книги / Статистический анализ временных рядов

Эта совокупность предположений подобна (16) из § 3.2. Соответст­ вующие решающие процедуры должны быть основаны на статисти­

ках Vm+i.......Vq+\- Предположим, что Д?+1/ (t) = 0. Как уже отме­ чалось, общая теория § 3.2 в данном случае неприменима. Дело в том, что Vтне являются здесь достаточными статистиками. Тем не

Дq~lf (/) = 0 по значениям (Ffl_i — Vg)/Vg. На каждом конкретном

шаге используется (Vr — Vr+\)l-Vr+i. Если гипотеза Дm+,f ( 0 = 0 принимается, то на этом процедура заканчивается. Для длинных рядов (т. е. при больших Т) эти критерии могут основываться на асимптотической теории, приведенной выше. Однако числители не

&Tlf (0 = 0 описывается двумерным нормальным распределением. Предельная вероятность для г решений требует привлечения г-мер- ного нормального распределения. На практике обычно обходят эту трудность, производя проверку по каждому критерию в отдельнос­ ти.

Будем, как уже однажды предполагалось, совершать последо­ вательные действия в обратном порядке. Сначала рассмотрим от­ ношение (Km+i — Vm+2j/Vm+2- Если оно велико, то примем решение

Дт+7 (t) Ф 0. После этого рассмотрим (Vm+2 — Fm+зУУт+з и т. д. Практически эта процедура может быть проведена следующим обра­ зом. Применяя оператор вычисления разностей к исходной после­ довательности, получают последовательность {kyt) и вычисляют ]/г. Затем, применяя разностный оператор к {Дyt), получают последовательность (Д2^ ) и вычисляют V2. Поскольку величины V, определяются одна за другой, то каждую из них можно сравни­ вать с предыдущей. Критерии значимости могут быть применены, только когда задана последовательность уровней значимости. Одна­ ко, помимо трудности определения вероятностей ошибок из-за за­ висимости составляющих критериев значимости, осложняющим обстоятельством является еще и положительность вероятности того,

лика, а это может привести к ошибочному заключению о том, что

Д 7 (0 = о.

94 ТРЕНДЫ И СГЛАЖИВАНИЕ Гл. 3.

Тинтнер (1952, стр. 320) привел для ряда из табл. 3.1 разности до 5-го порядка. (Последние числа в каждом столбце таблицы Тинтнера ошибочны.)

Таблица 3.5

ДИСПЕРСИИ ДЛЯ РАЗНОСТЕЙ ИЗ ТАБЛ. 3.1

Значения статистик Vr, вычисленные по этим разностям, помещены

23

в табл. 3.5. При г = О статистика V, равна 2 (У/ — у)У22 и сов-

ы 1

падает со средней остаточной суммой квадратов для k = 0 в нижней половине табл. 3.2. Заметим, что оценка V, для а2, основанная на аппроксимирующем полиноме степени г — 1, значительно меньше оценки, являющейся средней суммой квадратов остатков относитель­ но выравнивающего полинома степени г — 1.

Тинтнер вместе с разностью Vг — Vr-\-\ в качестве состоятельной оценки для о2 использует вместо статистики Кг+1 статистику Vr. Последняя представляется более предпочтительной ввиду того, что она состоятельна при Arf (f) ф 0 и Ar+lf (t) — 0.

3.5. НЕЛИНЕЙНЫЕ ТРЕНДЫ

Иногда во временных рядах проявляются тренды, которые лучше всего описываются функциями, нелинейными по параметрам, подлежащим оценке. Например, при изучении популяций часто обнаруживается характерный тренд, связанный с ростом популяций, который можно достаточно хорошо описать так называемой «логи­ стической» кривой роста. [См. Дэвис (1941, стр. 247—271).] Логи­ стическая кривая как функция времени выражается формулой

При построении модели ошибок предполагают, что наблюдаемые значения размера популяции уъ ..., ут отличаются от тренда некор­ релированными случайными величинами, так что для оценивания параметров а ь а 2, а 3 можно привлечь критерий наименьших квад­ ратов, так fee как это было сделано в линейном случае. В связи с этим потребуем, чтобы выражение

т

принимало минимально возможное значение по параметрам ах, а2, а3. Минимизирующие значения аъ а2 и а3 будут при этом оценками наименьших квадратов параметров а х, а2и а3 соответственно. Задачу вычисления этих оценок часто можно решить итерационным ме­ тодом с использованием первых членов тейлоровского разложения

ются частные производные по ах, а2, а3, вычисленные при выбранных начальных значениях этих параметров. Чтобы получить более точ­ ные решения, указанную процедуру можно повторить, используя

вместо а®, а® и а® соответственно значения а}, а[ и а3 и т. д. Полу­ чаемая таким образом последовательность решений во многих слу­ чаях сходится к значениям, минимизирующим (2).

