Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Статистический анализ временных рядов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

47.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 7612 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

4.2.	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ		113
Тогда, поскольку ММ' = I, имеем
(19)	у =Мх,
(2 0 )	+	••• + хт	.
		/ — 1,	. . . . Т.

Разложение (20) называют иногда представлением Фурье последо

вательности уъ

ут с коэффициентами хъ

хт.

Если Т нечетное, то матрицу М определим равенством

(2 1 )

М =

- у

2л

2я

4я

2n (T — l)/2

V I

cos —

sin

~ Т

COS-y- ... sin

4я

sin

4я

8л

. ..

sin

4я (T — l)/2

V~2

cos —

COS —jr

/ 2

Соответствующее представление Фурье имеет вид

(2 2 )

У, = У

-f *2 cos - ~ t + . ..

‘ .

2 n ( T — 1)/2

. . . . T.

••• - f ^r Si n —

—- -

Я ,

/ =

(В некотором смысле проще оперировать с

унитарной

матрицей

N ={nst) =

(V2nstlTlV~T),

удовлетворяющей

соотношению

NN'=

= I, в котором N = (list) и nsi — число, сопряженное с nst.

Отме

тим,

что N = N'.)

4.2.3.Представление периодической последовательности

вслучае, когда период — целое число

Предположим, что числовая последовательность уг,			утимеет
период п,	где п — целое	число, т. е. что
(23)	yi+n =	y(, t = 1, . . . , Т — п.

114

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ

Гл. 4.

Покажем, как эту последовательность можно представить с по мощью п тригонометрических функций. Положим

где у * в правом столбце повторяется h раз и hn < Т < (h + 1) п. (Допускается, что может быть Т — hn членов, составляющих лишь часть цикла.) Определим теперь матрицу М* размера п X п таким же образом, как и в разд. 4.2.2, так что

(26)

у* = М*х*,

х* == М*'у*>

т, е.

Х\ = т М

/=1

-F 2

COS

2л£

k = l t

. . . ,

[(я--

1)/21.

t=\

2nk

^ == 1f

• •• ,

[(/1 “■

%2k-\-\ =

п 2

-1)/2],

п четное.

Хп =

Тогда для

t =

п (четного) имеем

(28)

yt =

j - ^ - L - x'1+ x'2c o s - ^ t +

. ..

+хп

( - »)*

) '

Отметим, что для

t <

(29)

yt+n — Уг~

2 /

« .

2я

, .

•**

. . (—1)(\

\ + yX

icosT Т

t+-

V ■ |'( y T JC' +

cos- ^ - (^ +

n ) +

•••

’ ’

• +

Хп

( -

1)<+п

V 2 )

4.2.	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ			115
в силу того, что cos 2 nk (t -f		n)ln = cos 2лktIn и sin 2лk (t+n)ln =
= sin 2nktln.	Подобным	же образом	можно	показать, что
(28) выполняется вообще для всех t = 1,			Т. Если п нечетное,

то слагаемое, содержащее (—1)*, опускается.

Мы показали, как произвольную периодическую функцию с целым периодом можно представить в виде линейной комбинации п тригонометрических функций. Следует отметить, что этот резуль тат применим к любой периодической последовательности. Однако если данная периодическая последовательность является последо

вательностью значений	функции,	состоящей из синусоидальной
и косинусоидальной компонент, и		имеет период п (т. е. п является
кратным минимальному	периоду),	то можно обойтись только одной

или двумя тригонометрическими последовательностями (косину сов я синусов).

Тригонометрические функции с периодом п вовсе не обязаны быть ортогональными на множестве 1, ..., Т, если только Т не явля ется кратным п, т. е. Т = hn. В последнем случае

COS	2л/	t =	COS	2л (jh)	t,
(30)	п			T
(30)	2я/	t =	sin	2л (/ft)	t.
sin	2я/	t =	sin	2л (/ft)	t.
	п			Г
Тригонометрические функции,			входящие в (28), составляют лишь

часть тригонометрических функций, входящих в (2 0 ) или (2 2 ). Поэтому некоторые (или многие) коэффициенты соответствующего представления Фурье равны нулю. Однако полное представление является все же удобным по той причине, что некоторые периодичес кие последовательности являются его простыми частными слу чаями.

