книги / Статистический анализ временных рядов
..pdf4 .4 . |
ПЕРИОДЫ ТРЕНДА НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ |
163 |
При v = 2щ1Т (27) обращается в
(28) Р2( ^ - )
+
p2sina — XT
] _________ , О |
cos [X (Г + 1) — 26] |
ь ф -Щ -, i = i , . . . . [ ( т - т ,
• *• > 1(Т-\)/2].
Заметим следующее. Пусть тригонометрический тренд имеет период, являющийся делителем длины ряда, т. е. X = 2я}1Т. Тогда математические ожидания выборочных тригонометрических коэффициентов Л (2nk/T), В (2nk/T), k = 1, ..., [(Т — 1)/2], k Ф /, имеющих периоды, отличные от периода тренда, но являющиеся делителями длины ряда, равны нулю. Сумма квадратов этих мате матических ожиданий, т. е. квадрат теоретической амплитуды р|, также равен нулю в этом случае. Если k — j, то квадрат теоре
тической амплитуды равен одновременно квадрату амплитуды
тренда р. |
Кроме того, 2а$ = 0, |
и если |
Т четное, то и 2а£/2 |
= |
0. |
||||||
(Если |
X = |
0, |
то р| = |
0, |
k = |
1, ..., |
|
[(Г — 1)/2], |
2а\ — 2а2 |
и, |
|
если |
Т четное,' 2а| /2 = |
0. |
Если |
X = |
я |
при четном |
Т, то p2k = |
0, |
|||
k — 1, ..., 772—1, 2aj* = |
0 и 2а£/2 = 2а2.) Вообще |
отличными |
от |
||||||||
нуля |
будут математические ожидания тех выборочных тригономет |
||||||||||
рических |
коэффициентов, |
периоды |
которых не являются |
дели |
|||||||
телями длины |
ряда (v Ф 2 я kIT, |
k = |
1, ..., 1{Т — 1)/2]). При |
этом |
|||||||
будут отличны от нуля и соответствующие p2(v). Однако если период тренда не является делителем длины ряда, X Ф 2щ!Т, j = 1, ...
..., [(Т— 1)/2], то будут отличны от нуля математические ожидания и всех тех выборочных тригонометрических коэффициентов,
периоды которых являются ее делителями, |
v = |
2nk/T, k = 1, ... |
||
..., [(Т — 1)/2 ], а |
также соответствующие |
теоретические |
ампли |
|
туды. Резюмируем: |
совокупность теоретических |
амплитуд |
pf, ... |
|
..., Р[(Г_ 1)/,2] обладает следующим специфическим свойством. Случай,
когда ровно одна амплитуда равна р2, а остальные амплитуды равны 0 , может наблюдаться,'только если период тренда равен одному из значений: Т, 772, 77[(Г — 1)/2],
164 ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ Гл. 4.
В предположении, что величины yt имеют совместное нормаль ное распределение, квадратичная форма (0 < v < я)
(29) Q(v) =» |
[Л (v) В (v)l |
х |
|
|
|
|
|
1 + т а т |
С08^ 7’ + 1) |
T |
^ s i n v ^ + |
i ) |
|||
х |
|
|
|
|
|
|
|
~ТШТ sin v (74 + |
1) |
l - l ^ c o |
s v ^ |
+ |
l ) |
||
|
|
sin2 v T |
\ ^ |
2 (v ) + |
B 2 (v ) |
+ |
|
|
\ |
T 2 sin2 v / |
|
|
|
|
|
|
sin v T |
[cos v (T + |
1) [B2(v) — A2(v)] —' |
||||
|
T s in v |
|
|
|
|
|
|
— 2sinv(7’ + l)^(v)B (v)]| |
|
|
|
||||
имеет нецентральное |
х2‘РаспРеДеление |
c 2 степенями свободы и |
|||||
параметром нецентральности (30) ~2~а~ ta (v) P(v)] X
1 + F ilT v cos v
sinvT . |
/нн |
i |
i \ |
Tz-.— sinv(7 + |
1) |
||
Г sin v |
v |
|
' |
. I |
Sin* VI |
\ |
|
27W ( ' - |
№ |
; ) |
|
Ж sm v <r +
1 |
sin v T |
cos v(7 + 1) |
|
T sin v |
|
1 |
v) Г |
|
sin2 — |
(Я + |
|
|
|
+ |
sin2 — (X + |
v) |
|
x [ l - | ^ - c ° s | M 7 4 - D - 2 0 l ] +
+ 2 |
sin (X.+ v) ^ sin |
£ |
(Я — v)T |
|
||
Z |
--------[cos [X (T + 1) — 20] — |
|||||
|
|
|||||
|
sin - j - (A, + v) sin |
- i - (X. — v) |
L |
|
||
|
2 |
* |
|
|
|
|
sin v T |
|
|
|
Уф К |
||
