнению с соответствующей суммой, что

154	ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ					ГЛ. 4.
она обеспечит принятие решения об отклонении					гипотезы	Н0, мо
жет оказаться и не очень большой.					значений х/ равно-
Если гипотеза Н0 верна,		то	распределение
		Г
мерно на множестве ду > 0 ,		2	ду = 1. Из	геометрических сообра
жений	можно заметить, что	распределение		любых г — 11		величин

Xj при условии, что их сумма равна единице минус величина не включенного в сумму ду, превосходящего константу g, снова явля ется равномерным (если g достаточно велико). Вероятность того, что отношение наибольшей из (г — 1) величин ху к их сумме будет больше определенного числа, может быть найдена подобным же образом. Однако если гипотеза Н0 неверна, то это распределение будет зависеть от значений р2 (£/)/ст2, отличных от нуля. Если какое-то из них отлично от нуля и столь велико, что велика и ве роятность того, что соответствующее значение ду является макси мальным, то условное распределение других г — 1 величин ду близко к равномерному. Возможны и другие случаи.

Отметим, что для использования процедуры теоремы 4.3.6 вовсе не обязательно отыскивать такое значение g, чтобы вероят ность (92) равнялась требуемой, и затем определять, будет ли мак симальное из наблюдаемых значений ду больше этого числа. Вместо этого можно вычислить (92) для значения g, равного максималь ному из ду, и определить, будет ли вероятность (92) меньше тре буемой.

4.3.5. Вычисление коэффициентов Фурье. Быстрое преобразование Фурье

В большинстве ситуаций использование связей между тригоно метрическими функциями может существенно упростить вычисле

ние коэффициентов а,- и 5/.

В качестве иллюстрации

рассмотрим

случай

Т — T’jT’a'.

При

этом

можно

записать

t = Д +

(t2—- 1) Тъ

Д — 1.......и

1, ..., Тг, а

также /

Д +

]\Тг,

Д =

0 , ...,

Т2 — 1

/а =

0, ....

Тх — 1.

Отметим,

что

йт- i

= й} и bj-j

= —&/.

Искомые

коэффициенты

являются

соответственно действительной и мнимой частями суммы

Тх т2

iik + iifiTt

( п о

y f * m

у^+ &-1) ^ ехр

<,=i *а=1

4 .3 . ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ 155

= 2

ехр[(2я

д |

exp[t2n - ~V2 ~

]

№.+ <4 -п г,-

Для

их отыскания вычислим

сначала величины

(112)

т,

C/V, =

yt-Л (4—1) Г,

cos

(Д — 1),

*2=1

г;

(113)

S/,,4 = 2I

г /4 + (4 - 1 ) г ,

S in

(Д

—

1),

4 = 1

для каждой пары (Д, Д),

Д =

0, ..., Т2 — 1

Д =

7Д. По

скольку

сг,-/,,/, =

Cjutt

sTl—

—s/„4 .

то

существует

около Т±Т212 =

Т12 таких пар. После этого находятся

действи

тельная и

мнимая части

суммы (111):

■Д,

(114)

22 с/„4 cos 2л

;i ^г /2'Га

Д — 22 S/1>?1 sin 2л

(115)

sin 2л

к+М1л

Д +

shttt cos 2л

/-1 + ^Га

4=1

<,=1

для / = 0, 1,

[772]. Число

операций

умножения приближенно

равно ГгТ в первых суммах

и 27Д7’ во

вторых

суммах,

так что

число операций умножения в целом составляет примерно

Т (Т2 +

+ 2ГД. В то же время число произведений в определении

коэффи

циентов аI

bj,

/ =

...,

[772] примерно равно Т2.

Для четных Т существуют специальные формы вычислений.

При

Т =

7 ’1 7 ’2 7 ’з м о ж н о

использовать

представление

(116)

t =

Д +

(Д - 1 )

Тл + (Д - 1 ) 7Д7Д,

Д =

1..........Tit

i ^

\ , 2 ,

(117)

/ =

Д "г ДГз 4 - j3T3Т2,

Д == о,

. . . ,

Т’з

/а = 0 ,

. . . > г 2

1 ,

/ з — 0 , . • • , 7 Д

1 ,

При

этом

(118)

^ 2Я ^hTs+hUT.) 4/г х

<=1

Го

4=1

е/2я/, (4-1)/Г*У4+(4-D г,+ (4-D т»т,-

е/2я (Л+/«Т.) (4-1)/Т«Г, 2

156

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ

Гл. 4.