В § 3.3 мы рассмотрели модель, в которой тренд содержал периодическую компоненту g (/). Последняя интерпретировалась как сезонное изменение ряда. Для полугодовых данных период равен 2, для ежеквартальных 4, а для ежемесячных 12. Такое сезонное изменение g (f) можно выразить в виде линейной комби нации п тригонометрических членов.

Периодическая последовательность ух.......ут с периодом п и Т — hn может быть записана также в виде матрицы

У1	У а
Уп-\Л	Уп+2
(31)
УУЦ1—\)п+\	У(к-\)п+2

•• •

Уп

У?п

Ут.

строки которой совпадают.

116

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ

Гл. 4.

4.2.4. Представление периодической функции

Рассмотрим теперь периодическую функцию / (/), определен ную для всех действительных /. Если ее период равен ср, то

(32)/(< ) - /(< + Ф ) - /(* + 2 ф ) - . . . .

Можно ожидать, что такую функцию удастся выразить с помощью тригонометрических функций, имеющих тот же период <р, а именно

с помощью функций .1, cos 2я//ф, sin 2я//ф,		cos 4я/Ар, sin 4я/Ар.......
Рассмотрим бесконечный ряд, состоящий из таких функций:
(33) сс0 + (at c o s ~ t + рх sin	tj +
+	^a2 cos	1-f- P2 sin	tj 4 - • • • •

Если этот ряд сходится к f (t) при некотором значении /, то он

будет сходиться к f (/)и при / +		ф, поскольку
cos	—(t + ф)=		cos	—	t,
.	2nkи i \	=	■	2л/г	,
Sin (t + ф)			Sin-------- 1

и сумма ряда периодична с периодом ф. Тригонометрические функ ции удовлетворяют следующим соотношениям нормировки и орто гональности:

	ч>
(35)	j cos2	tdt =	\ф О,
	О
	ф
(36)	j sin2 -2ZL tdt = ,		\Ф О,

<37)		\ cos -22L t cos			q>	tdt — 0,
		J	<p		q>
		Ф
(38)		\ s i n - ^ - t cos — tdt = 0,
		J	ф		<p
	Ф
(39)	\ cos—— 1sin			Ф	tdt = 0,
	.)	ф		Ф

i¥= К

1фЬ*

для всех /, k.

4.2.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

117

В этом можно убедиться, используя тригонометрические тождества. (См. упр. 1, 2, 8 и 9.) Например,

фф

4Я/

= " Г ф + _^ г ] cossds = -i-<p,	}ф 0.
6

Если бесконечный ряд (33) сходится к /(/) и если возможно его почленное интегрирование, то

(41)j / ( 0 cos-?j-tdt =

= а 0 j cos ^j-td t			+ j 2	(«/ cos^ f 1 +	Р/sin y r 1 ) cos	t d t =
= 4	-Ф«а,	кфО.
Отсюда определяется			коэффициент ak:
			ч>
(42)	а* =	т	1 / ( 0	с°5 " Т " ^ ’	кфО .
			О
Подобным же образом
			ф
(43)	p* =	- i - j / ( / ) s i n - ^ _ ^ ,			к ф О ,
			О4*
(44)	a 0 =	^	f ( t ) d	t .
			О
.Если	коэффициенты ряда (33) выбираются согласно (42), (43)
и (44),	то говорят,		что этот ряд представляет f (f). Существует

несколько теорем о сходимости подобных рядов при различных условиях. Одна из них утверждает, что если f (t) — функция огра ниченной вариации на замкнутом интервале [0, <р], то ряд (33) схо дится к / (0 в каждой точке непрерывности последней. [См., напри мер, Уиттекер и Ватсон (1943, стр. 174—179).] Мы не ставим своей целью изложение анализа рядов Фурье, а просто хотим показать, как периодическую функцию можно представить с помощью триго нометрических выражений.