T sin v |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
Г р 2 |
|
|
|
|
0 < X =» v < л. |
|
2а2 {1 + - 7 1 И Г с“ |
1х <т + 1 > |
- 2е1|' |
||||
|
||||||
4.4 |
|
|
ПЕРИОДЫ ТРЕНДА НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ |
|
165 |
||||||||
Если v = |
2лjIT, то (29) будет равно ТЩИро*), а (30) обратится в |
||||||||||||
7р?/(2а2), |
/ = |
1, |
[(Г — 1)/2]. |
Распределенные |
по |
(централь |
|||||||
ному |
или |
нецентральному) |
закону |
X2 |
величины, |
кратные |
|||||||
R 2 [2лIT), ..., |
R2 (2л 1(Т — 1)/2UT) независимы. Однако |
выбороч |
|||||||||||
ные |
амплитуды |
для |
v Ф 2л]/Т, |
/ = |
1, ..., [(Г — 1)/2], будут, |
||||||||
вообще говоря, |
взаимно зависимыми. |
|
|
|
|
|
|||||||
4.4.2. |
Решающие |
процедуры, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
основанные на выборочных амплитудах, |
|
|
|
|||||||||
|
для периодов, являющихся делителями длины ряда |
|
|||||||||||
Рассмотрим теперь использование выборочных интенсивностей |
|||||||||||||
при |
v = |
2л/Т, |
4л/Т, ..., 2я ЦТ — 1)/2]/7\ |
Если |
величины |
нор |
|||||||
мально |
распределены, |
то |
/?2, .... Rf(T_ l)/2] независимы |
и |
|||||||||
TRV(2a2) имеет Х2-распределение с параметром нецентральное™ 7’р2/(2а2), приведенное в (28).
Мы уже упоминали о том, что если X = 2nk!T, |
где |
k — целое |
число, заключенное между 1 и [(Г — 1)/2], то р| |
= |
р8 и р2 = 0 |
при j Ф k. Если же это не так (т. е. Х77(2я) нецелое), то р? > 0
для всех /. Иными словами, если период 2лIX функции f (t) не является периодом ни одной из ортогональных функций, табули рованных столбцами в матрице М, то все интенсивности, соответ ствующие периодам указанных функций, положительны. При этом можно ожидать, что интенсивность для 2я/, близкого к XT, велика. Покажем, что если 2nk/T < X < 2я (k + 1)/Т, то тогда наи большей интенсивностью является либо р£, либо р|+1.
Л емма 4.4.2. Если |/С | < 1, то функция
(31)/*(*) = — р!-------- + ------- р!-------- +
sin2 — (X + х) |
sin2 — (X — х) |
|
|
sin |
(X + х) sin - i - (X — х) |
монотонно возрастает при 0 |
< * < Х и монотонно убывает при |
|
X < х < я. |
|
|
Доказательство. Запишем функцию h (х) в виде
(32)/ф ) = [ ------j-i------------------- р -------- Г +
[ sin -у (X+ *) sin — (X— х) J
166 |
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ |
Гл. 4. |
2 (К + 1)__________
+
sin — (Я + х) sin — (Я — х)
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
-,2 |
2(К+1) |
|
sin — |
(X — х) — sin — |
(л + |
х) |
|||||
|
sin |
(А, + |
х) sin |
|
|
|
sin — (Я + х) sin — (А, — х) |
||
|
|
(А, — х) |
|
||||||
|
t |
1 |
, |
. 1 |
|
-2 |
|
|
|
|
— 4 cos — |
Я sin —- х |
|
, |
4<JC+ 1) |
= |
|||
|
_______ 2 |
|
2 |
|
|
||||
А |
C O S |
X — cos Я |
|
|
' |
COS X — cos Я |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 cos2 — ЯГ |
|
|
sinT |
x |
"T" |
4 (* + l) |
||
|
|
I |
|
|
|
|
|
cos x — cos Я |
|
|
|
sin4 -4 - Я — sin4 -4 - x |
|
||||||
|
|
L |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
Оба слагаемых в правой части возрастают с ростом х в интервале (О, Я). Можно записать также, что
(33) h (x) = | ------г-5-------- + |
1 |
|
|
||
sin - i - (Я + х) |
sin |
(Я — х) |
2(1 - К ) |
|
|
sin -4 - (Я + |
х) sin - L |
(Я — х) |
4&{п± . кс05± . х -* |
4(1 _ ^ |
cos х — cos А, |
cos х — cos А, |
2
4 sin2 - у Я |
cos |
|
|
|
|
cos* |
— cos2 |
j |
|
2 |
+ _11L^0_.