Мы не будем рассматривать эти методы более подробно. Деталь ное их описание приведено у Кули, Льюиса и Уэлша (1967). Сам метод был разработан Тьюки и его сотрудниками. [См. Кули и Тьюки (1965).] Идея метода восходит по-видимому к Рунге (1903).

4.4.СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫВ ОДЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ, КОГДА ПЕРИОДЫ ТРЕНДА НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ ДЛИНЫ РЯДА

4.4.1.Определение тригонометрических коэффициентов

иамплитуд для произвольных частот и их моменты

Впредыдущем параграфе предполагалось, что изучаемый циклический тренд имеет периоды, нацело делящие длину ряда. Это

предположение разумно в тех случаях, когда имеется предваритель ная информация о возможных периодах и длина ряда согласуется

сэтими периодами (так будет, например, если рассматривается сезонное изменение и имеются ежемесячные данные, накопленные за определенное число лет). Однако во многих случаях длина ряда определяется на основании каких-то факторов, никак не связанных

свозможными периодами, а исследователь не имеет желания огра ничиваться в своем рассмотрении только теми периодами, которые являются делителями длины ряда. Например, такова модель пе риодического тренда, предложенная для экономических рядов, обнаруживающих флуктуации из-за так называемого цикла дело вой активности. Данные могут быть при этом ежегодными, а длина ряда определяется либо доступностью материала (например, тем, когда то или иное агентство начало собирать те или иные данные), либо внешними событиями (такими, как мировые войны). Цикл деловой активности может иметь периоды любой длины. Эконо мист может нуждаться в рассмотрении любых периодов, больших или равных 2. (В дальнейшем мы обсудим критику возможности применения указанной модели к экономическим временным рядам.)

Вобщей математической модели тренд представляется в виде суммы

О)	/ ( 0 = /i( 0 + ••• + ш ,

в которой f[ (t) имеет (наименьший) период щ. Однако такая модель является слишком общей для того, чтобы ее можно было изучать непосредственно на основе Т наблюдений. Мы обсудим несколько более ограничительные формулировки. Рассмотрим простейший случай, когда / (t) состоит из одной периодической и притом три гонометрической функции. Точнее, будем предполагать, что yt —

4.4.		ПЕРИОДЫ ТРЕНДА НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ				157
= ft +	Щу где	= 0 ,	Ъьц = а 2, Ли, = О,		t Ф s и
(2 )	/(/)== а cos М +		Р sin М =	р cos (М — 0 ),	0 < X <	я,
где
(3)		р2 = а2 + р2,		tg0 = i .

Наблюдения уъ ..., t/j можно взаимно однозначно заменить коэффициентами а0 = у,

(4)в /=

(5)*>/ =

(6 )	го

т	*=i	cos	т 7	/ =	i.	•	[ ( Г - 1)/2 ],
т	*=i	cos	т 7	/ =	i.	•
	г
r	2	^ sln	J	/ =	1 ,	■. •> [ ( Т - 1)/2 ],
	f=l
II	-	ч; т
	i

Последний коэффициент включается в рассмотрение, если Г четное. Как уже было указано выше, это множество Т коэффициентов есть непосредственный результат преобразования исходных дан ных. Дисперсии и ковариации этих коэффициентов равны, как и прежде,

Var (а0) = y f l ! = Var (аг/2),

	Var (а,) =	у - а2 =	Var (6У),		/ Ф О,	Т/2,
	Cov (a,, ak) = 0 = Cov {bh bk),				j ф k,
	Cov (ah bk) =	0.
	При желании можно рассмотреть величины
		Г
(8 )	Л (v) =	-\|г 2 */,cosW,		0	< v < л ,
		7 /=х1
(9)	в (у) =	т			< v <	я,
(9)	в (у) =	4 - 2	sin v*>	0	< v <	я,
		7 t=\
для всех v из отрезка		[0 , л]. При этом			а,- =	А (2я//Т) и Ь/ =
=	В (2я//7). Средние, дисперсии и ковариации этих коэффициентов

являются суммами произведений тригонометрических функций.