118	ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ	Гл. 4.
В том случае,	когда функция f(t) используется для	описания

тренда, существенны только ее значения при t = 1, ..., Т. Как было уже отмечено ранее, если функция / (t) имеет период <р и если

ср	равно целому числу п, то f (t) принимает только	п	значений,
а	именно / (1), f (2), ... , / (п). (Если отношение Tin	не	является

целым, то каждое из этих п значений не может наблюдаться одно и то же число раз.) В таком случае эту функцию можно представить при t = 1, ... линейной комбинацией п тригонометрических функ ций. Однако если ф не является целым числом, то в представление f (t) в Т точках пришлось бы включить возможно до Т членов. Важность приведенных соображений состоит в том, что даже если Ф и не является целым числом, то f (t) все-таки может быть приб лижена относительно небольшим числом тригонометрических чле нов.

4.2.5. Представление произвольной функции

Обратимся теперь к представлению на всей действительной оси функции с действительными значениями. Частным случаем, хорошо известным статистикам, является связь плотности вероят ностей р (х) с ее характеристической функцией ф (t), определя емой соотношением

оооо

(45)		ф (t) — j e‘txp (х) dx =				j (cos tx + t sin tx] p (x) dx ==
			— oo			—oo
		=	<Pi (0 +	«Р2 (0.
в	котором		ф! (0	и	ф2 (/) — действительные функции.		Из
этого определения видно,					что	(t) = фх (—t) четная, а ф2 (/) =
=	—ф2 (—t)		нечетная функции. Обратное преобразование				имеет
вид			оо46
			оо46

(46)Р(*) = ^ г J e~iix<p(t)dt =

—00

оо

= -&Г	S	Icos (— tx) + *sin (— tx)\ 1Ф1 ( 0 + 1Ф2 (01 dt =
	оо
=	J	[cos tepj (t) + sin /Хф2 (01 dt.
	— oo

Кратко сформулируем результаты этого параграфа. Произволь ную конечную последовательность с помощью ортогональной мат рицы М можно преобразовать в конечное множество коэффициентов Фурье. Произвольную периодическую функцию можно предста-

4.3.	ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ	119
вить	конечным отрезком ряда Фурье, коэффициенты	которого

(при определенных условиях) являются тригонометрическими ин тегралами. Обратно: (при определенных условиях) ряд Фурье определяет некоторую периодическую функцию. Наконец, произ вольную (непериодическую, интегрируемую) функцию можно вы разить в виде интеграла Фурье. При этом подынтегральное выра жение может быть получено как обратный интеграл Фурье.

4.3.СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ, КОГДА ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ ДЛИНЫ РЯДА

4.3.1, Оценки наименьших квадратов для коэффициентов и дисперсии

Рассмотрим теперь		модель yt =		/ (/)	щ, t — 1, ..., Т, где
= 0 ,	&ы< = a 2, &utus	= 0 ,	t Ф	s, a	f (i) — периодическая
функция	с известными периодами, нацело делящими					Т.	Таким
образом,	периоды f (t) задаются		числами		T/kh j = 1,	...,	q, где

(klt .... kq) — подмножество последовательности целых чисел 1, ..., ( Т — 1)/2, если Т нечетное, или 1, ..., 772—1, если Т четное. В последнем случае можно, кроме того рассмотреть и период 2.

Отсюда следует,		что для f(t) возможно представление
( 1)	/ (t) = а„		t + р (kj) sin	2л kj
				Т
где слагаемое с периодом 2 не включено. Если				же	Т четное,	то
с учетом слагаемого с периодом 2			f(t) можно представить в виде
(2)	/ (0 = «О	cos	1+ р (kj) sin 2nkjТ		+ ®Т/2 (	1)*.