'cos Я — cos x
Здесь оба слагаемых в правой части убывают с ростом х в интер вале (Я, л).в
Поскольку при К = cos [Я (Т + 1) — 20]
(34) |
Р/ = ~гг sin2 ~Y |
(~Т~ ) > |
то, согласно лемме, р2 возрастает при / = 1, ..., k и убывает при j — k + 1,.... ((Г — 1)/2], если 2nk < ЯГ < 2л (Ь 4- 1). Отсю да вытекает
4 .4 . ПЕРИОДЫ ТРЕНДА НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ 167
Т е о р е м а |
4.4.2. |
Если |
2 n k / T < |
X |
< |
2 л ( k |
+ |
1)/Г и р / — (поло |
жительный) квадратный корень из величины (28), то |
||||||||
/gg\ |
Р/ |
Р/+Ь |
/ = 1 > |
• • • |
» ^ |
^ > |
|
|
|
Р / < Р/— I * |
i = k + 2 .................................. |
|
( ( Г |
- |
1 ) / 2 ] . |
||
В соответствии с полученным результатом распределение с на ибольшим параметром нецентральности имеет либо R%, либо Щ+1.
Внекотором смысле худшим при данном k будет такое X, 2nk/T <
<А,< 2я (k + 1)1Т, при котором большая из величин pfc и p*,+i ста
новится минимальной. Однако это значение X и соответствующее
ему наибольшее из чисел pfc и рдг-ы |
являются |
весьма |
сложными |
||||||||||
функциями параметров k, Т и 0. |
|
pft и р*-ц. |
Если |
2nk/T < |
|||||||||
Рассмотрим |
теперь аппроксимации |
||||||||||||
< Х < 2п (k + |
1)/7\ то аргументы |
sin (Х/2 — kn/T) |
и sin 1Я./2 — |
||||||||||
— (k + 1) я IT] по абсолютной величине меньше |
п1Т, Поэтому при |
||||||||||||
достаточно больших Т первый член разложения |
|
|
|
|
|||||||||
(36) |
|
|
|
sinx = x — |
+ |
|
— |
••• |
|
|
|
|
|
дает достаточно |
хорошую аппроксимацию |
sin х |
для |
х = Х/2 — |
|||||||||
— kn/T |
и |
х = |
Х/2 — (k + |
1)я/7\ |
Положим |
X — 2я (k + е)/Г |
|||||||
(О < е < |
1). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Pl = - fr sin2*яе |
2k + |
е |
+ |
Я 8 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
sin* я |
|
|
sin* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos [2я (Те + |
в + |
k)/T — 28] |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2k -|- 8 |
|
8 |
|||
(37) |
|
|
|
|
|
|
sin я — |
-------sin я |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
Т |
||
рl+i |
-jz |
sin2 яе | |
1 |
|
е + |
|
|
|
|
+ |
|||
2k + |
1 + |
|
|
е — 1 |
|||||||||
|
|
|
|
sin4 я - |
|
|
|
sin4 Я ■ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
. |
2 cos [2я (Те + |
е + |
k)/T — 20]) |
||||
|
|
|
|
|
|
"Г . |
2 А + 1 + е . |
|
е - 1 ( ' |
||||
|
|
|
|
|
|
|
sm я -------- —--------sin я |
----------> |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
Т |
Поскольку |
0 |
< |
sin пе/Т <; sin [я (2k + |
г)/Т] |
|
и |
0 |
< |
sin 1ях |
||||
X (1 — е)/Т] < |
sin [я (2k + 1 |
+ e)IT] (k + 1 < |
Т/2), |
|
то |
вторые |
|||||||
члены в р| и р! +1 соответственно |
больше первых и больше поло |
||||||||||||
вин абсолютных значений третьих. То, в какой степени домини-
168 ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ Гл. 4.