Можно поступать и иначе. Именно, формулу (2) использовать в точном виде, продифференцировать ее по ах, а2, а3 и приравнять ну­ лю соответствующие частные производные. При этом получаются соотношения

Если теперь разложить исходную функцию и ее частные произ­ водные в ряды Тейлора в окрестности точки (а?, а°, аз) и опустить

члены второго порядка малости относительно (щ — а?), то в резуль­ тате получатся уравнения

мые нормально распределенные случайные величины с одинаковыми дисперсиями, то методы наименьших квадратов и максимального правдоподобия совпадают и данный итерационный метод эквива­ лентен методу Ньютона — Рафсона отыскания максимума. Если в (6) вместо (7) используется его математическое ожидание, то соответствующая процедура известна как метод меток. [См. С. Рао (1952, разд. 4с.2).]

Для минимизации выражения (2) можно воспользоваться и ины­ ми способами. В начальной точке а0 функция 5 (ах, а2, Оз) убывает наиболее быстро в направлении —dSldalt —dS/da2, —dS/da3. Из­ менение вектора а в этом направлении приводит к уменьшению S (сх, а2, а3). Для оценки перемещения, приводящего к наибольше­ му убыванию, применяются методы наискорейшего спуска. На прак­ тике частные производные могут быть приближенно заменены ко­ нечными разностями. Отправляясь от начального приближения

(а?, <з“, аз), вычисляют S для а, = — XdS/dfy при возрастающих зна­ чениях %до тех пор, пока S не перестанет убывать. При этом полу­ чают вторую точку а1 и повторяют процедуру. Дрейпер и Смит (1966, разд. 10.3) обсуждают метод («компромисс Маркардта»), ба­ зирующийся одновременно на линеаризации функции f (t\ а) и на методе наискорейшего спуска. (Нелинейная регрессия рассматрива­ лась также Уильямсом (1959).)

Мы указали на некоторые общие подходы к отысканию прибли­ женных решений задачи наименьших квадратов итерационным пу­ тем. При этом формулы выписывались только для случая трех па­ раметров лишь из соображений удобства. В этой области сделано

/«=1

(2Т + 1)Г (Т + 1) ^

9. (Разд. 3.2.2) Пусть *i, ..., — независимые, нормально распределенные случайные величины с дисперсией а 2 и математическими ожиданиями g*/ = р*;

и требуется определить степень полинома по методу, изложенному в разд. 3.2.2. Покажите, как можно эффективно произвести вычисления с использованием пря­ мого решения нормальных уравнений.

/= 2k = 6 совпадают.

(c)Найдите параболу, которая в интервале / = 0, 1, ..., 12 приближает f (f)

нацлучшим образом в том смысле, что минимизируется сумма квадратов откло­ нении.

(d)Постройте таблицу значений и график этой параболы.

(e)Постройте таблицу отклонений.

(f)Какая парабола лучше выравнивает наблюдения в точках t = 5, 6, 7 и

каковы ее значения в этих точках?

Покажите, что если к тому же cs > 0, то

т

2 и s= —т

и что знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда все cSt кроме одного, равны нулю.

22. (Разд. 3.3.1) Найдите я0при k = 2. (Указание. Найти полиномы (s),

i = 0, 2, 4, ортогональные на множестве s = —m, ..., т, и представить а0в виде их соответствующей линейной комбинации.)

23.(Разд. 3.3.1) Произведите сглаживание ряда из примера 3.1 с помощью процедуры, основывающейся на k = 1 и т = 2. Сравните результат с соответ­ ствующим кубическим приближением.

24.(Разд. 3.3.1)

(a) Произведите сглаживание ряда в упр. 18 с помощью процедуры, основы-