книги / Статистический анализ временных рядов

4 .3 . ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ 143

(Эта величина при п -»-оо стремится к (1 — е~с)ч.) При этом с межно выбрать таким образом, чтобы вероятность (73) была равна заранее заданной величине.

Т еорема 4.3.5. Если а 2 неизвестно, то равномерно наиболее мощная симметричная решающая процедура для выбора положи­ тельной амплитуды при заданной вероятности правильного реше­ ния о том, что все амплитуды равны нулю, и при условии незави­ симости от мешающих параметров состоит в принятии решения р (kj) > 0 при TR2 (kj)! (4s2) > с, где с определяется так, чтобы вероятность (73) была равна заданной величине.

Если а 2 неизвестно, приведенная процедура возможна только в случае существования такой оценки s2 для а2, распределение которой не зависит от тех а (кг) ,..., (kq), которые включены в гипотезы. В противном случае невозможно выполнить требование независимости от мешающих параметров. Такая ситуация возни­ кает, когда оказывается нежелательным предполагать равенство нулю даже хотя бы одной пары коэффициентов a (kj), р (kj), т. е. когда желательно допускать тригонометрические члены любой частоты (вида j/T, j = 0, 1.......[772]). Тем не менее иногда можно предполагать, что в действительности отличны от нуля только некоторые из этих коэффициентов, в количестве, не большем неко­ торого малого числа. Исследуем этот простейший случай подробно.

Предположим, что отличной от нуля может быть только одна из q теоретических амплитуд. Задача состоит в том, чтобы решить, какая из гипотез Н0, Н±.......Hqверна. Потребуем, чтобы процедуры были симметричными и чтобы вероятность Pr {R0jН0} определя­

нулевым теоретическим амплитудам. При этом г — q может быть равным и нулю. Таким образом, в тренде остается еще Т — 2г коэффициентов, которые, возможно, и отличны от нуля, но нас не

/=i

другим теоретическим коэффициентам, возможно отличным от нуля, образуют достаточное множество статистик для соответствующих

(74)П А (г/) =

когда верна гипотеза Я/. Мы используем здесь те же методы, что иГ при доказательстве теоремы 4.3.3. Пересечение областей R0 и

2 */ = с определяется неравенствами гг< g (с), i = 1, ..., q, где

/—1

g (с) выбирается таким образом, чтобы условная вероятность сов­

падала с заданной Рг{/?0 |Я 0}. Пересечение областей #*. h =

Г

f2-l *

Теорема 4.3.6. Если о2 неизвестно, то равномерно наиболее мощная симметричная инвариантная решающая процедура выбора среди H0i Нъ ..., HQnpu заданной вероятности Pr {R0 I #о} состоит в принятии Н0, если

В противном случае принимается гипотеза Я/ с индексом j, удовлетворяющим соотношению R2( kt) > R2 (kt), i Ф j,i = 1, q. При этом константа g выбирается таким образом, чтобы вероят­ ность события (78) при гипотезе Н0 равнялась заданной Pr{R0\H0).

[См., например, Феллер (1968, гл. IV, § 1).] Далее, в силу одинако­ вой распределенности величин х\ имеем

(81)Рг{Д Л/} =

146 ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ Г л . 4.

величин xlt ..., хг, поскольку условие 2 */ = 1 выполняется авто- /=i

матически в силу определения xt. Координаты Хи •••. хг в (г — 1)-

Г

мерном пространстве 2 = 1 являются барицентрическими. Ве­

роятность попадания в произвольное подмножество этого простран­ ства пропорциональна его (г — 1)-мерному объему. Имеем

(84) Рг(Л} = Рг{х1 > йг} =

= Рг [ § < * ! < 1, О < Х / < 1 — g, } ф \ 2 * / = lj =

(85)Рг {Л} = — — ;-------------------------------'¥ -------------

Правая часть (85) является отношением объемов двух подобных фигур (г — 1)-мерных подпространств, линейные размеры кото-

(1929). Указанная процедура называется критерием Фишера. Геометрическое представление для q — г — 3 предлагается в упр. 27. Уиттл (1951) использовал метод характеристических функций; Ирвин (1955) обсуждал различные методы.

Полученный результат относительно вероятности (79) можно обобщить. В этом направлении следующим шагом является вычис­

Стивенс (1939) вычислил эту вероятность при решении другой задачи и привел таблицы для р — 2. Фишер (1940) установил связь между задачей Стивенса и задачей,, которую мы рассматриваем. Кроме того, он привел ряд таблиц.

Однако полученный результат имеет ограниченное применение. Например, для р = 2 указанное распределение дает вероятность того, что два отношения х/ будут больше заданного числа g при гипотезе Н0. Это соответствует процедуре, в которой гипотеза Н0 принимается, если только не найдется по крайней мере двух боль­ ших, чем g, значений х,-. Фишер (1940) предположил, что такая процедура могла бы быть приемлемой тогда, когда предполага­ ется, что реальный эффект проявляется скорее всего в двух ампли­ тудах, а не в одной. В наших обозначениях предлагаемую про­ цедуру можно перефразировать следующим образом. Гипотеза Я0 принимается за исключением случая, когда выполняются по край­ ней мере два неравенства х,- >• g. В последнем случае принимается гипотеза Нц с индексами i и /, такими, что R2 (&) и R2 (kj) — наи­

предположим, что а 2 известно. Принимая во внимание симметрию задачи, будем брать априорные вероятности симметричными и

В силу определения они не пересекаются. Каждая точка на границе (попадание на границу имеет нулевую вероятность) может быть отнесена к любой области. Неравенства (104) эквивалентны нера­ венствам z,-> zh, h Ф /, h = 1, ..., q. Неравенство (105) при i — j равносильно неравенству

а ограничивающая его функция (106) имеет положительную произ­ водную dzh!dzj. Если же т? < тп, отношение / 0 (xi У zj)!I0(тц Yzj) монотонно убывает и у ограничивающей его функции (106) произ­

Mtt <р\