рует второй член, зависит в первом случае от отношения
2k + 8 |
2k + 8 |
|
1 / » + e \* |
|
|||
sin л - |
|
— б |
Т - Н |
+ |
|||
(38) |
|
||||||
8 |
1 |
/ |
8 |
\3 |
4- |
|
|
sin я - |
я —------- л; — |
|
|
||||
|
Т |
6 |
\ |
Т ) |
|
|
|
|
|
|
|
(2k + |
е)3 |
|
|
|
2k -j- 8 |
|
|
6 Г 2 |
|
|
|
|
|
1 — |
Я а8а |
|
|
|
|
|
|
6Г* |
"** |
|
|||
равного примерно |
2kl& + 1. |
За |
исключением случая, когда k |
||||
очень мало (маленькая частота и большой период), это отношение велико и второе слагаемое в выражении для р| доминирует. Если
k близко к 1(Т — 1)/2], то первое слагаемое можно исследовать более точно. Аргумент я (2k + е)/Т заменяется на я — я х
X(2k + е)/Г и (38) аппроксимируется посредством (Г — 2k — е)/е. Анализ вторых слагаемых в выражениях для р\ и р£+| пока
зывает, что большее из них достигает минимума при е = 1/2 . Соответствующей аппроксимацией для р\ и р| +1 является
Если Т достаточно велико, то (39) близко к р2 (2/я) 2 = р2 (0.6366)2 =
= |
р2 X 0.4053. Иначе говоря, каждое из р2 и р| +1 составляет около |
||
41 % интенсивности гармонической составляющей, |
а |
сумма р| + |
|
+ |
P*-f-i составляет около 81%. Как будет видно |
из |
следующего |
абзаца, значения остальных р2 необходимо должны быть малыми.
(Если е меньше 1/2, то второе слагаемое в р2 |
приближенно равно |
||||||
р2 (1 |
— я 2е2/6 )2.) |
|
/ (t) |
|
|
|
|
Полная сумма квадратов значений %yt = |
равна |
||||||
|
Г |
Г |
г |
|
|
т |
|
(40) |
2 / 2 (0 = |
ос2 2 cos2 М + |
2ар 2 cos Kt sin kt + p2 2 |
sin2 Xt =s |
|||
|
/=i |
<=i |
/=i |
|
r |
tt |
i |
|
= |
f P2 {4 - + * |
f ^ r cosI?t<r + |
1) - |
2 0 |
]}, |
0 < Я < я , |
|
|
I T a \ |
|
|
|
|
%«. 0 , я. |
4.4. |
|
ПЕРИОДЫ ТРЕНДА НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ |
169 |
||||
Ее можно нормировать делением на 772. Если |
А — 2nklT или |
||||||
если X = |
2я (к + |
1/2)/Г, то второе слагаемое в правой части (40) |
|||||
равно 0 |
и |
|
|
|
|
|
|
(41) |
4 - 2 / 2(0 = р2. |
x = l f ~ , |
Я = ^ + |
Ж |
, |
||
Если X = 2п (к + г)/Т, |
то последняя сумма равна |
|
|||||
(42) |
- | г 2 / 2(0 = |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
t = \ |
|
|
|
|
|
|
|
- 4 |
' + |
|
cos{ * . (. + |
Щ |
- *>]}. |
|
|
I |
|
Т sin 2я — -Т— |
|
|
|
Второй член в (42) будет мал, в частности если k велико. Заметим, что в обоих случаях
Т[<г-1)/2]
(43) |
\ 2 / 2 (/) = |
2 |
р2'+ 2а\ + 2 а|/2, |
причем, если Г нечетное, последнее слагаемое в правой части долж но отсутствовать. Коэффициенты а 0 и аТ/2 задаются соотношениями (23) и (24). Они обычно бывают малы (см. упр. 34 и 35) и вносят малый вклад в сумму квадратов (43). Отсюда следует, что нормиро ванная сумма квадратов математических ожиданий наблюдаемых значений близка к сумме квадратов [(Г — 1)/2] интенсивностей. Часть последней суммы, не входящая в наибольшую или в следую щую за ней по величине амплитуду р2, относится к остальным
р2. Предыдущие рассуждения показывают, что наибольшая из этих р2 составляет около 41% указанной суммы квадратов.
