книги / Статистический анализ временных рядов

4.5. ОБСУЖДЕНИЕ 183

Из соотношения (67) § 4.3 вытекает, что в случае, когда величины

Интересно отметить, что максимальное значение R2U(v) по всем действительным значениям v (0 < v ^ я) стохастически подобно максимальному значению /?* (v), взятому по множеству v = 2л,}/Т, / = 1, .... [ ( Г - 1)/2 ].

4.5. ОБСУЖДЕНИЕ

1 Функции тренда, имеющие периодический характер, сущест­ венно используются во многих областях: экономике, метеорологии, связи, астрономии и др. Часто эти периодические функции явля­ ются тригонометрическими или могут быть выражены в виде ли­ нейной комбинации последних. В настоящей главе были рассмотре­ ны некоторые проблемы статистических выводов относительно таких функций тренда.

Наблюдаемый временной ряд описывается и анализируется с помощью линейных комбинаций, коэффициентами в которых служат тригонометрические функции времени, т. е. выборочные тригонометрические коэффициенты A (v) и В (v). Как мы увидим

вгл. 8 , эти коэффициенты используются в спектральном анализе ковариационной структуры стационарных процессов.

Основным практическим недостатком процедур, рассмотренных

внастоящей главе, является то, что они предполагают некоррелированость случайных членов и постоянство их дисперсий. В боль­ шинстве приложений, однако, от временного параметра зависит структура как систематической, так и случайной составляющей. Другим недостатком является то, что методы, которые можно математически строго обосновать, являются ограниченными и не применимы ко всему кругу практических задач.

Интересным, по крайней мере с исторической точки зрения, является ряд Бевериджа цен на пшеницу в Западной и Централь­ ной Европе с 1500 по 1869 г. Индекс составлен на основе цен, имев­ шихся приблизительно в 50 пунктах различных стран. Беверидж (1921) приводит этот индекс (подобранный так, что среднее за период 1700—1745 гг. равно 100), но использует для анализа ряд процент­

ных отношений индексов данного года к среднему за период в 31 год, для которого данный год является серединой. Этот послед­

N — целое, не превосходящее 356, a k/N выбирается так, чтобы получить большое количество частот. Последовательность данных начиналась с 1545 г. Соответствующие результаты приведены в табл. А. 1.3 приложения А.1. Беверидж обнаружил 19 периодов, заслуживающих дальнейшего анализа. Сам по себе этот анализ достаточно интересен. Однако исходная модель кажется здесь неуместной, потому что трудно оправдать лежащую в ее основе идею о том, что циклический тренд состоит из многих тригономет­ рических составляющих, которые остаются неизменными в течение более чем 300 лет. Как мы увидим позднее, более подходящей пред­ ставляется модель стационарного процесса. При этом основой соответствующей статистической обработки является спектрограм­ ма.

ЛИТЕРАТУРА

§4.2. Уиттекер и Ватсон (1943).

§4.3. Т. Андерсон (1958), Бирнбаум (1959), (1961), Бьюис-Б аллот (1847), Де­ партамент сельского хозяйства США (1939), Дэвис (1941), Ирвин (1955), Карлин

и Труакс (1960), Кендалл (1946b), Кудо (I960), Кули, Льюис и Уэлш (1967). Кули и Тьюки (1965), Леман (1957), Рунге (1903), Шустер (1898), Шеффе (1970). Стивенс

(1939) , Уиттл (1951), (1952), Дж. Т. Уолкер (1914), Феллер (1968), Фишер (1929),

Постройте графики соответствующих четырех функций.

5.(Разд.4.2.2) Выпишите матрицу М для Т == 6 в числах. Постройте графики соответствующих шести функций.

6.(Разд. 4.2.2) Пусть матрица N~ {et2nnst/Tl V Т), а М определяется соотношения­

ми (14) и (21). Найдите матрицу Р, такую, что N = МР. Покажите, что NN' = I.

7.(Разд. 4.2.3) Приведите все 12 функций, необходимых для представления периодической последовательности с периодом 12.

8.(Разд. 4.2.4) Докажите соотношения (36) — (39) методом, используемым

в(40).

9.(Разд. 4.2.4) Докажите соотношения (35) — (39) по аналогии с доказатель­ ством (8).

10.(Разд. 4.3.3) Проверьте, что распределение величины (27) действительно имеет вид (28).

И. (Разд. 4.3.3) Покажите, что преобразование (29) индуцирует преобразо­ вание оценок, описанное в предыдущем предложении.

13. (Разд. 4.3.3) Покажите, что критерий F > F2T_ p (8) является равномер­

но наиболее мощным для проверки гипотезы Н: р (kj) = 0 среди критериев, мощ­ ность которых зависит только от ра (fy)/a2.

14. (Разд. 4.3.3) При уровне значимости е укажите /-критерии для проверки нулевой гипотезы a 0 = aj, где aj — заданное число, против альтернатив (а) а 0 >

> aj, (Ъ) а 0 < aQи (с) а 0 Ф aQ.

18.(Разд. 4.3.3) Докажите, что статистики (30) и (36) совпадают.

19.(Разд. 4.3.3) Докажите, что величины (31) и (37) совпадают.

20.(Разд. 4.3.3) Покажите, что граничные точки интервалов (42) и (43) с за­ меной Flt т__р (е) на 2F2> т^ р (е) являются тангенсами углов наклонов прямых,

проходящих через начало координат и касающихся круга (38).