158	ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ			Г л .	4.
Л емма 4.4.1. Для v	-J- Я ^4= 2яА	v — Я	2я&, k	= 0, db 1,	...,
выполняются соотношения
Т	sin — (v + X) Г
(Ю) 2 c o s c o s v t =	-у — 1 ------------cos - f (v +			Я)(Г + 1) +
<=l	sin —	(v + X)
	sin —	( v - X ) T

(11) 2 cos M sin vt

t=l

(12 ) 2 sinM sin vt t=i

+	4 - ------		1 ------------	cos l - ( v - K ) ( T +	1),
		sin — (v — X)
	sin - i -		(v +	X) T
■ Y ---		1 -------		sin4-(v + X)(r+l) +
		sin —	(V +	X)
		Sin-1 ( v - X ) T
+	—	--------	i-------------	s i n l - ( v - ^ ( 7 ’ +	1),
		sin— (v -X ,)
	sin 1 -		(v +	X) T
—	--------	i-------------------		cos 1 - (v + X)(7’ + 1) +
		sin—	(V +	X)
	1	sin 4 - ( v - X ) r

		+ —	------- i-----------	-cos4 -(v — Я)(Т+ 1).
			sin —	(V_ X )
Для v Ф nk,	k — 0, ±	1, ....	выполняются соотношения
(13)	ic o s - W	= - i - J 4 - f		* ^ _ C0SV(T+1),

(14)2 c o s v (s in v < -- i-- 2 ^ sinv(r+I)i

(15)	Ssin*v( = -1-T _		' _ 2^ L ct,sv(r+ 1).
	t=\	^	г	sin v
Эти	равенства	получаются из	рассмотрения		сумм	2 cosKte1^
		Т				t—\
для (10), (11), (13), (14) И 2 sin vfeA<				Д Л Я (11)i	(12),	(14)) (15) с

использованием метода (8 ) в § 4.2. (£м уПр 29)

4 .4 . ПЕРИОДЫ ТРЕНДА НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ 159

Средние, дисперсии и				ковариации				A (v) и	В (v)	приведены в
теореме 4.4.1.
Теорема 4.4.1. Если				% yt =	a cos Xt + Р sin Xt =					р cos (Xt —0),
то
(16)	&A(v) =	<z(v) =	-^-	sin — - (X - f v) T
(16)	&A(v) =	<z(v) =	-^-				------ cos -4- (A, +			v) (71 + 1) +
				sin -^ -(X +				v)
					1
				sin —		(X — v) T
			+					cos-i (A, — v)(7’ -f- 1) U
			+	--------- ---------------
				sin — (A — v)						■ ]
						2				■ ]
						1
					sin — - (X + v) T
			+	•	—		t-----------sin j(A +			v ) ( r + l )	+
						~Y (A+ v)
					1	(A— v)T
				sin —		(A— v)T
			4--------- j-------------sin ~2~						— v) (T 4* 1)
				sin — (A — v)
			_p_	sin —		(A + v ) T
			_p_					c o s [ i( A , + v ) ( 7 4 1 ) - 6 ] +
			T					c o s [ i( A , + v ) ( 7 4 1 ) - 6 ] +
			T	sin —		(A + v)
				sin —		(A + v)
				sin— (A — v)T
			+	—	,---------- co s[i(X ^ v )(7 4 1)—в]},
				sin -4—(A.— v)				L			J\|
										0 < v <	л,
		=	» + - r J a r i L cosiM ^ +						i ) - 9 i .
									0 < X = v <; n,
				1		(A, +	v)T
(17)	8 B(v) =	P(v) =	\| -	sin —		(A, +	v)T
(17)	8 B(v) =	P(v) =	\| -	---- \	-----------s i n ^ - ( M - v ) ( T + 1) -
				sin —		(A + v)
				sin 4 *		(A, — v) T
				------L----------- s in - f ( ^ - v ) ( r + l )							+

sin — (A — v)

160	ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ
	+ £	s in i-(^ + v)T
	+ £	j
	т т	j
		sin — (X + v)
	sin —	(X — v ) T

Гл. 4.

cos j (Я + v) (T + 1 ) 4 "

	+				cos -g- (Л — v) (T -J-- 1)
		sin	2	(Я — v)
			2
		sin-(X + v)r
	=	---------- s i n i - ( ^ + v ) ( T + l ) - e \| -
	[ Sin -i- (X+ v)				L			J
		sin — (A, — v) T					1)•— el
		---------sin[l(x — v)(T +					1)•— el
		sin — (k0 ,—-v)			L			j
		2	v
					v ф %,		0 <	v <	я,
	= P +	f ! i r	r	sinIM 7 - + ! ) - e ] ,
						0 <; X = v <; я,
( 18)	Var [A(v)] =	- ^ - [ l	+	J j n L	Cosv(7’ +	1)],
							0 <	v <	я,
(19)	Var [B (v)] =	Ц - [l	-		cos v (T +	1)]
							0 <	v <	я,
(20)	Cov \A (v), В (v)] =	Ц г-		sin v (T + 1),
							0 <	у<	я.