Входящие сюда тригонометрические функции образуют некоторое подмножество функций, составляющих столбцы матрицы М. Впол не вероятно, что в (2) придется включить все Т таких функций, но обычно их требуется меньше. Например, если ежемесячные данные накапливаются в течение h лет, то Т = \2h и для получе ния представления сезонного изменения следует взять константу и 11 членов с наименьшими периодами

т __		12	— 2 ,	т		12	’	Т	~~	12
7 7 2	~~	6		57712	~~	5		Г/З		4
т	—	12	= 4, .	Т	-	12	- 6	. т	=	1 2 .
Г/4		3		776				7712

120	ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ	Гл.	4.
При этом соответствующие частоты равны 1/2 = 6 / 12 , 5/12,		1/3 =
= 4/12,	1/4 == 3/12, 1/6 = 2 /1 2 и 1/12. Если период равен	2,	то

в сумме (2 ) будет только одно слагаемое, отличное от константы. Это слагаемое вместе с константой полностью представляют цикл периода 2 (т. е. поочередное изменение между двумя фиксирован ными значениями). Каждому из следующих по величине периодов соответствуют два слагаемых, косинус и синус. Пара таких слага емых представляет косинусоиду, как правило сдвинутую. В связи с этим можно переписать (1) и (2 ) соответственно в виде

(4)	/ ( о = * о+	2	р (*/)со$[Z p - t - Q (Л,)],
		/=1		L
(5)	/(/) = a 0 +	V*	p(^/)cos	Г	t — 0 (*/)] + « Г /2	(— 1 / ,
(5)	/(/) = a 0 +	2	p(^/)cos		t — 0 (*/)] + « Г /2	(— 1 / ,
		/=1		1

где
(6 )		Р (kj) — V<& (kj) -1- Р2 (kj),					0 (kj) =	arctg P((^ ,
(7)		а (kj) — р (kj) cos 6 (kj),					P(kj) = P (kj) sin 9 (kj).
	Рассмотрим			теперь	задачу оценивания			параметров		ос0, аг/2,
а (kj) и р (kj),				j — 1, ..., q, методом наименьших квадратов. Пусть
а0, аг/2, a (kj)				и b (kj)	являются	оценками наименьших квадратов
для а 0, аг/2, а				(kj) и р (kj) соответственно. Тогда нормальные урав-
	для		этих оценок имеют вид
		T					1			1
		T	0	0 . . .	0	CL0
								T
		0	Г/2	0	0	a(kj)		2dUt cos	T	t
								/=1
(8)							=	T
(8)	.	0	0	T/2 . . .	0	b(kj)	=	2 * v tsin	r	1
	.	0	0	T/2 . . .	0	b(kj)		2 * v tsin	r	1
								t=\
								T
		0	0	0 . . .	T/2	b(kq)		V *	2 n k a .
		0	0	0 . . .	T/2	b(kq)		2л у*sm	г	1

ST"

4.3.ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ

если / ( 0	представляется		в виде (1), или
Т О		0 . . .			-		г
Т О		0 . . .	0	0	«0		. 2 Ut
							*=1
						т		2jik		,
0	Г/ 2	0 . . .	0	0	а{К)	V		2jik		,
0	Г/ 2	0 . . .	0	0	а{К)	Z	yt cos	r	1	t
						t=1
0	0	Г/2 . . .	0	0	Ъ(К)	T
0	0	Г/2 . . .	0	0	Ъ(К)	2,0* Sin				^
					=		•
•	•	•	;	;	:		•
•	•	•	;	;	:		•

121

0	0	0	.. . Т/2	0	>(«)	Z y tsm	r *
						*=l
						T	!)'
0	0	0	. . . 0	т	Я772	S %(“	!)'