Отметим, что сумма квадратов (40), деленная на а 2, является параметром нецентральное™ (30) при v = X (Я Ф 0 , я). Статистика Q(А) является квадратичной формой относительно переменных А (X) и В (А). Ее можно рассматривать как сумму квадратов двух
нормированных |
ортогональных линейных комбинаций значений |
Уи •••» Ут- Сумма |
квадратов математических ожиданий этих линей |
ных комбинаций равна сумме квадратов математических ожиданий значений всех наблюдений. Это показывает, что параметр нецен тральное™ распределения статистики Q (v) принимает максималь
ное значение при |
v = А. |
статистики Rf, |
..., R2 (д = |
Процедура, |
использующая |
||
= 1(Т — 1)/21), |
состоит в следующем. Гипотеза |
Н0: р2 = 0 |
|
|
я |
|
|
принимается, если R2. < |
/ = *> •••> <7. где g выбирается так, |
170 ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ Гл. 4.
чтобы вероятность |
(92) из § 4.3 была равна определенному уровню |
||||||||||||||
значимости е. В противном случае принимается |
гипотеза //,: ра > |
||||||||||||||
> 0 и |
р2 > |
р2, |
i Ф /, i = |
1, .... q, |
где R2 > gj^R2 и |
R2> |
R2t> |
||||||||
i Ф j, |
i = |
1, |
q. |
Гипотеза Н/ |
означает |
|
i ~ \ |
4.4.2), |
что |
||||||
(теорема |
|||||||||||||||
X лежит в пределах |
между 2 л/Г и 2nj/T и находится в непосредст |
||||||||||||||
венной |
близости |
к |
интервалу |
(2 я |
(/ — 1/2 )/Г, |
2 л (/ + 1/2)/7). |
|||||||||
Используя величины Zj — 77??/(2а2), области принятия |
|
указанных |
|||||||||||||
гипотез можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(44) |
|
R0: Zj < |
|
2 zt, |
1=1, |
|
|
|
|
|
|
||||
(45) Rf. z ,> - |
g |
8 |
2 |
2,-. |
z ,> z lt |
1Ф1, |
i = |
1, . . . . |
q, |
|
|||||
|
|
1 |
|
1ф,- |
|
|
|
|
|
|
• • • |
i |
<7« |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = |
l, |
|
|||
Покажем теперь, что если верна гипотеза Я/, то вероятность прий ти к заключению о ее истинности больше вероятности решения о том, что верна какая-либо другая гипотеза Н( и что эта вероят ность достигает максимума при А. = 2лjfT (в последнем случае р3{ — 0 для i Ф /). Пусть т2 = 7р2/(2<т2). Предположим, что наблю
дения yt нормально распределены.
Л емма |
4.4.3. |
Интеграл |
|
СО |
00 |
(46) |
j |
k{z\x*)dz = \ e“ x‘/2k (г) / 0(тV'z)dz |
|
е |
е |
является возрастающей функцией |
от тг (0 |
т2 < |
оо). |
|
|||
Д оказательство. |
Е с л и т2 < |
т2, |
то |
неравенство |
г > с |
равно |
|
сильно неравенству k (г|т|)/Дг |
(z|tf) > |
d при |
надлежащим |
обра |
|||
зом выбранном d. Тогда имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
00 |
|
|
|
|
(47) |
\k { z \T § d z > d \k ( z \tfd z t |
|
|
|
|||
|
С |
|
с |
|
|
|
|
о о |
С |
|
|
С |
|
|
|
(48) 1 — J k(z\-z*)dz = ^ k(z\x2)dz< .d j k(z\xfidz =
с |
О |
О |
= d
Отсюда и следует утверждение леммы, щ
4.4. |
ПЕРИОДЫ ТРЕНДА НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ |
|
|
171 |
|||||
f Л емма |
4.4.4. Вероятность Рг |
{Rx| т^,т|.......т2} |
является |
воз |
|||||
растающей функцией от xf при |
фиксированных значениях т|, ... |
||||||||
.... т2 и убывающей функцией от х\ при |