Если v = 2яj/T, то соответствующие дисперсии и ковариации сводятся к (7). Математические ожидания также принимают более простой вид, поскольку sin (х ± я/) = (—1)' sin х и cos (х ± я/) = = (—1)' cos х.

Следствие 4.4.1.

/91 \

8 л / 2я/ \ __ ( g „ ____ / 2я/ \

4 .4 . ПЕРИОДЫ ТРЕНДА НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ

;os J-g- ^	+ 1) H— ^— 6
= -f- sin •	•+
5‘пт	( я + - \| 1 )

cos

-J-------

==a,

(22)

= -jr sin •

sin

Отметим далее,

•*-(74- l ) - -	y - -	Л	'
4 F ¥	T
				/ =	1,
	i —	2я/'		/ =	1,
	Л -	—		/ =	1,

n[i-M T + i) + - ^

- ]

sin y2 ( ^ )

D - - — e 2я/

■)

/ = 1,

sin — AT

(23) -~-U(Q)	----- ±-----cos[^-X(7’ +
	sin — X	*•
	2
и -i- %A(0) = %	0 . Кроме того,
	sin —	XT

161

l(7, - l ) / 2 |,

| ( Г - 1)/2 ).

1(7’—	0	/2 ],
t ( ^ -	0	/2 ].

1) — в],

Я^=0 ,

(24)я) =

i	cos [ i f ^ ^	^
sin — (X + n)	i

+ 4 - - e l ,

162		ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ		Г л . 4.
для четного 7	и	(л) = 8 аГ/2 =	а для А = л. Мы	будем
предполагать,	что 0 <. А < я. Дело		в том, что если л <	А <; 2л,
то вместо А можно рассмотреть А* =			2л — А, поскольку

(25) a cos U + Рsin Kt = a cos [2я/ — (2я — A) t] -f р sin [2я/ —

— (2л — А) Ц =

=а cos [— А*/] -f Р sin [•— А*^] =

=а cos X*t + (— Р) sin A*t.

Выборочная функция интенсивности R2 (v) определяется ра венством

(26)R2(v) == A2(v) + В2(v) =

— ~fT

2 J ysUt (cos vs cos vt 4 - sin vs sin vt)=*

S,t—\

ysyt cosv(s — 0 =

= - fr

s,t=\

„ Jvt

о < V <

я.

yfi

Если

v =

2лj/T,

то

R 2 (2лЦТ) = R) =

a) +

/ = 1, ...

[(7

— 1)/2 ]. Теоретической

величиной, соответствующей R2 (v),

является

(27) p2 (v) = a 2 (v) +

pa (v) =

'sin2 j

(A +

v) Г

sin2 - i (A — v) T

sin2 i

(A +

H-------i--------------

sin2 — (A — v)

sin — (A +

v) Г

sin - i -

(A — v) T

+ 2 ----- ----------------------------------- cos [A ( 7 +

1) =

20]

. ,

sin —

(A +

sin —

(A — v)

0 <

v <

л,

sin2 AT

sin KT

cos [A (7 +

1) — 2 0 ]},

P! {‘ + P

T sin A

Г2 sin2 % "T *

0 <

A = v < л .

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 7616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202310.29 Mб4Статистические методы анализа и обработки наблюдений..pdf
#
12.11.202318.02 Mб6Статистические методы в строительной механике..pdf
#
12.11.20232.4 Mб1Статистические методы интеллектуального анализа данных..pdf
#
12.11.2023410.65 Кб3Статистические методы исследования качества объектов производства..pdf
#
12.11.20231.76 Mб0Статистические методы принятия решений с элементами конфлюентного анализа..pdf
#
19.11.202347.02 Mб2Статистический анализ временных рядов..pdf
#
12.11.202314.8 Mб1Статистический анализ геофизических полей..pdf
#
12.11.202314.63 Mб6Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1.pdf
#
12.11.202319.38 Mб0Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2.pdf
#
12.11.20236.88 Mб2Статистическое управление качеством технологических процессов..pdf
#
12.11.20239.13 Mб3Статическая выносливость элементов авиационных конструкций..pdf