если f (t) представляется в виде (2 ). Вследствие ортогональности тригонометрических функций матрица коэффициентов при оцен ках диагональна. Поэтому решениями нормальных уравнений будут

(10)		1	т
(10)		а0= -jr 2		yt = у,
		1 /=1
(11)			т			/ =	1..........q,
(11)	a	( k i ) ^ ^	r ^	y t	c o s ^ p - t ,	/ =	1..........q,
				Т
(12)		b (k/) ^ - у		^	уt s in - ~ L t,		/ = 1, . . . , < 7,
и в	случае	(9)		1
и в	случае	(9)
(13)			aT/2^ - L ^ y t ( ~ l) 1.
Интересно отметить,			что выражения			(10) — (13) можно получить

также другим способом, подставляя в (1) или (2 ) вместо коэффици ентов а и Р их оценки а и Ь, а вместо / (t) значения yt. Применение обратной формулы Фурье дает выражения указанных коэффициен тов через величины yt.

Оценка наименьших квадратов для а а дается формулой

	S 2// - ТУ —	^ 2 [а2 (/) + 2 (*/)]
( 14)	-а _ J 2 !__________	/=»____________

T — (2 q + 1)

122			ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ							Гл. *4.
если f	(t) представляется соотношением (1), или формулой
			4 /2) -		2	1“2 </)+62 (/))
(15)		1	Т — (2<7 +		/=i
					2)

если f (f) представляется соотношением ( 2 ) i
Оценками параметров р (£,)				и 0 (kj)		являются соответственно
(16)	R(kj) =	V a4ki) + b*(kii		0 (*/) -			arctg - Щ		р .
								/ — 1,		.. >\| (ft
Эти оценки		можно	получить	непосредственно;					минимизируя
г	— / (0 1 2 по параметрам			р (Л/)	и		(kj),	j — 1,	q,	и а0,
2						0
ш	/ (t) представляется в виде (4), или по тем же параметрам
когда
и по	параметру ат/2,		если f (t)	представляется				соотношением (5).

Пример 4. 1. Рассмотрим данные [опубликованные департамен том сельского хозяйства США (1939, стр. 390)] табл. 4.1 о поступ лении масла (в млн. фунтов) на пяти рынках (Бостон, Чикаго. Сан-Франциско, Милуоки и Сент-Луис).

Таблица 4.1

ПОСТУПЛЕНИЕ МАСЛА НА ПЯТИ РЫНКАХ

Год

					Общее
Месяц	1935	193ь		1937	количество	Среднее
	1935	193ь		1937	mt
Я нварь	48.9	48	.3	42.4	139.6	46.5333
Ф евраль	43.4	47.1		41.4	131.9	43.9667
М арт	43.8	52.4		49.0	145.2	48	.4000
А прель	50.8	55	.3	50.8	156.9	52.3000
М ай	67.6	64.7		65.8	198.1	66	.0333
Июнь	83,7	79.5		85.9	249.1	83	.0333
И ю ль	82.7	62.6		70.6	215.9	71.9667
А вгуст	60.8	51	.3	55.8	167.9	55.9667
С ентябрь	55.4	51	.0	49.1	155.5	51	.8333
О ктябрь	48.4	54.0		45.7	148.1	49	.3667
Н оябрь	37.7	45.2		43.8	126.7	42	.2333
Д екаб рь	41.0	44.9		46.7	132.6	44.2000
И того	664.2	656	.3	647.0	1967.5	655	.8333
С реднее	55.350000	54	.691667	53.916667	163.958333	54	.652778

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 7612 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202310.29 Mб4Статистические методы анализа и обработки наблюдений..pdf
#
12.11.202318.02 Mб6Статистические методы в строительной механике..pdf
#
12.11.20232.4 Mб1Статистические методы интеллектуального анализа данных..pdf
#
12.11.2023410.65 Кб3Статистические методы исследования качества объектов производства..pdf
#
12.11.20231.76 Mб0Статистические методы принятия решений с элементами конфлюентного анализа..pdf
#
19.11.202347.02 Mб2Статистический анализ временных рядов..pdf
#
12.11.202314.8 Mб1Статистический анализ геофизических полей..pdf
#
12.11.202314.63 Mб6Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1.pdf
#
12.11.202319.38 Mб0Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2.pdf
#
12.11.20236.88 Mб2Статистическое управление качеством технологических процессов..pdf
#
12.11.20239.13 Mб3Статическая выносливость элементов авиационных конструкций..pdf