книги / Статистический анализ временных рядов

Исключив Ь(1>(р +1) из (29) и (30), получим

где вектор b (р) = (bp (р), bp- 1 (р), ..., Ьг (р))' получается из век­ тора b (р) изменением порядка его координат на противоположный. Подстановка (31) в (29) дает

(32) ь(|)( р + 1) = - ( R ;r v ; - ( ^ г 1 г Х н (р + о =

=*Ь(р) + Ь(р)Ьр+1(р+ 1).

В покомпонентной записи (31) и (32) имеют вид

р

(34) b; (Р + 1) = bj (р) + V H - / (Р) ЬР+ 1(Р + 1),

/ = 1......... Р•

Полученные уравнения позволяют легко вычислять оценки для процесса заданного порядка. Промежуточные вычисления дают коэффициенты для всех процессов более низкого порядка. В § 5.6

метод соответствует стандартному методу добавления в уравнение регрессии независимой переменной. Упрощенные формулы для этого случая были предложены Дурбином (1960а).

Мы уже замечали, что уравнения (9) для оценок коэффициентов стохастического разностного уравнения формально совпадают с уравнениями, используемыми в методе наименьших квадратов. В случае обычной регрессии оценки наименьших квадратов явля­ ются наилучшими несмещенными линейными оценками. Получае­ мые здесь оценки не линейны по yt. Обращаясь к уравнениям (9), Дурбин (1960b) назвал их линейными (относительно оценок) и несмещенными, в том смысле, что при замене в (9) оценок на истин­ ные значения параметров математические ожидания правой и ле­ вой частей совпадают. В пределах такого класса уравнения (9) являются наилучшими в том смысле, что дисперсия разности пра­ вой и левой частей минимальна.

5.5.АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНОК МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

5.5.1.Обсуждение асимптотических свойств

Вэтом параграфе мы покажем, что оценки максимального прав­ доподобия, полученные в § 5.4, состоятельны и асимптотически нормальны при неограниченном возрастании периода наблюдений. Хотя доказательства оказываются здесь более сложными, соответ­ ствующие условия и результаты подобны сформулированным в тео­ реме 2 .6.1 и следствиях 2 .6 .1, 2 .6 .2 для оценок наименьших квадра­ тов. В связи с этим при больших выборках и в настоящем случае можно целиком использовать обычную технику регрессионного анализа.

В§ 5.3 было показано, что скалярное стохастическое разност­ ное уравнение порядка р можно рассматривать как частный слу­ чай p-компонентного векторного стохастического разностного урав­ нения первого порядка

—В лежат в единичном круге. Уравнения, из которых определя­ ются оценки максимального правдоподобия для скалярной модели произвольного порядка, являются частным случаем уравнений, используемых для получения таких оценок в векторной модели

ром, то В, определяемая из (3), есть оценка максимального прав­ доподобия. Нам будет удобно сначала получить асимптотические свойства этих оценок, а затем уже перенести полученные результа­ ты на случай скалярного уравнения р-го порядка.

и максимума абсолютных значений элементов матрицы F + УоУоПоэтому

(13) 2 tr [ ( - в / (F + у0уо) (-В Т 1 < к х 2( - [ Е г - )* < T T S F •

Таким образом, правая часть (9) не превосходит некоторой не за­ висящей от Т постоянной. Отсюда и из неравенства Чебышева сле­ дует, что первая и вторая суммы в правой части (8 ), нормированные

делением на |/"7\ сходятся по вероятности к нулю.

Третья сумма в правой части (8 ) является положительно полу-

След этой матрицы ограничен произведением р3, максимального

менение неравенства Чебышева в форме, используемой для неотри­ цательных случайных величин, показывает, что сумма диагональ­ ных элементов матрицы, представляющей третью сумму в правой

части (8 ), деленная на Y Т9 сходится по вероятности к нулю. По­

5.5. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНОК 219

скольку эта матрица положительно полуопределенная, отсюда

Сумма математических ожиданий квадратов элементов второго

Поэтому она равномерно ограничена по Т. Отсюда следует, что

и последние четыре члена в правой части последнего соотношения сходятся по вероятности к нулю, то левая часть (17) сходится к нулю. Объединяя этот результат с предыдущим, получаем, что

разность (15), деленная на ]/7 \ сходится по вероятности к нулю*

220 ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ Гл. 5.

Теорема 5.5.1. Пусть процесс {у,} удовлетворяет соотношению

и все характеристические корни матрицы —В лежат в единичном круге. Тогда

Смысл этой теоремы заключается в том, что. асимптотические

свойства матриц В и 2 (состоятельность и асимптотическая нор­ мальность) будут одними и теми же и для процесса {у,}, и для

процесса {у*}. Иметь дело с процессом {у*} более удобно, поскольку он является стационарным.

зультирующее уравнение имеет в качестве единственного решения

ных векторов утверждение леммы следует непосредственно из закона больших чисел для одинаково распределенных случайных величин, применяемого к каждой компоненте уравнения (23). При

выполнении второго условия элемент матрицы ntnt, стоящий на пересечении i-й строки и /-го столбца, именно иищи имеет матема­ тическое ожидание оц и при этом

Утверждение леммы вытекает в этом случае из закона больших чисел, известного под названием теоремы Маркова. [См, Лоэв (1963, § 20.1),] .

висит от ys_i и и,у,_! при s >> / и и, не зависит от остальных сомно­

(30)- f 2 у Y 2 У'-iyLi = ~т (у^Уг—УоУо)1

имеет единственное решение относительно А (см. упр.т 27), то (29) определяет предел по вероятности матрицы (1/7)2у<У< и этот предел равен (2 2 ).

лежат в единичном круге, а случайные величины ut независимы и

Д оказательство. Матрица F, во всяком случае, будет положи­ тельно полуопределенной как ковариационная матрица. Поскольку же F = 2 + BFB', она является положительно определенной как сумма положительно определенной и положительно полуопре­ деленной матриц. (См. упр. 28). в