фиксированных |
значениях |
|||||||
Д оказательство. Пусть |
h (г2, ..., zq) — максимальное |
из |
чисел |
||||||
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
г2, .... гя и [g/(l — g)l 2 |
zi- ТогДа |
|
|
|
|
|
|
||
|
i=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(49) Рг |
| rf, т|, . . . . |
T*} = |
|
|
|
|
|
|
|
|
= S • • • |
S n |
it ?) |
S |
k ^ |
\ Ti)dz4 |
n d z ‘- |
||
|
0 |
0 * = 2 |
|
U (г,.......zq) |
|
|
j |
<!“ 2 |
|
Интеграл в фигурных скобках является в силу |
леммы 4.4.3 возра |
||||||||
стающей |
функцией от х2г |
Аналогично, |
пусть |
т (zlt |
z3, ..., |
zq) — |
|||
|
|
|
|
|
ч |
zi- |
Тогда |
|
|
минимальное из значений гх и [(1 — g)!g\zx — 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
1=3 |
|
|
|
|
(50)Рг {/?! | х2, х2,
|
сю |
со |
оо |
|
|
(т |
J |
k (z2 1т|)dz2 П dzt. |
= J |
• • • 1 |
1 |
П б ( 2,|т?) |
|||||
|
0 |
0 max 2, |
^2 |
I |
О |
i+2 |
||
|
|
|
i>2 |
|
|
l |
|
|
Интеграл |
в фигурных |
скобках является в силу леммы 4.4.3 |
||||||
убывающей функцией |
от |
т2Тщ |
|
|
|
|||
Теорема 4.4.3. Если х2 > |
т?, |
то |
|
|
||||
|
|
|
*7 |
|
ч* |
|
|
|
(51) |
Рг{Д/1т2, . . . . |
X2} > Рг {Rfr | X2, |
. . . . т*}. |
|||||
Д оказательство. Левая часть (51) больше, чем вероятность со бытия R/ с заменой в условии х2 на т|. Последняя же равна вероят ности Rk с заменой в условии х2. на т2 и больше, чем правая часть
(51). и
Теорема 4.4.4.
(52) Р г {Rj| т2 = |
т2, т? = |
0, |
/* /} > Р г{ я /1 т® < т * , |
|
|
||
Доказательство. Эта |
теорема вытекает |
из |
последовательного |
||||
применения леммы 4.4.4 |
с заменой х% на r j |
и т| |
на |
х2(, |
i Ф ц |
||
Вероятности |
Рг {/?i | xf, |
..., т2}.......Рг {Rq| rf, ..., |
т2} |
зависят |
|||
от т^, .... х2 и вычисление их весьма затруднительно.
172 |
|
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ |
Гл. 4- |
|
4.4.3. |
Использование тригонометрических функций, |
|||
|
периоды которых не являются делителями длины ряда |
|||
Ранее было замечено, что ух, |
ут можно выразить с помощью |
|||
у, аъ |
Ьъ ..., |
a [(r-i)/2], b[(T-\yz\ |
и аТ/2 (если |
Т четное). Если |
Т = |
2Н + 1, |
то |
|
|
|
|
н |
|
|
(53)yt — у + 2 cos— t + bj sin Щг— .
Если |
же Т — 2Н + 2, то |
|
|
и |
|
(54) |
yt = ~у+ 2 (а/ cos |
t + bj sin -Ц}- tj + aT/2 (— 1)'. |
Коэффициенты A (v) и В (v) также могут быть выражены с помощью этих Т тригонометрических коэффициентов. Например, для Т = = 2Н + 1
|
т |
|
|
|
|
|
|
(55) A (v) = -jr ~у2 |
cos vt + |
|
|
|
|
||
|
t=l |
|
|
|
|
|
|
+ |
- у |
2 |
i^ i f i c o s ^ t |
cos vt + |
|
||
+ |
bj 2 |
Sin |
t cos v/] = |
|
|
||
|
<=i |
|
/ |
|
|
|
|
_ |
sin ——- vT |
|
|
|
|
||
— -у у ------- j------cos-i- v ( r + 1) + |
|
|
|||||
|
sin — |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— i— |
--) |
4 |
+ ?j ( 7’ + l ) + |
|
|
|
|
sin • —-v + |
' |
||
|
|
|
|
\ 2 |
T j |
|
|
|
sin( T v - T |
- ) r |
|
|
|
||
+ |
. / 1 |
n j - c o s ( 4 - v - J f ) ( 7’ + 1) + |
|||||
|
sin — V----- - |
|
|
|
|||
|
|
\ |
2 |
T |
|
|
|
+ bj |
|
1 |
Л1 \ |
sin |
v H— f~J (T + 1) — |
||
sin(T v + — j