двух строчках соотношения (49), используя формулу удвоения для гамма-функции

/ я г (2Р + 1) = 2 » г|р + - i j Г (Р + 1).

25. (Разд. 4.3.4) Докажите, что нецентральное ЭС2-распределение с 2 степенями свободы (плотность которого приведена в (49)) является ограниченно полным, т. е. если

со

\ В У) k (г | т2) dz = 0

6

тождественно относительно т2 > 0, то g (г) = 0 почти всюду (г > 0) для каждой ограниченной функции g (г). (Указание. Записанное выше тождество можно пере­ писать в виде

вкоторых g* > 1 и g >

29.(Разд. 4.4.1) Докажите лемму 4.4.1.

30.(Разд. 4.4.1) Проверьте соотношение (23),

Глава 5

ЛИНЕЙНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ

МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ

ПАРАМЕТРОВ

5.1. ВВЕДЕНИЕ

Обратимся теперь к моделям образования временных рядов, в которых характеристические и наиболее существенные свойства временной последовательности не сводятся к детерминированной функции среднего значения, а заключены в самой вероятностной структуре. В этом случае, например, уже не будет регулярных периодических циклов, а будут более или менее нерегулярные случайные изменения с теми или иными статистическими свойст­ вами вариабельности. Такие модели обычно называют случайными процессами. Процессы, вероятностная структура которых не изме­ няется со временем, называются стационарными. (Более полно стационарные случайные процессы рассматриваются в гл. 7). В этой книге мы в основном изучаем процессы, которые или стацио­ нарны (близки к стационарным), или же таковы, что по крайней мере их случайная составляющая может приближенно считаться стационарной (в отличие от детерминированным образом меняю­ щейся функции среднего значения).

Одной из наиболее простых и, по-видимому, наиболее часто используемой моделью такого рода является процесс авторегрессии,

или стохастическое разностное уравнение. О последовательности случайных величин уъ у2, ... говорят, что она удовлетворяет сто­ хастическому разностному уравнению, если существует такая линейная комбинация

(1) yt + P i^ - i + • • • + РpVt-p ~ щ, t — Р + 1, • • •.

что последовательность ир+1, ир+2, ... является последовательно­ стью независимых и одинаково распределенных случайных вели­ чин. (При этом мы часто будем предполагать 8 ut — 0.) Это опре­ деление удобно распространить на бесконечные в обе стороны

можно записать иначе как полином степени р от Д, так что левая часть (1) будет линейной комбинацией величин yt- P, &yt-P, •••

ДPyt-P. Поэтому при рр Ф 0 соотношение (1) называется сто­ хастическим разностным уравнением порядка р. О соответствующем процессе говорят как о процессе авторегрессии порядка р. Разност­ ный оператор Д обсуждался ранее в § 3.4.

Стохастическое разностное уравнение (1) можно представлять и иначе. Если случайная величина ut не зависит от yt~i, yt-2, ....

то условное распределение случайной величины yt при заданных

...,уг. Если задать распределение случайной величины ut (одинаковое для всех /) и совместное распределение любых р последовательных величин yt, то последовательным применением указанной процеду­ ры можно получить совместное распределение для ys, s < t, и любого числа последующих yt. В следующем параграфе мы полу­ чим условия, при которых процесс, определяемый таким спосо­ бом, будет стационарным (и при которых щ не будет зависеть от

Уг-1, yt-2, ...)•

Приведенная модель полезна тем, что с ее помощью можно получить весьма обширный класс процессов. Влияние тренда легко

учесть, добавляя в левую часть соотношения (1) слагаемое

i

в котором zit— известные величины (функции времени). Мы изу­ чим некоторые свойства подобных моделей в § 5.2.

Многие задачи статистического вывода связаны с конечным числом параметров р1( ..., рр и дисперсией случайной величины щ. Они могут состоять, например, в оценке указанных параметров и проверке гипотез относительно значений последних. При боль­ шой длине наблюдаемого ряда эти задачи могут быть рассмотрены в асимптотическом плане в соответствии с теорией наименьших квадратов, обзор которой был сделан в гл. 2. Теория сериальной корреляции для малых выборок рассматривается в гл. 6 .

Другой простой моделью стационарного процесса является

можно определить совместное распределение последующих слу­ чайных величин yt. Покажем теперь, что каждую случайную вели­ чину yt можно выразить в виде линейной комбинации р предшест­ вующих ей случайных величин уг и иг. При выполнении формулируе­ мых ниже условий каждую случайную величину yt можно представить в виде бесконечной линейной комбинации случайной величины щ и ей предшествующих случайных величин иг.

Наиболее простым случаем является уравнение первого порядка

Действуя далее подобным же образом, можно прийти к соотношению

(4) yt = и, + ры, _ 1 + ... + p*ut- s -f ps+ '^ _ (s+i), так что

(6)%[yt— (Ut + put-i + . . . + ps«/_s)l2 = p2(s+i)&yt-(s+l)

не зависит от t и с ростом s стремится к нулю. В связи с этим yt здесь записывают в виде

в среднеквадратичном). (Сходимость в среднем обсуждается в разд. 7.6.1.)

Вернемся теперь к общему случаю. Запишем соотношение (1)